新高考数学一轮复习微专题专练29数列的概念(含详解)
展开一、选择题
1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( )
A.-1,-2,-3,-4,…
B.-1,- eq \f(1,2) ,- eq \f(1,3) ,- eq \f(1,4) ,…
C.-1,-2,-4,-8,…
D.1, eq \r(2) , eq \r(3) , eq \r(4) ,…, eq \r(10)
2.已知an= eq \f(n-1,n+1) ,那么数列{an}是( )
A.递减数列 B.递增数列
C.常数列 D.摆动数列
3.在数列1,2, eq \r(7) , eq \r(10) , eq \r(13) ,…中,2 eq \r(19) 是这个数列的第( )
A.16项 B.24项
C.26项 D.28项
4.已知数列{an}满足:a1=1,an+1= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an+3,an为奇数,,2an+1,an为偶数,)) 则a6=( )
A.16 B.25
C.28 D.33
5.已知数列{an},an=-2n2+λn.若该数列是递减数列,则实数λ的取值范围是( )
A.(-∞,6) B.(-∞,4]
C.(-∞,5) D.(-∞,3]
6.已知数列{an}满足a1=2,an+1= eq \f(1+an,1-an) (n∈N*),则a2021=( )
A.2 B.-3
C.- eq \f(1,2) D. eq \f(1,3)
7.设数列{an}满足a1=a,an+1= eq \f(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) -2,an+1) (n∈N*),若数列{an}是常数列,则a=( )
A.-2 B.-1
C.0 D.(-1)n
8.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,n))) ,则an=( )
A.2+ln n B.2+(n-1)ln n
C.2+n ln n D.1+n+ln n
9.(多选)下面四个说法中错误的是( )
A.数列{ eq \f(n+1,n) }的第k项为1+ eq \f(1,k)
B.数列的项数是无限的
C.数列的通项公式的表达式是唯一的
D.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}
二、填空题
10.数列{an}满足a1=17,an=an-1+2n-1(n≥2,n∈N*),则 eq \f(an,n) 的最小值是________.
11.设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式为an=________.
[能力提升]
12.数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,则其通项公式为________.
专练29 数列的概念
1.B A,B,C中的数列都是无穷数列,但是A,C中的数列是递减数列,故选B.
2.B ∵an+1-an= eq \f(n,n+2) - eq \f(n-1,n+1)
= eq \f(n(n+1)-(n-1)(n+2),(n+1)(n+2)) = eq \f(2,(n+1)(n+2)) ,又n∈N*,
∴ eq \f(2,(n+1)(n+2)) >0,
即:an+1-an>0,∴an+1>an,∴{an}为递增数列.
3.C 数列可化为 eq \r(1) , eq \r(3×1+1) , eq \r(3×2+1) , eq \r(3×3+1) , eq \r(3×4+1) ,…,
∴an= eq \r(3(n-1)+1) = eq \r(3n-2) ,
由 eq \r(3n-2) =2 eq \r(19) = eq \r(76) ,得n=26.
4.C 当n=1时,a2=1+3=4;当n=2时,a3=2×4+1=9;当n=3时,a4=9+3=12;当n=4时,a5=2×12+1=25;当n=5时,a6=25+3=28.故选C.
5.A 由题意得an+1-an=-2(n+1)2+λ(n+1)+2n2-λn=-4n-2+λ<0恒成立,∴-4-2+λ<0,∴λ<6.
6.A ∵a1=2,∴a2= eq \f(1+2,1-2) =-3,a3= eq \f(1-3,1-(-3)) =- eq \f(1,2) ,a4= eq \f(1-\f(1,2),1+\f(1,2)) = eq \f(1,3) ,a5= eq \f(1+\f(1,3),1-\f(1,3)) =2=a1,…
∴{an}为周期数列,且周期T=4,∴a2021=a1=2.
7.A 因为数列{an}是常数列,所以a=a2= eq \f(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) -2,a1+1) = eq \f(a2-2,a+1) ,即a(a+1)=a2-2,解得a=-2,故选A.
8.A 由an+1=an+ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,n))) 得
an+1-an=ln eq \f(n+1,n) =ln (n+1)-ln n,
∴当n≥2时,a2-a1=ln 2-ln 1,a3-a2=ln 3-ln 2,…,an-an-1=ln n-ln (n-1),
∴an-a1=ln n,∴an=ln n+a1=2+ln n,
又当n=1时,a1=2=2+ln 1符合上式.
∴an=2+ln n.
9.BCD 根据数列的表示方法可知,求数列的第k项就是将k代入通项公式,经验证知A正确;数列的项数可能是有限的,也可能是无限的,并且数列的通项公式的表达式不是唯一的,故B,C不正确;集合中的元素具有无序性,而数列中每一个数的位置都是确定的,故D不正确.故选BCD.
10.8
解析:∵a1=17,an=an-1+2n-1(n≥2,n∈N*),
∴an-an-1=2n-1,
∴a2-a1=3,a3-a2=5,a4-a3=7,…,
an-an-1=2n-1(n≥2,n∈N*)
以上各式相加得,an-a1=3+5+7+…+2n-1,
整理得,an=17+ eq \f((n-1)(2n+2),2) =n2+16(n≥2,n∈N*).
又当n=1时,a1=17也适合上式,∴an=n2+16,
∴ eq \f(an,n) =n+ eq \f(16,n) ≥2 eq \r(n·\f(16,n)) =8(当且仅当n=4时取“=”).
11. eq \f(n2+n,2)
解析:由an+1-an=n+1,∴当n≥2时,a2-a1=1+1=2,
a3-a2=2+1=3,a4-a3=3+1=4,…,an-an-1=n-1+1=n,
∵an-a1= eq \f((2+n)(n-1),2) ,∴an= eq \f(n2+n,2) (n≥2),
又当n=1时a1=1也适合上式,∴an= eq \f(n2+n,2) .
12.an=2n-1
解析:由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1),
∴ eq \f(an+1+1,an+1) =2,∴{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴an+1=(a1+1)·2n-1=2n,
∴an=2n-1.
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