新高考数学一轮复习微专题专练30等差数列及其前n项和（含详解）

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一、选择题
1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝2S4，a2＋a4＝8，则a5＝( )
A．6 B．7
C．8 D．10
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝ eq \f(5,2) ，S10＝15，则a7＝( )
A． eq \f(1,2) B．1
C． eq \f(3,2) D．2
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a7＝22，S11＝143.若Sn>195，则n的最小值为( )
A．13 B．14
C．15 D．16
6．已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为( )
A．－3 B．－ eq \f(5,2)
C．－2 D．－4
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7＝( )
A．13 B．49
C．35 D．63
8．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝ eq \f(1,2) n2－2n
二、填空题
10．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则 eq \f(S10,S5) ＝________．
11．已知数列{an}是等差数列，公差d＝4，前n项和为Sn，则 eq \f(S2 024,2 024) － eq \f(S2 023,2 023) 的值为________．
12．[2022·全国乙卷(文)，13]记Sn为等差数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.
[能力提升]
13．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二个节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺．
14．(多选)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，a2＝18，a5＝12，则下列选项正确的是( )
A.d＝－2
B．a1＝22
C．a3＋a4＝30
D．当且仅当n＝11时，Sn取得最大值
15．[2023·全国乙卷(理)]已知等差数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 的公差为 eq \f(2π,3) ，集合S＝{cs an|n∈N*}，若S＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b)) ，则ab＝( )
A．－1 B．－ eq \f(1,2)
C．0 D． eq \f(1,2)
16．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取最大值，则d的取值范围是________．
专练30 等差数列及其前n项和
1．D 设等差数列{an}的公差为d.∵S5＝2S4，a2＋a4＝8，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5a1＋\f(5×4,2)d＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4a1＋\f(4×3,2)d))，,a1＋d＋a1＋3d＝8，))
整理得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a1＋2d＝0，,a1＋2d＝4，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－2，,d＝3.)) ∴a5＝a1＋4d＝－2＋12＝10.故选D.
2．A 设等差数列{an}的首项为a1，则由等差数列{an}的前n项和为Sn及S10＝15，得 eq \f(10（a1＋a10）,2) ＝15，所以a1＋a10＝3.由等差数列的性质，得a1＋a10＝a4＋a7，所以a4＋a7＝3.又因为a4＝ eq \f(5,2) ，所以a7＝ eq \f(1,2) .故选A.
3．B 设等差数列{an}的公差为d，
则3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a1＋\f(3×2,2)d)) ＝2a1＋d＋4a1＋ eq \f(4×3,2) d，
得d＝－ eq \f(3,2) a1，又a1＝2，
∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝－10.
4．C ∵S6＝ eq \f(（a1＋a6）×6,2) ＝48，∴a1＋a6＝16，
又a4＋a5＝24，
∴(a4＋a5)－(a1＋a6)＝8，
∴3d－d＝8，d＝4.
5．B 设等差数列{an}的公差为d.因为a3＋a7＝22，所以2a5＝22，即a5＝11.
又因为S11＝ eq \f(（a1＋a11）×11,2) ＝ eq \f(2a6×11,2) ＝143，解得11a6＝143，即a6＝13.
所以公差d＝a6－a5＝2，所以an＝a5＋(n－5)d＝11＋(n－5)×2＝2n＋1，
所以Sn＝ eq \f(（a1＋an）n,2) ＝(n＋2)n.
令(n＋2)n>195，则n2＋2n－195>0，解得n>13或n