新高考数学一轮复习微专题专练52离散型随机变量及其分布列、均值与方差（含详解）

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一、选择题
1．设随机变量X的分布列如下：
则p为( )
A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(2,3) D． eq \f(1,2)
2．随机变量ξ的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)等于( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,4)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,3)
3．已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝ eq \f(1,4) ，P(X＝a)＝ eq \f(3,4) ，E(X)＝ eq \f(7,4) ，则D(2X－1)＝( )
A． eq \f(2,5) B． eq \f(3,4)
C． eq \f(3,5) D． eq \f(5,6)
4．设随机变量ξ的分布列为P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(k,5))) ＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)<ξ<\f(7,10))) 等于( )
A． eq \f(3,5) B． eq \f(4,5)
C． eq \f(2,5) D． eq \f(1,5)
5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(k) ，k＝1，2，3，则m的值是( )
A． eq \f(17,36) B． eq \f(27,38)
C． eq \f(17,19) D． eq \f(27,19)
6．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用0表示两个球都是白球，用1表示两个球不全是白球，则满足条件X的分布列为( )
7．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ eq \f(i,2a) (i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝( )
A． eq \f(1,9) B． eq \f(1,6)
C． eq \f(1,3) D． eq \f(1,4)
8．节日期间，某种鲜花进货价是每束25元，销售价为每束50元；节日卖不出去的鲜花以每束16元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布：
若购进这种鲜花500束，则利润的均值为( )
A.7 060元 B．6 900元
C.7 540元 D．7 200元
9．[2023·山东潍坊模拟]已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到三次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(01.75，则p的取值范围为( )
A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,12)))
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)，1))
二、填空题
10．已知离散型随机变量X的分布列如下：
则常数C＝________．
11．设随机变量X的概率分布列为
则P(|X－3|＝1)＝________．
12．[2023·山东德州模拟]随机变量X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，则E(X)＝________．
[能力提升]
13．设0则当a在(0，1)内增大时( )
A.D(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)先减小后增大
14．(多选)[2023·山东聊城模拟]随机变量ξ的分布列为
其中ab≠0，则下列说法正确的是( )
A.a＋b＝1
B.E(ξ)＝ eq \f(3b,2)
C.D(ξ)随b的增大而减小
D.D(ξ)有最大值
15．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
16．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a>1 000)，为确保保险公司有可能获益，则a的取值范围是________．
专练52 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1．B 由分布列的性质可知 eq \f(1,6) ＋ eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,6) ＋p＝1.
∴p＝ eq \f(1,3) .
2．D ∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，由分布列的性质可知a＋b＋c＝1，∴b＝ eq \f(1,3) ，∴P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)＝1－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(2,3) .
3．B 由题意知：1× eq \f(1,4) ＋a× eq \f(3,4) ＝ eq \f(7,4) ，∴a＝2.
∴D(2X－1)＝4D(X)＝
4 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,4)))\s\up12(2)×\f(1,4)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(7,4)))\s\up12(2)×\f(3,4)))
＝ eq \f(3,4) .故选B.
4．C 由题意知，分布列为
由分布列的性质可得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝ eq \f(1,15) .
所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)<ξ<\f(7,10))) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(1,5))) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(2,5))) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(3,5))) ＝ eq \f(1,15) ＋ eq \f(2,15) ＋ eq \f(3,15) ＝ eq \f(2,5) ，故选C.
5．B 由题意得，m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)＋\f(4,9)＋\f(8,27))) ＝1，∴m＝ eq \f(27,38) .
6．A 由题可知P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ) ＝ eq \f(3,21) ＝ eq \f(1,7) ，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝1－ eq \f(1,7) ＝ eq \f(6,7) .
7．C 由分布列的性质可知， eq \f(1,2a) ＋ eq \f(2,2a) ＋ eq \f(3,2a) ＝ eq \f(6,2a) ＝1，得a＝3，P(X＝2)＝ eq \f(2,2a) ＝ eq \f(1,3) .
8．A E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340，∴利润为(340×50＋160×16)－500×25＝7 060.故选A.
9．A 由题可知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，解得p> eq \f(5,2) 或p< eq \f(1,2) .由p∈(0，1)，得p∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) .故选A.
10. eq \f(1,3)
解析：由9C2－C＋3－8C＝1，得C＝ eq \f(1,3) 或C＝ eq \f(2,3) ，
又当C＝ eq \f(2,3) 时，9C2－C＝9× eq \f(4,9) － eq \f(2,3) >1，不合题意，当C＝ eq \f(1,3) 时符合题意．∴C＝ eq \f(1,3) .
11. eq \f(5,12)
解析：由分布列的性质知 eq \f(1,3) ＋m＋ eq \f(1,4) ＋ eq \f(1,6) ＝1，得m＝ eq \f(1,4) .
P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝ eq \f(1,6) ＋ eq \f(1,4) ＝ eq \f(5,12) .
12．1
解析：∵随机变量X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，
∴设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝0.8－a，0≤a≤0.8.
则E(X)＝0×0.2＋a＋2(0.8－a)＝1.6－a.
又D(X)＝(a－1.6)2×0.2＋(a－0.6)2a＋(a＋0.4)2(0.8－a)＝0.4，
整理得a2－0.2a－0.24＝0，解得a＝0.6或a＝－0.4(舍)，
∴E(X)＝1.6－0.6＝1.
13．D 由题意可得，E(X)＝ eq \f(1,3) (a＋1)，所以D(X)＝ eq \f(（a＋1）2,27) ＋ eq \f(（1－2a）2,27) ＋ eq \f(（a－2）2,27) ＝ eq \f(6a2－6a＋6,27) ＝ eq \f(2,9) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))) ，所以当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大．故选D.
14．ABD 根据分布列的性质得a＋ eq \f(b,2) ＋ eq \f(b,2) ＝1，即a＋b＝1，故A正确；根据数学期望公式得E(ξ)＝0×a＋1× eq \f(b,2) ＋2× eq \f(b,2) ＝ eq \f(3b,2) ，故B正确；根据方差公式得D(ξ)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(3b,2))) eq \s\up12(2) ×a＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3b,2))) eq \s\up12(2) × eq \f(b,2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(3b,2))) eq \s\up12(2) × eq \f(b,2) ＝－ eq \f(9,4) b2＋ eq \f(5,2) b＝－ eq \f(9,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(5,9))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(25,36) ，因为015．乙
解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，
E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.
因为E(Y)16．(1 000，20 000)
解析：假设公司应要求顾客交保险金为100元，其公司收益的随机变量ξ的分布列为
则E(ξ)＝0.995×100＋0.005×(100－a)>0，解得a<20 000，故a的取值范围为(1 000，20 000).
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
p
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
X
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
X
0
1
P
9C2－C
3－8C
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,3)
m
eq \f(1,4)
eq \f(1,6)
X
0
a
1
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
ξ
0
1
2
P
a
eq \f(b,2)
eq \f(b,2)
X
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1
Y
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
ξ
eq \f(1,5)
eq \f(2,5)
eq \f(3,5)
eq \f(4,5)
1
P
a
2a
3a
4a
5a
ξ
100
100－a
P
0.995
0.005