2023-2024学年四川省眉山市仁寿一中南校区高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省眉山市仁寿一中南校区高一（下）开学数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x|2≤x≤5,x∈Z}，N={y∈R|3≤y≤6}，则M∩N=( )
A. {3,4,5}B. [3,5]C. [2,6]D. {2,3,4,5,6}
2.函数fx= x−1x−2的定义域为
( )
A. 1,2⋃2,+∞B. 1,+∞C. 1,2D. 1,+∞
3.命题“∀x≥1，lnx<0”的否定是( )
A. ∃x<1，lnx≥0B. ∀x≥1，lnx≥0
C. ∀x<1，lnx<0D. ∃x≥1，lnx≥0
4.用二分法求函数f(x)=lnx+2x−6在x∈(2,3)内零点近似值的过程中，得到f(2)<0，f(2.5)<0，f(2.75)>0，则函数f(x)的零点落在区间( )
A. (2,2.5)B. (2.5,2.75)C. (2.75,3)D. 不能确定
5.已知角α的终边经过点(m,−5)，csα=1213，则tanα=( )
A. ±125B. ±512C. −512D. −125
6.一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么距下次注射这种药物最多不能超过小时．(精确到0.1h，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48，lg5≈0.70)( )
A. 2.2B. 5.8C. 7.0D. 8.2
7.已知a=3lg32，b=lg25，c=cs3π4，则( )
A. a8.已知函数f(x)=−x,x≤0−x2+2x,x>0，若方程f2(x)+bf(x)+14=0有六个相异实根，则实数b的取值范围( )
A. (−2,0)B. (−2,−1)C. (−54,0)D. (−54,−1)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若“x<1”是“xA. −3B. −2C. −1D. 2
10.若实数m，n>0，满足2m+n=1.以下选项中正确的有( )
A. mn的最大值为18B. 1m+1n的最小值为4 2
C. 2m+1+9n+1的最小值为254D. 4m2+n2的最小值为12
11.已知函数f(x)=2cs(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，则( )
A. ω=2B. x=π3是f(x)图象的一条对称轴
C. f(x)在区间[−π3,0]上单调递增D. f(x)在区间[−π3,0]上的最小值为 32
12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f(x)=1,x为有理数0,x为无理数，称为狄利克雷函数，则关于f(x)，下列说法正确的是( )
A. f(x)的值域为[0,1]
B. f(x)的定义域为R
C. ∀x∈R，f(f(x))=1
D. 任意一个非零有理数T，f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数f(x)的图象经过(4,2)，则f(9)= __________
14.化简求值：2(lg5)2+2lg2×lg5+lg4=______．
15.函数f(x)=sin2x+csx，x∈[0,π]的值域是______．
16.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期不小于π，且f(x)≤f(π4)恒成立，则ω的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|x2−12x+27≤0}，B={x|2(1)求A∩B，A∪B；
(2)若B∩C=C，求m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知α是第二象限角，且2sin2α−3sinαcsα−2cs2α=0．
(1)求tanα的值；
(2)求sin(π2−α)+sin(π+α)3cs(3π2−α)+cs(−α)的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2x−π3)．
(1)求函数f(x)的周期以及单调递增区间；
(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值及相应的x值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=b+lgax(a>0且a≠1)的图象经过点(4,1)和(1,−1)
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)=2f(x+1)−f(x)，求g(x)的最小值及取最小值时x的值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg21+axx−1，g(x)=lg2x−1x．
(1)若f(x)为奇函数，求实数a的值；
(2)若对任意t∈[12,1]，函数h(x)=f(x)+g(x)在区间[t+1,t+3]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为M={x|2≤x≤5,x∈Z}={2,3,4,5}，N={y∈R|3≤y≤6}，
所以M∩N={3,4,5}．
故选：A．
先求出集合M，再结合交集的定义求解即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题是基础题，考查函数定义域的求法，注意分母不为零，偶次方根非负，是解题的关键．
利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可．
【解答】
解：由题意x−1≥0x−2≠0 解得x∈[1,2)∪(2,+∝)
故选：A．
3.【答案】D
【解析】解：全称量词命题的否定为存在量词命题，
故命题“∀x≥1，lnx<0”的否定是“∃x≥1，lnx≥0”．
故选：D．
由全称量词命题的否定为存在量词命题直接写出即可．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题，
4.【答案】B
【解析】解：由于y=lnx，y=2x−6均为定义域内的单调递增函数，
故f(x)=lnx+2x−6在x∈(2,3)单调递增，
f(2)=ln2−2<0，f(3)=ln3>0，f(2.75)=ln2.75−0.5>0，f(2.5)=ln2.5−1<0
故存在x0∈(2.5,2.75)，使得f(x0)=0．
故选：B．
根据零点存在性定理，计算端点处函数值，即可求解．
本题主要考查函数零点的判定定理的应用，函数零点与方程的根的关系，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意csα=m m2+25=1213，解得m=12，tanα=−512=−512．
故选：C．
由三角函数定义求得m，再计算正切值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，
依题意，可得500≤2500×(1−20%)x≤1500，
整理，得15≤(45)x≤35，
则lg4535≤x≤lg4515，
lg4535=lg6−1lg8−1=lg2+lg3−13lg2−1≈2.2，
同理得lg4515=−lg5lg8−1≈7.0，
解得：2.2≤x≤7.0，
所以距下次注射这种药物最多不能超过7.0小时，
故选：C．
根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解．
本题主要考查函数模型及其应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：∵a=3lg32=lg38lg24=2，c=cs3π4=− 22<0，
∴b>a>c．
故选：C．
利用对数函数与余弦函数的性质可求得答案．
本题考查对数值大小的比较，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：令t=f(x)，则原函数方程等价为t2+bt+14=0．
作出函数f(x)的图象如图1：
图象可知当由0所以要使f2(x)+bf(x)+14=0有六个相异实根，
则等价为有两个根t1，t2，
且0令g(t)=t2+bt+14，
则由根的分布(如图2)可得△>0f(0)=14>0f(1)=1+b+14>00<−b2<1，即b2−1>0b>−54−21或b<−1b>−54−2解得−54则实数b的取值范围是(−54,−1)．
故选：D．
先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．同时在结合函数f(x)的图象，确定b的取值范围．
本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键．
9.【答案】ABC
【解析】解：根据题意可知“x<1”无法推出“x则m<1，则ABC正确，D错误．
故选：ABC．
根据必要不充分条件的含义得m<1，一一代入选项检验即可．
本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：m，n>0，满足2m+n=1，
所以1=2m+n≥2 2mn，当且仅当2m=n，即m=14，n=12时取等号，
所以mn≤18，A正确；
1m+1n=(1m+1n)(2m+n)=3+nm+2mn≥3+2 nm⋅2mn=3+2 2，当且仅当n= 2m，即m=2− 22，n= 2−1时取等号，B错误；
2m+1+9n+1=42m+2+9n=13(42m+2+9n)(2m+2+n)=13[(13+4n2m+2+9(2m+2)n]≥13(13+2 4n2m+2⋅9(2m+2)n)=253,
当且仅当4n2m+2=9(2m+2)n且2m+n=1，即m=−15，n=75时取等号，显然等号无法取得，C错误；
因为1=(2m+n)2=4m2+n2+4mn≤4m2+n2+(4m2+n2)=2(4m2+n2)，当且仅当n=2m，即m14，n=12时取等号，
所以4m2+n2≥12，D正确．
故选：AD．
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：已知函数f(x)=2cs(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，
则2πω=π，
即ω=2，
即f(x)=2cs(2x+π3)，
对于选项A，ω=2，
即选项A正确；
对于选项B，f(π3)=2cs(2π3+π3)=−2，
即当x=π3时，函数f(x)取得最小值，
即x=π3是f(x)图象的一条对称轴，
即选项B正确；
对于选项C，x∈[−π3,0]，
则2x+π3∈[−π3,π3]，
又函数g(x)=2csx在[−π3,π3]不单调，
即选项C错误；
对于选项D，x∈[−π3,0]，
则2x+π3∈[−π3,π3]，
则f(x)min=f(−π3)=f(0)=1．
即选项D错误．
故选：AB．
由已知条件可得f(x)=2cs(2x+π3)，然后结合三角函数的性质逐一判断．
本题主要考查三角函数的性质，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域、值域和周期性，同时考查了有理数、无理数的性质和分类讨论思想，属于中档题．
由f(x)的解析式可求得f(x)的定义域和值域，即可判断选项A，B；根据函数的解析式，可得不管x是有理数还是无理数，均有f(f(x))=1，即可判断选项C；根据函数的解析式，结合有理数和无理数的性质，即可判断选项D．
【解答】
解：因为函数f(x)=1,x为有理数0,x为无理数，
所以f(x)的定义域为R，值域为{0,1}，故A错误，B正确；
当x为有理数时，f(x)=1，f(f(x))=f(1)=1；
当x为无理数时，f(x)=0，f(f(x))=f(0)=1，
所以∀x∈R，f(f(x))=1，故C正确；
由于非零有理数T，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，
根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确．
故选：BCD．
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查幂函数的应用，是基础题．
解题时要认真审题，仔细解答．
设幂函数f(x)=xa，由幂函数f(x)的图象经过(4,2)，解得f(x)=x12，由此能求出f(9)．
【解答】
解：设幂函数f(x)=xa，
∵幂函数f(x)的图象经过(4,2)，
∴4a=2，解得a=12，
∴f(x)=x12，
∴f(9)=912=3．
故答案为：3．
14.【答案】2
【解析】解：2(lg5)2+2lg2×lg5+lg4=2lg5(lg2+lg5)+2lg2=2(lg5+lg2)=2．
故答案为2．
根据对数运算性质运算即可．
本题考查对数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．
15.【答案】[−1,54]
【解析】解：f(x)=sin2x+csx
=1−cs2x+csx
=−(cs2x−csx−1)
=54−(csx−12)2，
因为x∈[0,π]，csx∈[−1,1]，
所以当csx=−1，即x=π时，f(x)min=54−(−1−12)2=−1；
当csx=12，即x=π3时，f(x)max=54−(12−12)2=54，
所以f(x)=sin2x+csx，x∈[0,π]的值域是[−1,54].
故答案为：[−1,54].
由题意可求f(x)=54−(csx−12)2，csx∈[−1,1]，利用二次函数的性质以及余弦函数的性质即可求解．
本题考查复合三角函数的单调性和二次函数区间的最值，属中档题．
16.【答案】1
【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期不小于π，
所以2πω≥π，即0<ω≤2，
又f(x)≤f(π4)恒成立，即x=π4时，函数f(x)取得最大值1，
则ω⋅π4+π4=2kπ+π2,k∈Z，解得ω=8k+1，k∈Z，
所以k=0时，ω=1．
故答案为：1．
由题意，结合三角函数的周期可求得0<ω≤2，由f(x)≤f(π4)恒成立，可得ω⋅π4+π4=2kπ+π2,k∈Z，解得ω=8k+1，k∈Z，进而即可求解．
本题考查三角函数的周期性和最值，是中档题．
17.【答案】解：(1)集合A={x|x2−12x+27≤0}={x|3≤x≤9}，B={x|2∴A∩B={x|3≤x<7}，A∪B={x|2(2)若B∩C=C，则C⊆B，
∵C={x|2m−1∴当B=⌀时，2m−1≥m+1，解得m≥2，
当B≠⌀时，2m−1综上，m的取值范围是[32,+∞)．
【解析】(1)求出集合A，B，利用交集和并集定义能求出A∩B和A∪B；
(2)若B∩C=C，则C⊆B，当B=⌀时，2m−1≥m+1，当B≠⌀时，2m−1本题考查集合的运算，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)由2sin2α−3sinαcsα−2cs2α=0，
可得2sin2α−3sinαcsα−2cs2αcs2α=0，
即2tan2α−3tanα−2=0，
解得tanα=−12或tanα=2．
因为α是第二象限角，所以tanα=−12．
(2)sin(π2−α)+sin(π+α)3cs(3π2−α)+cs(−α)=csα−sinα−3sinα+csα=1−tanα−3tanα+1=35．
【解析】(1)利用同角三角函数的基本关系化为关于tanα的方程，根据α所在的象限即可求解；
(2)根据诱导公式可得原式=csα−sinα−3sinα+csα，分子分母同时除以csα即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵f(x)=sin(2x−π3)，
∴T=2π2=π；
令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2(k∈Z)，
则kπ−π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k∈Z)；
(2)x∈[0,π2]⇒2x−π3∈[−π3,2π3]，
∴当2x−π3=−π3，即x=0时，f(x)取得最小值，为− 32；
当2x−π3=π2，即x=5π12时，f(x)取得最大值，为1．
【解析】(1)利用正弦函数的周期性及单调性可求得函数f(x)的周期以及单调递增区间；
(2)x∈[0,π2]⇒2x−π3∈[−π3,2π3]，由正弦函数的性质可求得f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值及相应的x值．
本题考查正弦函数的图象与性质的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由已知得，lga4+b=1lga1+b=−1，(a>0且a≠1)，
解得a=2b=−1；
故f(x)=lg2x−1(x>0)；
(2)∵g(x)=2f(x+1)−f(x)
=2[lg2(x+1)−1]−(lg2x−1)，
∴g(x)=lg2(x+1)2x−1 =lg2(x+1x+2)−1 (x>0)，
∴g(x)=lg2(x+1x+2)−1 ≥lg2(2+2)−1=1，
(当且仅当x=1x，即x=1时，等号成立)．
于是，当x=1时，g(x)取得最小值1．
【解析】(1)由已知得lga4+b=1lga1+b=−1，从而求解析式即可；
(2)化简g(x)=2[lg2(x+1)−1]−(lg2x−1)=lg2(x+1)2x−1 =lg2(x+1x+2)−1 (x>0)，从而利用基本不等式求最值．
本题考查了对数的运算及对数函数的应用，同时考查了基本不等式的应用．
21.【答案】解：(1)∵f(x)=lg21+axx−1是奇函数，∴f(−x)=−f(x)，
∴lg21−ax−x−1=−lg21+axx−1，即lg2ax−1x+1=lg2x−11+ax，
即ax−1x+1=x−11+ax，∴a2x2=1恒成立，
则a=1，或a=−1，
当a=−1时，f(x)=lg21−xx−1显然无意义，
故a=1．
(2)h(x)=f(x)+g(x)=lg21+axx−1+lg2x−1x=lg21+axx，
μ=a+1x在区间[t+1,t+3]上单调递减，φ(x)=lg2μ为增函数，
所以函数h(x)=lg2(a+1x)在区间[t+1,t+3]上单调递减，
由题意得h(t+1)−h(t+3)≤1，
即lg2(1t+1+a)−lg2(1t+3+a)≤1，即1t+1+a≤2(1t+3+a)，
即at2+(4a+1)t+3a−1≥0，t∈[12,1]．
令y=at2+(4a+1)t+3a−1，t∈[12,1]．
∵a>0，∴−4a+12a<0．
∴函数y=at2+(4a+1)t+3a−1在[12,1]上递增，
当t=12时，y有最小值21a4−12≥0，
∴实数a的取值范围是{a|a≥221}.
【解析】(1)由f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，即可求出实数a的值；
(2)求出h(x)=f(x)+g(x)在区间[t+1,t+3]的单调性，得到函数h(x)的最大值和最小值的差，由题意转化为一元二次不等式恒成立问题后求解．
本题考查了函数的奇偶性及单调性的综合应用，考查学生的运算能力，属于中档题．