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    人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题1.1 空间向量及其运算(七个重难点突破)(2份打包,原卷版+解析版)

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    人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题1.1 空间向量及其运算(七个重难点突破)(2份打包,原卷版+解析版)

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    这是一份人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题1.1 空间向量及其运算(七个重难点突破)(2份打包,原卷版+解析版),文件包含人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题11空间向量及其运算七个重难点突破原卷版doc、人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题11空间向量及其运算七个重难点突破解析版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共51页, 欢迎下载使用。



    知识点1 空间向量的有关概念
    1.空间向量的定义及表示
    2.几类特殊的空间向量
    知识点2 空间向量的线性运算
    1.空间向量的加减运算
    2.空间向量的数乘运算
    3.空间向量的运算律
    知识点3 共线向量与共面向量
    1.直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量
    定义:把与 SKIPIF 1 < 0 平行的非零向量称为直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量.
    2.共线向量与共面向量的区别
    重难点1空间向量的线性运算
    1.如图,在空间四边形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,化简下列各式:
    (1) SKIPIF 1 < 0 ;
    (2) SKIPIF 1 < 0 ;
    (3) SKIPIF 1 < 0 .
    2.如图,点M,N分别是四面体ABCD的棱AB和CD的中点,求证: SKIPIF 1 < 0 .
    3. 在正六棱柱 SKIPIF 1 < 0 中,化简 SKIPIF 1 < 0 ,并在图中标出化简结果.

    4.如图.空间四边形OABC中, SKIPIF 1 < 0 ,点M在OA上,且满足 SKIPIF 1 < 0 ,点N为BC的中点,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    5.如图所示,在长方体ABCD一A1B1C1D1中, SKIPIF 1 < 0 ,E,F,G,H,P,Q分别是AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点,求证: SKIPIF 1 < 0 .

    6.如图,设A是 SKIPIF 1 < 0 所在平面外的一点,G是 SKIPIF 1 < 0 的重心.求证: SKIPIF 1 < 0 .
    7.如图,在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中,M为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点.记 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 则下列正确的是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    重难点2共线问题
    8.设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是空间中两个不共线的向量,已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且A,B,D三点共线,则实数 SKIPIF 1 < 0 _____;
    9.在正方体 SKIPIF 1 < 0 中,点E,F分别是底面 SKIPIF 1 < 0 和侧面 SKIPIF 1 < 0 的中心,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 _____.
    10.(多选)若空间中任意四点O,A,B,P满足 SKIPIF 1 < 0 =m SKIPIF 1 < 0 +n SKIPIF 1 < 0 ,其中m+n=1,则结论正确的有( )
    A.P∈直线ABB.P∉直线AB
    C.O,A,B,P四点共面D.P,A,B三点共线
    11.已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    (1)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向相同,且 SKIPIF 1 < 0 ,则λ的值为_____;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向相反,且 SKIPIF 1 < 0 ,则λ的值为_____.
    12.已知 SKIPIF 1 < 0 是空间的一个基底,下列不能与 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 构成空间的另一个基底的是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    13.已知平面单位向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,若使 SKIPIF 1 < 0 成立的正数 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个,则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为_____.
    14.如图,在正方体 SKIPIF 1 < 0 中,E在 SKIPIF 1 < 0 上,且 SKIPIF 1 < 0 ,F在对角线A1C上,且 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)求证:E,F,B三点共线.
    15.如图,已知 SKIPIF 1 < 0 为空间的9个点,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    求证:(1) SKIPIF 1 < 0 ;
    (2) SKIPIF 1 < 0 .
    重难点3向量的共面问题
    16.已知空间 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点共面,且其中任意三点均不共线,设 SKIPIF 1 < 0 为空间中任意一点,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
    A.2B. SKIPIF 1 < 0 C.1D. SKIPIF 1 < 0
    17.已知点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内,并且对空间任一点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 _____.
    18.已知 SKIPIF 1 < 0 三点不共线,对于平面 SKIPIF 1 < 0 外的任意一点 SKIPIF 1 < 0 ,判断在下列各条件下的点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 是否共面.
    (1) SKIPIF 1 < 0 ;
    (2) SKIPIF 1 < 0 .
    19.已知 SKIPIF 1 < 0 为两个不共线的非零向量,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求证: SKIPIF 1 < 0 四点共面.
    20. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是三个不共面的向量, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 四点共面,则 SKIPIF 1 < 0 的值为_____.
    21.下列条件中,一定使空间四点P、A、B、C共面的是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    22.若{ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 }构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    知识点1 空间向量的夹角
    如图,已知两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ,在空间任取一点 SKIPIF 1 < 0 ,作 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角,记作 SKIPIF 1 < 0 ,
    夹角的范围: SKIPIF 1 < 0 ,特别地,如果 SKIPIF 1 < 0 ,那么向量 SKIPIF 1 < 0 互相垂直,记作 SKIPIF 1 < 0
    知识点2 空间向量的数量积运算
    1.空间向量的数量积
    已知两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 的数量积,记作 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
    零向量与任意向量的数量积为0,即 SKIPIF 1 < 0 .
    2.数量积的运算律
    3.投影向量
    在空间,向量 SKIPIF 1 < 0 向向量 SKIPIF 1 < 0 投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量 SKIPIF 1 < 0 共线的向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,向量 SKIPIF 1 < 0 称为向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量.
    4.数量积的性质
    若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为非零向量,
    则(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 ;(3) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;
    (4) SKIPIF 1 < 0 ;(5) SKIPIF 1 < 0
    重难点4空间向量数量积的运算
    23.在正四面体 SKIPIF 1 < 0 中,棱长为1,且D为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点,则 SKIPIF 1 < 0 的值为( ).
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    24.如图,在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点,则 SKIPIF 1 < 0 _____.
    25.在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上任意一点,则 SKIPIF 1 < 0 =_____.
    26.给出下列命题:
    ①空间中任意两个单位向量必相等;
    ②若空间向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ;
    ③在向量的数量积运算中 SKIPIF 1 < 0 ;
    ④对于非零向量 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,其中假命题的个数是_____.
    27.已知空间四面体D­ABC的每条棱长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,则 SKIPIF 1 < 0 等于( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    28.设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为空间中的任意两个非零向量,有下列各式:
    ① SKIPIF 1 < 0 ;② SKIPIF 1 < 0 ;③ SKIPIF 1 < 0 ;④ SKIPIF 1 < 0 .
    其中正确的个数为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    29.已知向量 SKIPIF 1 < 0 ,向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角都是 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,试求
    (1) SKIPIF 1 < 0 ;
    (2) SKIPIF 1 < 0 .
    30.在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中,已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 _____
    重难点5用数量积解决夹角问题
    31.如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1的长度为4,且∠A1AB=∠A1AD=120°.用向量法求:
    (1)BD1的长;
    (2)直线BD1与AC所成角的余弦值.
    32.(多选)如图所示,平行六面体 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,下列说法中正确的是( )
    A. SKIPIF 1 < 0
    B. SKIPIF 1 < 0
    C.直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 是相交直线
    D. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
    33.已知向量 SKIPIF 1 < 0 都是空间向量,且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 _____.
    34.已知不共面的三个向量 SKIPIF 1 < 0 都是单位向量,且夹角都是 SKIPIF 1 < 0 ,则向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的夹角为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    35.如图,在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 中点.
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
    36.如图,二面角 SKIPIF 1 < 0 的棱上有两个点A,B,线段 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱l.若 SKIPIF 1 < 0 ,则平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为_____.
    重难点6投影向量
    37.在标准正交基 SKIPIF 1 < 0 下,已知向量 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影为_____,在 SKIPIF 1 < 0 上的投影之积为_____.
    38.已知 SKIPIF 1 < 0 ,向量 SKIPIF 1 < 0 为单位向量, SKIPIF 1 < 0 ,则空间向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上投影为_____.
    39.如图,在长方体 SKIPIF 1 < 0 中,已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,分别求向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影数量.
    40.如图,已知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量等于_____.
    41.在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中,向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的模是_____.
    42.如图,在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    (1)确定 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量,并求 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)确定 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量,并求 SKIPIF 1 < 0 .
    重难点7用数量积求线段长度
    43.棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) SKIPIF 1 < 0 中,若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上且 SKIPIF 1 < 0 ,记 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    (1)用向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 .
    44.如图,在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则线段 SKIPIF 1 < 0 的长为( )
    A.5B.3C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    45.如图,在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 及线段 SKIPIF 1 < 0 的长为分别为( )

    A. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    46.如图,在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,分别记 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    (1)用 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 .
    47.如图所示,在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,将它沿对角线 SKIPIF 1 < 0 折起,使 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成 SKIPIF 1 < 0 角,则 SKIPIF 1 < 0 间的距离等于( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B.1C. SKIPIF 1 < 0 或2D.1或 SKIPIF 1 < 0
    48.平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的长为( )
    A.10B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    49.棱长为2的正方体中,E,F分别是 SKIPIF 1 < 0 ,DB的中点,G在棱CD上,且 SKIPIF 1 < 0 ,H是 SKIPIF 1 < 0 的中点.
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)求FH的长.
    定义
    在空间,把具有方向和大小的量叫做空间向量
    长度或模
    空间向量的大小叫做空间向量的长度或模
    表示方法
    几何表示法
    空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模
    符号表示法
    若向量 SKIPIF 1 < 0 的起点是A,终点是B,则 SKIPIF 1 < 0 也可记作 SKIPIF 1 < 0 ,其模记为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
    名称
    方向

    表示法
    零向量
    任意
    0
    记为 SKIPIF 1 < 0
    单位向量
    1
    SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
    相反向量
    相反
    相等
    记为 SKIPIF 1 < 0
    共线向量
    相同或相反
    SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
    相等向量
    相同
    相等
    SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
    加法运算
    三角形法则
    语言叙述
    首尾顺次相接,首指向尾为和
    图形叙述
    平行四边形法则
    语言叙述
    共起点的两边为邻边作平行四边形,共起点对角线为和
    图形叙述
    减法运算
    三角形法则
    语言叙述
    共起点,连终点,方向指向被减向量
    图形叙述
    定义
    与平面向量一样,实数λ与空间向量 SKIPIF 1 < 0 的乘积 SKIPIF 1 < 0 仍然是一个向量,称为空间向量的数乘
    几何意义
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的方向相同
    SKIPIF 1 < 0 的长度是 SKIPIF 1 < 0 的长度的 SKIPIF 1 < 0 倍
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的方向相反
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 ,其方向是任意的
    交换律
    SKIPIF 1 < 0
    结合律
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    分配律
    SKIPIF 1 < 0
    共线(平行)向量
    共面向量
    定义
    位置关系
    表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,这些向量叫做共线向量或平行向量
    平行于同一个平面的向量叫做共面向量
    特征
    方向相同或相反
    特例
    零向量与任意向量平行
    充要条件
    共线向量定理:对于空间任意两个向量 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的充要条件是存在实数 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0
    共面向量定理:若两个向量 SKIPIF 1 < 0 不共线,则向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 SKIPIF 1 < 0
    对空间任一点O, SKIPIF 1 < 0
    空间中 SKIPIF 1 < 0 四点共面的充要条件是存在有序实数对 SKIPIF 1 < 0 ,使得对空间中任意一点 SKIPIF 1 < 0 ,都有 SKIPIF 1 < 0
    数乘向量与数量积的结合律
    SKIPIF 1 < 0
    交换律
    SKIPIF 1 < 0
    分配律
    SKIPIF 1 < 0

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