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人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题1.1 空间向量及其运算(七个重难点突破)(2份打包,原卷版+解析版)
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知识点1 空间向量的有关概念
1.空间向量的定义及表示
2.几类特殊的空间向量
知识点2 空间向量的线性运算
1.空间向量的加减运算
2.空间向量的数乘运算
3.空间向量的运算律
知识点3 共线向量与共面向量
1.直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量
定义:把与 SKIPIF 1 < 0 平行的非零向量称为直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量.
2.共线向量与共面向量的区别
重难点1空间向量的线性运算
1.如图,在空间四边形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,化简下列各式:
(1) SKIPIF 1 < 0 ;
(2) SKIPIF 1 < 0 ;
(3) SKIPIF 1 < 0 .
2.如图,点M,N分别是四面体ABCD的棱AB和CD的中点,求证: SKIPIF 1 < 0 .
3. 在正六棱柱 SKIPIF 1 < 0 中,化简 SKIPIF 1 < 0 ,并在图中标出化简结果.
4.如图.空间四边形OABC中, SKIPIF 1 < 0 ,点M在OA上,且满足 SKIPIF 1 < 0 ,点N为BC的中点,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
5.如图所示,在长方体ABCD一A1B1C1D1中, SKIPIF 1 < 0 ,E,F,G,H,P,Q分别是AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点,求证: SKIPIF 1 < 0 .
6.如图,设A是 SKIPIF 1 < 0 所在平面外的一点,G是 SKIPIF 1 < 0 的重心.求证: SKIPIF 1 < 0 .
7.如图,在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中,M为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点.记 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 则下列正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
重难点2共线问题
8.设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是空间中两个不共线的向量,已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且A,B,D三点共线,则实数 SKIPIF 1 < 0 _____;
9.在正方体 SKIPIF 1 < 0 中,点E,F分别是底面 SKIPIF 1 < 0 和侧面 SKIPIF 1 < 0 的中心,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 _____.
10.(多选)若空间中任意四点O,A,B,P满足 SKIPIF 1 < 0 =m SKIPIF 1 < 0 +n SKIPIF 1 < 0 ,其中m+n=1,则结论正确的有( )
A.P∈直线ABB.P∉直线AB
C.O,A,B,P四点共面D.P,A,B三点共线
11.已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向相同,且 SKIPIF 1 < 0 ,则λ的值为_____;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向相反,且 SKIPIF 1 < 0 ,则λ的值为_____.
12.已知 SKIPIF 1 < 0 是空间的一个基底,下列不能与 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 构成空间的另一个基底的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
13.已知平面单位向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,若使 SKIPIF 1 < 0 成立的正数 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个,则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为_____.
14.如图,在正方体 SKIPIF 1 < 0 中,E在 SKIPIF 1 < 0 上,且 SKIPIF 1 < 0 ,F在对角线A1C上,且 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 .
(1)用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 .
(2)求证:E,F,B三点共线.
15.如图,已知 SKIPIF 1 < 0 为空间的9个点,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
求证:(1) SKIPIF 1 < 0 ;
(2) SKIPIF 1 < 0 .
重难点3向量的共面问题
16.已知空间 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点共面,且其中任意三点均不共线,设 SKIPIF 1 < 0 为空间中任意一点,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A.2B. SKIPIF 1 < 0 C.1D. SKIPIF 1 < 0
17.已知点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内,并且对空间任一点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 _____.
18.已知 SKIPIF 1 < 0 三点不共线,对于平面 SKIPIF 1 < 0 外的任意一点 SKIPIF 1 < 0 ,判断在下列各条件下的点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 是否共面.
(1) SKIPIF 1 < 0 ;
(2) SKIPIF 1 < 0 .
19.已知 SKIPIF 1 < 0 为两个不共线的非零向量,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求证: SKIPIF 1 < 0 四点共面.
20. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是三个不共面的向量, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 四点共面,则 SKIPIF 1 < 0 的值为_____.
21.下列条件中,一定使空间四点P、A、B、C共面的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
22.若{ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 }构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
知识点1 空间向量的夹角
如图,已知两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ,在空间任取一点 SKIPIF 1 < 0 ,作 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角,记作 SKIPIF 1 < 0 ,
夹角的范围: SKIPIF 1 < 0 ,特别地,如果 SKIPIF 1 < 0 ,那么向量 SKIPIF 1 < 0 互相垂直,记作 SKIPIF 1 < 0
知识点2 空间向量的数量积运算
1.空间向量的数量积
已知两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 的数量积,记作 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
零向量与任意向量的数量积为0,即 SKIPIF 1 < 0 .
2.数量积的运算律
3.投影向量
在空间,向量 SKIPIF 1 < 0 向向量 SKIPIF 1 < 0 投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量 SKIPIF 1 < 0 共线的向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,向量 SKIPIF 1 < 0 称为向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量.
4.数量积的性质
若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为非零向量,
则(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 ;(3) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;
(4) SKIPIF 1 < 0 ;(5) SKIPIF 1 < 0
重难点4空间向量数量积的运算
23.在正四面体 SKIPIF 1 < 0 中,棱长为1,且D为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点,则 SKIPIF 1 < 0 的值为( ).
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
24.如图,在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点,则 SKIPIF 1 < 0 _____.
25.在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上任意一点,则 SKIPIF 1 < 0 =_____.
26.给出下列命题:
①空间中任意两个单位向量必相等;
②若空间向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ;
③在向量的数量积运算中 SKIPIF 1 < 0 ;
④对于非零向量 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,其中假命题的个数是_____.
27.已知空间四面体DABC的每条棱长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,则 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
28.设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为空间中的任意两个非零向量,有下列各式:
① SKIPIF 1 < 0 ;② SKIPIF 1 < 0 ;③ SKIPIF 1 < 0 ;④ SKIPIF 1 < 0 .
其中正确的个数为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
29.已知向量 SKIPIF 1 < 0 ,向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角都是 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,试求
(1) SKIPIF 1 < 0 ;
(2) SKIPIF 1 < 0 .
30.在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中,已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 _____
重难点5用数量积解决夹角问题
31.如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1的长度为4,且∠A1AB=∠A1AD=120°.用向量法求:
(1)BD1的长;
(2)直线BD1与AC所成角的余弦值.
32.(多选)如图所示,平行六面体 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,下列说法中正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0
C.直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 是相交直线
D. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
33.已知向量 SKIPIF 1 < 0 都是空间向量,且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 _____.
34.已知不共面的三个向量 SKIPIF 1 < 0 都是单位向量,且夹角都是 SKIPIF 1 < 0 ,则向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的夹角为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
35.如图,在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 中点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
36.如图,二面角 SKIPIF 1 < 0 的棱上有两个点A,B,线段 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱l.若 SKIPIF 1 < 0 ,则平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为_____.
重难点6投影向量
37.在标准正交基 SKIPIF 1 < 0 下,已知向量 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影为_____,在 SKIPIF 1 < 0 上的投影之积为_____.
38.已知 SKIPIF 1 < 0 ,向量 SKIPIF 1 < 0 为单位向量, SKIPIF 1 < 0 ,则空间向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上投影为_____.
39.如图,在长方体 SKIPIF 1 < 0 中,已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,分别求向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影数量.
40.如图,已知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量等于_____.
41.在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中,向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的模是_____.
42.如图,在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)确定 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量,并求 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)确定 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量,并求 SKIPIF 1 < 0 .
重难点7用数量积求线段长度
43.棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) SKIPIF 1 < 0 中,若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上且 SKIPIF 1 < 0 ,记 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)用向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 .
44.如图,在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则线段 SKIPIF 1 < 0 的长为( )
A.5B.3C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
45.如图,在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 及线段 SKIPIF 1 < 0 的长为分别为( )
A. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
46.如图,在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,分别记 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)用 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 .
47.如图所示,在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,将它沿对角线 SKIPIF 1 < 0 折起,使 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成 SKIPIF 1 < 0 角,则 SKIPIF 1 < 0 间的距离等于( )
A. SKIPIF 1 < 0 B.1C. SKIPIF 1 < 0 或2D.1或 SKIPIF 1 < 0
48.平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的长为( )
A.10B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
49.棱长为2的正方体中,E,F分别是 SKIPIF 1 < 0 ,DB的中点,G在棱CD上,且 SKIPIF 1 < 0 ,H是 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 .
(2)求FH的长.
定义
在空间,把具有方向和大小的量叫做空间向量
长度或模
空间向量的大小叫做空间向量的长度或模
表示方法
几何表示法
空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模
符号表示法
若向量 SKIPIF 1 < 0 的起点是A,终点是B,则 SKIPIF 1 < 0 也可记作 SKIPIF 1 < 0 ,其模记为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
名称
方向
模
表示法
零向量
任意
0
记为 SKIPIF 1 < 0
单位向量
1
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
相反向量
相反
相等
记为 SKIPIF 1 < 0
共线向量
相同或相反
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
相等向量
相同
相等
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
加法运算
三角形法则
语言叙述
首尾顺次相接,首指向尾为和
图形叙述
平行四边形法则
语言叙述
共起点的两边为邻边作平行四边形,共起点对角线为和
图形叙述
减法运算
三角形法则
语言叙述
共起点,连终点,方向指向被减向量
图形叙述
定义
与平面向量一样,实数λ与空间向量 SKIPIF 1 < 0 的乘积 SKIPIF 1 < 0 仍然是一个向量,称为空间向量的数乘
几何意义
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的方向相同
SKIPIF 1 < 0 的长度是 SKIPIF 1 < 0 的长度的 SKIPIF 1 < 0 倍
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的方向相反
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,其方向是任意的
交换律
SKIPIF 1 < 0
结合律
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
分配律
SKIPIF 1 < 0
共线(平行)向量
共面向量
定义
位置关系
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,这些向量叫做共线向量或平行向量
平行于同一个平面的向量叫做共面向量
特征
方向相同或相反
特例
零向量与任意向量平行
充要条件
共线向量定理:对于空间任意两个向量 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的充要条件是存在实数 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0
共面向量定理:若两个向量 SKIPIF 1 < 0 不共线,则向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 SKIPIF 1 < 0
对空间任一点O, SKIPIF 1 < 0
空间中 SKIPIF 1 < 0 四点共面的充要条件是存在有序实数对 SKIPIF 1 < 0 ,使得对空间中任意一点 SKIPIF 1 < 0 ,都有 SKIPIF 1 < 0
数乘向量与数量积的结合律
SKIPIF 1 < 0
交换律
SKIPIF 1 < 0
分配律
SKIPIF 1 < 0
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