人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题3.6求离心率（强化训练）（2份打包，原卷版+解析版）

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题型一利用几何性质求解
1．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线过点 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】求出线段 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 可求得离心率.
【详解】
如图，设 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
由题， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，化简得， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，坐标原点为 SKIPIF 1 < 0 ，若在双曲线右支上存在一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】构建焦点三角形，判断出其为直角三角形，进而可求.
【详解】如图，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0

3．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，记椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据勾股定理可求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用椭圆离心率的定义即可求得结果.
【详解】如下图所示：

因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
又在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
4．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 .则椭圆离心率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据给定条件，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，再求出离心率范围即得.
【详解】由点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，原点 SKIPIF 1 < 0 是斜边 SKIPIF 1 < 0 的中点，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，又点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆离心率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
5．点P在椭圆上，且在第一象限，过右焦点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆的离心率为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】延长 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点Q，根据PA是 SKIPIF 1 < 0 的外角平分线，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用椭圆的定义求解.
【详解】
延长 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点Q，∵PA是 SKIPIF 1 < 0 的外角平分线，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又O是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
6．如图， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的三个点， SKIPIF 1 < 0 经过原点 SKIPIF 1 < 0 经过右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆的离心率为 .

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设椭圆的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，利用对称性得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理求解.
【详解】解：如图所示：

设椭圆的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，由对称性知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入上式，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型二利用坐标法求解
7．已知 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的右焦点，平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 的渐近线和右支于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，化简得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，化简得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
又因为点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.

8．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】设P的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的半焦距为c，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线离心率的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
9．过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线与双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为虚轴上的一个端点，且 SKIPIF 1 < 0 为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据双曲线的性质求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，写出向量 SKIPIF 1 < 0 ，根据∠ADB为钝角，结合向量的数量积公式化简求解即可.
【详解】设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
可设 SKIPIF 1 < 0
由对称性，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 三点不共线，
所以∠ADB为钝角 SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，离心率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D.
10．已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作x轴的垂线交C于点P﹒ SKIPIF 1 < 0 于点M（其中O为坐标原点），且有 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于 SKIPIF 1 < 0 的齐次式后可得离心率．
【详解】如图，易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 故解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．

11．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 在同一象限内），且满足 SKIPIF 1 < 0 ． 联结 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ． 若该双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设点 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在双曲线上， SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 的坐标，然后根据 SKIPIF 1 < 0 在渐近线 SKIPIF 1 < 0 上列方程，解方程得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后求离心率即可.
【详解】
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 （1），
SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， 代入（1）解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在渐近线 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
两边平方得 SKIPIF 1 < 0 （2），
将 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 代入（2）得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 的右支交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点恰为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．3
【答案】D
【分析】求得 SKIPIF 1 < 0 点坐标，根据直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.
【详解】由于线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点恰为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
两边除以 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）.
故选：D

13．直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上和直线 SKIPIF 1 < 0 上列方程，整理后求得椭圆的离心率.
【详解】设在第一象限的交点为A，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意： SKIPIF 1 < 0 轴，A在椭圆上，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，A在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
题型三利用第一定义求解
14．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，若线段 SKIPIF 1 < 0 的中点在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据中点关系可得 SKIPIF 1 < 0 轴，进而根据直角三角形中的边角关系，结合椭圆定义即可求解.
【详解】由于线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上, SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A

15． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆E： SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆E的离心率为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，再结合 SKIPIF 1 < 0 和角平分线定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理求解.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆定义得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，经过 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】利用向量的数量积的运算律，以及椭圆的定义，利用齐次化方法求离心率.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .

故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
17．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，结合椭圆的定义，在 SKIPIF 1 < 0 中利用勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中利用勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，可求椭圆C的离心率.
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，

在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
18．已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由双曲线定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，由离心率定义可得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】如下图所示：
根据题意可设 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ；
由余弦定理可知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线定义可知可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
所以离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
19．已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线的左，右两支分别交于点 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，利用双曲线的定义及题中几何关系将 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 表示，再利用几何关系建立关于 SKIPIF 1 < 0 齐次方程，从而求出离心率.
【详解】如图，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ,

设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 .
双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
题型四利用第二定义求解
20．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的渐近线交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且过原点和线段 SKIPIF 1 < 0 中点的直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用点差法可求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 即
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为过原点和线段 SKIPIF 1 < 0 中点的直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系中，如果涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来简化计算.
21．已知椭圆C的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，P，Q为C上两点， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据椭圆的焦点三角形，结合勾股定理即可求解.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
22．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】如图，设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，后在 SKIPIF 1 < 0 由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得答案.
【详解】如图，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又由椭圆定义可得 SKIPIF 1 < 0 .
则在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得:
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则在 SKIPIF 1 < 0 由余弦定理可得：
SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0

23．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过右焦点作倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与 SKIPIF 1 < 0 构建出关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的齐次方程，根据离心率公式即可解得.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 做倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据韦达定理： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
24．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 作倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于A，B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】联立直线与椭圆方程可得韦达定理，进而根据向量共线的坐标运算可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而结合 SKIPIF 1 < 0 求解离心率.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 所作直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以该直线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线方程可写为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据韦达定理： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
25．设 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，M为椭圆上一点，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆于点A，B，若 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】设出 SKIPIF 1 < 0 ，根据向量的定比分点，将 SKIPIF 1 < 0 两点的坐标表示成含 SKIPIF 1 < 0 的式子，再代入椭圆方程联立即可解得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得离心率.
【详解】如下图所示：

易知 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
同理由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ；
将 SKIPIF 1 < 0 两点代入椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ；
即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以离心率 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：D
26．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 且不与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出 SKIPIF 1 < 0 的长以及等边 SKIPIF 1 < 0 的高，根据几何关系可得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得该椭圆离心率的取值范围.
【详解】知点 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，

联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
题型五利用第三定义求解
27．双曲线 SKIPIF 1 < 0 被斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线截得的弦 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】根据点差法，设出交点坐标，代入作差即可得解.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线方程作差有:
SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了解析几何中的点差法，点差法主要描述直线和圆锥曲线相交中斜率和中点的关系，在解题中往往大大简化计算，本题属于基础题.
28．已知斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，两式做差得到 SKIPIF 1 < 0 ，代入条件即可计算离心率．
【详解】设 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，两式做差得 SKIPIF 1 < 0
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
【点睛】直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题，其解法可以利用“点差法”．
29．已知椭圆，点 SKIPIF 1 < 0 为左焦点，点 SKIPIF 1 < 0 为下顶点，平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】点差法解决中点弦问题.
【详解】由题意，设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
化为： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
30．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为双曲线C： SKIPIF 1 < 0 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，直线l： SKIPIF 1 < 0 1与C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于T（﹣5c，0），则C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为S(x0，y0)，运用点满足双曲线方程，作差，结合中点坐标公式和平方差公式，以及直线的斜率公式，两直线垂直的条件，以及双曲线的离心率公式，计算可得所求值．
【详解】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为S(x0，y0)，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得b2(x12﹣x22)= a2(y12﹣y22)，
可得b2(x1﹣x2)(x1+x2)=a2(y1﹣y2)(y1+y2)，
可得2b2(x1﹣x2)x0=2a2(y1﹣y2)y0，
所以kMN SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （1），
由kMN SKIPIF 1 < 0 kST=-1，可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 1（2），
由（1）（2）可得x0 SKIPIF 1 < 0 ，y0=5b，即S( SKIPIF 1 < 0 ，5b)，
又S在直线l上，所以 SKIPIF 1 < 0 5＝1，
解得e SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了双曲线的方程和性质，考查了点差法和方程思想、运算求解能力，属于中档题．
31．（多选）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．椭圆C的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C．直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【分析】先由题意求出 SKIPIF 1 < 0 即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D.
【详解】如图所示：

根据题意，因为焦点在y轴上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
椭圆C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B不正确；
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，变形得 SKIPIF 1 < 0 ，
又注意到点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
因为直线l过 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D不正确.
故选：AC．
32．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点M，点F为右焦点，点P为下顶点， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似关系确定 SKIPIF 1 < 0 ，代入方程计算得到答案.
【详解】如图所示：过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得到 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型六与斜率乘积相关
33．已知A，B分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且 SKIPIF 1 < 0 轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．3
【答案】C
【分析】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的坐标，求得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 所在直线的斜率，再由直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之比为3列式求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率．
【详解】由题意可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
即双曲线的离心率为2．
故选：C．

34．设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点A满足 SKIPIF 1 < 0 ，点P、Q在双曲线上，且 SKIPIF 1 < 0 ．若直线PQ，PF的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】如图，取P，Q的中点为M，连接OM，PF，
则由题意可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相似，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线PQ，PF的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
35．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆外， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，且 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.若直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】取线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，推导出 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用点差法可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，由此可求得椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率的值.
【详解】如下图所示：

由题意可知，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，
因为点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，易知点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
又因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
取线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，两个等式作差可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
36．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．若直线l与直线PF的斜率之积等于 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的斜率，利用点差法求出直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，在根据题意求出 SKIPIF 1 < 0 之间的关系即可得解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点P是线段AB的中点，P的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线l与C相交于A，B两点，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .

37．双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据已知条件列方程，化简求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得双曲线的离心率.
【详解】依题意 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
且 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
38．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为A，P、Q为C上关于坐标原点对称的两点，若直线AP，AQ的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据题意结合椭圆方程整理得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可求离心率.
【详解】由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以C的离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.

39．椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的任意两点，且关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称．若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据斜率公式结合题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 可求出离心率.
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的任意两点，且关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C

题型七焦点三角形双余弦定理模型
40．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线在第一象限与双曲线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】根据题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，利用由双曲线的定义，求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理，列出方程，求得 SKIPIF 1 < 0 关系式，即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，可设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的定义，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .

41．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点．过 SKIPIF 1 < 0 作双曲线 SKIPIF 1 < 0 一条渐近线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先由已知双曲线方程得出一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用余弦定理得出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，进而求出离心率.
【详解】由双曲线 SKIPIF 1 < 0 的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .

由 SKIPIF 1 < 0 作该渐近线的垂线，则由点到直线的距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互补，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
42．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．由角平分线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再结合余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求解.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，由角平分线定理可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线定义知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，①
又由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
把①代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
43．已知双曲线E： SKIPIF 1 < 0 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点（B在x轴的上方），且满足 SKIPIF 1 < 0 ．若直线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ,由双曲线的定义知, SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中分别利用余弦定理,然后两式相减即可求解.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
由双曲线的定义知, SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中,由余弦定理可得,
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中,由余弦定理可得,
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
两式相减可得, SKIPIF 1 < 0 ,所以离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D
【点睛】本题考查双曲线及其性质、直线与双曲线的位置关系,及三角形中的余弦定理;考查运算求解能力和转化与化归能力;双曲线定义的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
44．已知 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线左支交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，利用双曲线定义表示出 SKIPIF 1 < 0 的长，再利用勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，分别利用余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，联立两式即可得离心率 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】如下图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 ，易知以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径，所以 SKIPIF 1 < 0 ；

不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线定义可得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中可得， SKIPIF 1 < 0 ；
在 SKIPIF 1 < 0 中可得， SKIPIF 1 < 0 ；
又易知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，
则双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0
故选：B
45．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C交于A，B两点（点A在第二象限），且 SKIPIF 1 < 0 .则双曲线C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据直线斜率可得倾斜角，作焦点三角形，利用余弦定理，结合双曲线的定义，可得答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 .
根据余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .故双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
题型八焦点弦与定比分点
46．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】首先根据题意设 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 .根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据勾股定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，再求离心率即可.
【详解】如图所示：

设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
47．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据题意，由条件可得 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，再结合椭圆的定义列出方程，由离心率的计算公式即可得到结果.
【详解】
设椭圆的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即椭圆的离心率是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
48．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，过右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合共线向量的坐标表示公式、椭圆离心率公式进行求解即可.
【详解】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，设该椭圆右焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， 与椭圆方程联立，得
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而利用一元二次方程根与系数关系进行求解.
49．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一条弦所在的直线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，弦的中点坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先利用点差法应用弦中点，再求椭圆离心率.
【详解】设直线与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 两点代入椭圆可得 SKIPIF 1 < 0 ，两式作差可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 中点坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
50．已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点， SKIPIF 1 < 0 是短轴的一个端点，线段 SKIPIF 1 < 0 的延长线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义可得焦点三角形的边长，即可根据余弦定理以及二倍角公式求解.
【详解】不妨设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆另一焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 是短轴的一个端点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆定义可得 SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
题型一
利用几何性质求解
题型二
利用坐标法求解
题型三
利用第一定义求解
题型四
利用第二定义求解
题型五
利用第三定义求解
题型六
与斜率乘积相关
题型七
焦点三角形双余弦定理模型
题型八
焦点弦与定比分点