2023-2024学年北京市大兴区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年北京市大兴区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.将0.00008用科学记数法表示应为( )
A. 0.8×10−4B. 8×10−4C. 80×10−4D. 8×10−5
2.下列运算中正确的是( )
A. a⋅a2=a3B. (a2)3=a5C. a8÷a2=a4D. a5+a5=2a10
3.下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. x2+1B. x2−4C. x3−8D. x2+4x+1
4.若分式x2−1x−1的值为0，则x的值为( )
A. 1B. −1C. 0D. ±1
5.已知x2−8x+a是完全平方式，则a的值为( )
A. 4B. 8C. 16D. −16
6.在平面直角坐标系xOy中，点P(2,1)关于y轴对称的点的坐标是( )
A. (−2,1)B. (2,1)C. (−2,−1)D. (2,−1)
7.已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是( )
A. 12B. 16C. 20D. 16或20
8.如图，某小区规划在边长为x m的正方形场地上，修建两条宽为2m的甬道，其余部分种草，则甬道所占的面积(单位m2)是( )
A. 4xB. x2−4xC. (x−2)2D. x2−(x−2)2
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若分式2x−1有意义，则x的取值范围是__________.
10.计算：(ab2c2)3=______.
11.计算：2x2y÷x3y3=______.
12.分解因式：3x2−6x+3=______.
13.如图，△ABC是等边三角形，AB=2，AD平分∠BAC交BC于点D，则线段BD的长为______.
14.如图，AC=AD，∠1=∠2，要使△ADE≌△ACB，则需再添加一个条件是______(写出一个即可).
15.如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1的度数为______.
16.如图，△ABC的角平分线CD，BE相交于点F，∠A=90∘，EG//BC，且CG⊥EG于点G，下列结论：①∠CEG=∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=12∠CGE，其中正确的结论是______(只填序号).
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.先化简，再求值：(x+y)(x−y)−x(x−2y)，其中x=13，y=3.
四、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
计算： 4+|−2|−(−2023)0+(12)−1.
19.(本小题5分)
计算：(x−2y)2.
20.(本小题5分)
计算：(a+1+1a−1)⋅a−1a.
21.(本小题5分)
已知：如图，点B，E，C，F顺次在同一条直线上，点A，D在直线BC的同侧，BE=CF，AB//DE，AB=DE.求证：∠A=∠D.
22.(本小题5分)
解方程：32(x−2)+x2−x=12.
23.(本小题6分)
求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2−(2n−1)2是这两个奇数的和的2倍.
24.(本小题6分)
小月是学校图书馆A书库的志愿者，小杰是学校图书馆B书库的志愿者，他们各自负责本书库的整理工作.6月5日，图书馆A书库有120册图书需整理，而B书库有80册图书需整理，小月每小时整理图书的数量是小杰每小时整理图书数量的1.2倍，他们同时开始工作，结果小杰比小月提前15分钟完成工作.求小月和小杰每小时分别可以整理多少册图书.
25.(本小题6分)
已知：如图，△ABC是等边三角形，点D在BC边上，点C关于直线AB的对称点为C′，连接C′B，点P是线段C′B上的一点，连接AP，PD，延长AB到点E，使BE=BD，连接PE.求证：PD=PE.
26.(本小题6分)
已知：如图，在△ABC中，∠A=60∘，设AB=c，AC=b，如果b2+c2−4(b+c)+8=0.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)△ABC的中线BD，CE交于点O，用等式表示线段OD与OB之间的数量关系，并证明.
27.(本小题7分)
已知：如图，OB=BA=AC，∠OBA=150∘，∠BAC=90∘，连接BC，OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作△AOB的高线AE，交OB的延长线于点E.
(1)求证：△AOE≌△AOD；
(2)求∠DOC的度数.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P的横纵坐标的绝对值之和等于点Q的横纵坐标的绝对值之和，则称P，Q两点为“等和点”.下图中的P，Q两点即为“等和点”.
(1)已知点A的坐标为(−2,4)，
①在点S(0,2)，T(1,5)，W(2,−4)中，与点A为“等和点”的是______(只填字母)；
②若点B在第一象限的角平分线上，且A，B两点为“等和点”，则点B的坐标为______；
(2)已知点C的坐标为(3,0)，点D的坐标为(0,−3)，连接CD，点M为线段CD上一点，过点N(n,0)作x轴的垂线l，若垂线l上存在点M的“等和点”，求n的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：将0.00008用科学记数法表示应为8×10−5.
故选：D.
根据科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为整数，由此可得答案．
本题考查科学记数法-表示较小的数，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a和n的值．
2.【答案】A
【解析】解：A、a⋅a2=a3，故此选项符合题意；
B、(a2)3=a6，故此选项不符合题意；
C、a8÷a2=a6，故此选项不符合题意；
D、a5+a5=2a5，故此选项不符合题意；
故选：A.
根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、x2+1不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
B、x2−4=(x+2)(x−2)，能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意；
C、x3−8不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
D、x2+4x+1不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
故选：B.
根据平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b)分析判断即可．
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵分式x2−1x−1的值为0，
∴x2−1=0，且x−1≠0，
解得：x=−1.
故选：B.
直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值，正确把握定义是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵x2−8x+a可以写成一个完全平方式，
∴则a可为：16.
故选：C.
根据完全平方式的结构是：a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两种，据此即可求解．
本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
6.【答案】A
【解析】解：点P(2,1)关于y轴对称的点的坐标是(−2,1).
故选A.
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7.【答案】C
【解析】解：等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则第三边可能是4，也可能是8，
(1)当4是腰时，4+4=8，不能构成三角形；
(2)当8是腰时，不难验证，可以构成三角形，周长=8+8+4=20.
故选：C.
因为三角形的底边与腰没有明确，所以分两种情况讨论．
本题主要考查分情况讨论的思想，利用三角形三边关系判断是否能构成三角形也是解好本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由图可知边长为xm的正方形场地的面积为：x2，
除去甬道剩余部分的面积为：(x−2)2，
∴甬道所占面积为：x2−(x−2)2.
故选：D.
用正方形场地的面积减去正方形场地除去甬道部分的面积即可．
本题考查了列代数式，解题的关键是掌握平移甬道化零为整的解题思想．
9.【答案】x≠1
【解析】【分析】
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
根据分式有意义的条件可知x−1≠0，再解不等式即可．
【解答】
解：由题意得：x−1≠0，
解得：x≠1.
故答案为：x≠1.
10.【答案】a3b6c6
【解析】解：(ab2c2)3=(ab2)3(c2)3=a3b6c6，
故答案为：a3b6c6.
运用分式乘方的运算方法进行求解．
此题考查了分式乘方的计算能力，关键是能准确确定计算方法，并能进行正确地计算．
11.【答案】2y2x
【解析】解：2x2y÷x3y3=2x2y×y3x3=2y2x，
故答案为：2y2x.
先变分式除法为乘法，再进行约分、求解．
此题考查了分式除法的计算能力，关键是能准确确定运算方法，并进行正确地计算．
12.【答案】3(x−1)2
【解析】解：3x2−6x+3，
=3(x2−2x+1)，
=3(x−1)2.
先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13.【答案】1
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，
∴BD=CD，
∵AB=BC=2，
∴BD=DC=1.
故答案为：1.
利用三线合一的性质解决问题即可．
本题考查等边三角形的性质，解题的关键是掌握三线合一的性质．
14.【答案】AE=AB(答案不唯一)
【解析】解：需再添加一个条件是AE=AB，
理由：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
∴∠CAB=∠DAE，
在△CAB和△DAE中，
AB=AE∠CAB=∠DAEAC=AD，
∴△CAB≌△DAE(SAS)，
故答案为：AE=AB(答案不唯一).
根据等式的性质可得∠CAB=∠DAE，然后利用SAS证明△CAB≌△DAE，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握手拉手模型-旋转型全等是解题的关键．
15.【答案】70∘
【解析】解：如图，
根据三角形内角和可得∠2=180∘−50∘−60∘=70∘，
因为两个全等三角形，
所以∠1=∠2=70∘，
故答案为：70∘.
根据三角形内角和定理计算出∠2的度数，然后再根据全等三角形的对应角相等可得∠1=∠2=70∘.
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
16.【答案】③④
【解析】解：∵GE//BC，
∴∠CEG=∠ACB>∠DCB，
故①不符合题意；
∵EG//BC，CG⊥EG，
∴CG⊥BC，
∴∠BCG=90∘，
∵∠ACB不一定等于45∘，
∴CA不一定平分∠BCG，
故②不符合题意；
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠ADC+∠ACD=∠DCG+∠BCD=90∘，
∴∠ADC=∠DCG，
故③符合题意；
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠FBC=12∠ABC，∠BCF=12∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB=12(∠ABC+∠ACB)=12×90∘=45∘，
∴∠BFD=∠FBC+∠FCB=45∘，
∵CG⊥EG，
∴∠CGE=90∘，
∴∠BFD=12∠CGE，
故④符合题意，
∴正确的结论是③④，
故答案为：③④．
由平行线的性质推出∠CEG=∠ACB>∠DCB，由平行线的性质，垂直的定义推出∠BCG=90∘，得到CA不一定平分∠BCG，由余角的性质推出∠ADC=∠DCG，由角平分线定义得到∠FBC+∠FCB=12(∠ABC+∠ACB)=45∘，由三角形外角的性质得到∠BFD=∠FBC+∠FCB=45∘，由垂直的定义得到∠CGE=90∘得到∠BFD=12∠CGE.
本题考查角平分线定义，平行线的性质，关键是由三角形外角的性质推出∠BFD=∠FBC+∠FCB=45∘.
17.【答案】解：原式=x2−y2−x2+2xy=−y2+2xy，
当x=13，y=3时，原式=−9+2=−7.
【解析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解： 4+|−2|−(−2023)0+(12)−1
=2+2−1+2
=5.
【解析】先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值和二次根式，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
19.【答案】解：(x−2y)2=x2−4xy+4y2.
【解析】根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2展开计算即可．
本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．
20.【答案】解：原式=(a+1)(a−1)+1a−1⋅a−1a
=a2a−1⋅a−1a
=a.
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】证明：∵BE=CF，
∴EB+EC=CF+EC，
即BC=EF，
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠A=∠D.
【解析】首先根据等式的性质可得BC=EF，再根据平行线的性质可得∠B=∠DEF，然后可利用SAS定理证明△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质可得∠A=∠D.
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22.【答案】解：原方程去分母得：3−2x=x−2，
移项，合并同类项得：−3x=−5，
系数化为1得：x=53，
检验：将x=53代入2(x−2)中可得2×(53−2)=−23≠0，
故原分式方程的解为x=53.
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
23.【答案】证明：(2n+1)2−(2n−1)2
=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)
=2×4n
=8n，
2(2n+1+2n−1)=2×4n=8n，
∴(2n+1)2−(2n−1)2=2(2n+1+2n−1).
【解析】根据平方差公式展开即可得出结论．
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
24.【答案】解：设小杰每小时可以整理x册图书，则小月每小时可以整理1.2x册图书．
由题意得：1201.2x−80x=1560，
解得：x=80，
经检验：x=80是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×80=96，
答：小月每小时可以整理96册图书，小杰每小时可以整理80册图书．
【解析】设小杰每小时可以整理x册图书，则小月每小时可以整理1.2x册图书．根据小杰比小月提前15分钟完成工作．列出分式方程，解方程即可．
此题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60∘，
∵点C关于直线AB的对称点为C′，
∴AC′=AC，∠C′AB=∠CAB，
在△ABC′和△ABC中，
AC′=AC∠C′AB=∠CABAB=AB，
∴△ABC′≌△ABC(SAS)，
∴∠ABC′=∠ABC=60∘，
∴∠PBD=∠ABC′+∠ABC=120∘，∠PBE=180∘−∠ABC′=120∘，
∴∠PBD=∠PBE，
在△PBD和△PBE中，
PB=PB∠PBD=∠PBEBD=BE，
∴△PBD≌△PBE(SAS)，
∴PD=PE.
【解析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=60∘，AC′=AC，∠C′AB=∠CAB，利用SAS证明△ABC′≌△ABC，根据全等三角形的性质得出∠ABC′=∠ABC=60∘，根据邻补角定义及角的和差求出∠PBD=∠PBE=120∘，利用SAS证明△PBD≌△PBE，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟记全等三角形的判定与性质、轴对称的性质是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵b2+c2−4(b+c)+8=0，
∴(b2−4b+4)+(c2−4c+4)=0，
∴(b−2)2+(c−2)2=0，
∵(b−2)2≥0，(c−2)2≥0，
∴b=2，c=2，
∴AB=AC=2，
∵∠A=60∘，
∴△ABC是等边三角形；
(2)结论：OB=2OD.
理由：∵△ABC是等边三角形，CE，BD是中线，
∴BD⊥AC，∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB=30∘，
∴OB=OC，
∵∠ODC=90∘，∠DCO=30∘，
∴OC=2OD，
∴OB=2OD.
【解析】(1)利用非负数的性质证明b=c=2，可得结论；
(2)结论：OB=2OD.证明OB=OC，OC=2OD即可．
本题考查三角形的重心，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27.【答案】(1)证明：∵OB=BA，∠OBA=150∘，
∴∠BOA=∠BAO=12×(180∘−150∘)=15∘，
∵AE⊥OE，
∴∠E=90∘，
∴∠OAE=180∘−90∘−15∘=75∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠OAD=∠BAC−∠BAO=75∘=∠OAE，
在△AOE和△AOD中，
∠E=∠ADO=90∘∠OAE=∠OADOA=OA，
∴△AOE≌△AOD(AAS)；
(2)解：∵△AOE≌△AOD，
∴∠EOA=∠DOA=15∘，
过O点作OH⊥AB于H点，如图，
∵∠ABO=150∘，BO=BA，
∴∠OBH=30∘，∠BAO=15∘，
∴OH=12OB，
∵OB=AC，
∴OH=12AC，
∵OD⊥AC，BA⊥AC，OH⊥AB，
∴四边形ADOH为矩形，
∴AD=OH，
∴AD=12AC，
即OD垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴∠DOC=∠DOA=15∘.
【解析】(1)根据等腰三角形的性质及直角三角形的性质求出∠OAD=∠OAE=75∘，利用AAS即可证明△AOE≌△AOD；
(2)根据全等三角形的性质求出∠DOA=15∘，过O点作OH⊥AB于H点，根据含30∘角的直角三角形的性质求出OH=12OB，接着证明四边形ADOH为矩形得到AD=OH，则可证明OD垂直平分AC，则OA=OC，根据等腰三角形的性质求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△AOE≌△AOD是解题的关键．
28.【答案】T，W(3,3)
【解析】解：(1)①∵点A的坐标为(−2,4)，
∴|−2|+|4|=6，
在点S(0,2)，T(1,5)，W(2,−4)中，
|0|+|2|=2，|1|+|5|=6，|2|+|−4|=6，
∴T、W为点A的“等和点”，
故答案为：T，W；
②∵点B在第一象限的角平分线上，A，B两点为“等和点”，
设B(b,b)，
∴b+b=6，
∴b=3，
∴B(3,3)，
故答案为：(3,3)；
(2)设M(x,y)，过点M作ME⊥x轴于点E，
则|x|=OE，|y|=ME，
∵OC=|3|=3，OD=|−3|=3，
∴OC=OD.
∵∠COD=90∘，
∴∠OCD=∠ODC=45∘，
∴ME=EC，
∴|x|+|y|=OE+ME=OE+EC=OC=3.
∴点M的“等和点”满足横纵坐标的绝对值之和为3.
∴−3≤n≤3.
(1)①由“等和点”的定义一一验证即可；
②设B(b,b)，由“等和点”的定义列出方程求出b=3，则可得出答案；
(2)设M(x,y)，过点M作ME⊥x轴于点E，则|x|=OE，|y|=ME，证出ME=EC.，得出|x|+|y|=OE+ME=OE+EC=OC=3.则可得出答案．
本题考查了坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，新定义“等和点”等知识，解题的关键是理解题意，把问题转化为熟悉的内容上来，解决数学问题．