2023-2024学年河北省沧州市献县五中、二中八年级(上)期末数学试卷(含详细答案解析)
展开1.若x3÷x=xn,则n=( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
2.若分式x−1x+1的值为0,则x的值为( )
A. 1B. −1C. 1或−1D. 0
3.如图,在△ABC中,∠A=90∘,∠C=60∘,BC=4,则AC的长为( )
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 2.5
4.多项式4a2−2ab与多项式4a2−b2的公因式为( )
A. 2a−bB. 2aC. 2a+bD. 4a2−b
5.正六边形的一个内角是正m边形一个外角的4倍,则m=( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
6.下列正确的是( )
A. 2a2b⋅3a2b2=6a6b3B. 0.00076=7.6×104
C. −2a(a+b)=−2a2+2abD. (2x+1)(x−2)=2x2−3x−2
7.如图,在△ABC中,AD是角平分线,S△ABD=10,AB=5,则点D到边AC的距离为( )
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
8.下列式子运算结果为x+1的是( )
A. x2+2xx+2B. x2−2x+1x−1C. x2−1x−x+1xD. x2x−1−1x−1
9.从10米长的木条两边各截取一根x米长的木条.若得到的三根木条首尾顺次相接能组成三角形,则x的值可能为( )
A. 2B. 2.5C. 3D. 6
10.若m与n互为倒数,则(2m−2n)(1m+n)的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
11.如图,在由小正三角形组成的网格中,已有6个小正三角形涂黑,还需涂黑n个小正三角形,使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴,则n的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
12.如图,依据尺规作图痕迹,计算∠ABC=( )
A. 50∘
B. 60∘
C. 70∘
D. 80∘
13.在△ABC中,∠B=∠C=50∘,将△ABC沿图中虚线剪开,剪下的两个三角形不一定全等的是( )
A. B.
C. D.
14.《九章算术》中有题如下:把一封信送到900里外的地方,若用慢马送,则晚1天送达;若用快马送,则早3天送达,已知快马的速度是慢马的2倍.甲、乙两人所列方程如下,甲:设规定时间为x天,则900x+1×2=900x−3;乙:设慢马的速度为y里/天,则900y−9002y=2,则正确的是( )
A. 只有甲对B. 只有乙对C. 两人都对D. 两人都错
15.如图,在等边三角形ABC中,BD是中线,点P,Q分别在AB,AD上,且BP=AQ=QD=1,动点E在BD上,则PE+QE的最小值为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
16.如图,有正方形A,B,现将B放在A的内部得图①(图中阴影部分是正方形),将A,B并列放置后构造新的正方形得图②.若图①,图②中阴影部分的面积分别为4,30,关于甲、乙的说法.甲:图②中新正方形的边长为6;乙:正方形A,B的面积差为16.判断正确的是( )
A. 甲对乙错B. 甲错乙对C. 甲和乙都对D. 甲和乙都错
二、填空题:本题共3小题,每小题3分,共9分。
17.在△ABC中,∠B>90∘,要使△ABC为等腰三角形,写出一个可添加的条件:______.
18.已知关于x的分式方程3xx−1=mx−1+2.
(1)若m=4,分式方程的解为______;
(2)若分式方程无解,则m的值为______.
19.如图,AB//DE,AE与BD相交于点C.AC=EC,AB=8cm.点P从点A出发,沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动,同时点Q从点D出发,沿D→E方向以1cm/s的速度运动,当点P回到点A时,P,Q两点同时停止运动.
(1)DE的长为______ cm;
(2)连接PQ,当线段PQ经过点C时,点P的运动时间为______s.
三、解答题:本题共7小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
20.(本小题9分)
按要求完成下列各小题.
(1)计算:(−a2)3+9a4⋅a2;
(2)因式分解:2ab2+a2b+b3;
(3)计算:(1x−y−1x+y)÷x−2yx2−y2.
21.(本小题9分)
在平面直角坐标系中,四边形ABCD和四边形A′B′C′D′关于y轴对称,它们的顶点坐标如表所示.
(1)将表格补充完整;
(2)在图中画出四边形ABCD和四边形A′B′C′D′;
(3)直线BC与直线B′C′的交点M______(填“在”或“不在”)y轴上,点M的坐标为______.
22.(本小题9分)
如图,在△ABC中,AE是角平分线,AD是高,∠C=40∘,∠B=70∘,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求∠CAE的度数;
(2)求∠ADF的度数.
23.(本小题10分)
如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,AB=AC.
(1)求证:BD=CE;
(2)求证:点O在∠BAC的平分线上.
24.(本小题10分)
认真观察下面这些等式,按其规律,完成下列各小题:
①42−22=4×3;
②62−42=4×5;
③82−62=4×7;
④______;
…
(1)将横线上的等式补充完整;
(2)验证规律:设两个连续的正偶数为2n,2n+2(n为正整数),则它们的平方差是4的倍数;
(3)拓展延伸:判断两个连续的正奇数的平方差是8的倍数吗?并说明理由.
25.(本小题12分)
嘉嘉去文具店帮同学买笔,回来后和淇淇的对话如图.
设每支圆珠笔为x元.
(1)请你通过计算分析,淇淇为什么说嘉嘉搞错了?
(2)嘉嘉核实账单后,发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数,每支中性笔与圆珠笔的差值算错了,其他都正确.若每支中性笔比圆珠笔贵m(0
在等边三角形ABC中,E是折线BA−AC上的动点,D为射线BC上任意一点,且ED=EB.
(1)如图1,当动点E在边BA上时,连接CE,AD,求证:△AED≌△CDE;
(2)如图2,当动点E是边AC的中点,判断△CDE的形状,并说明理由;
(3)如图3,当动点E在边AC上时,求证:AE=CD;[提示:需作辅助线]
(4)连接AD,若AB=12cm,△BAD是直角三角形,直接写出AE的长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:∵x3÷x=x3−1=x2=xn,
∴n=2.
故选:B.
根据同底数幂相除,底数不变,指数相减进行计算即可.
本题考查同底数幂的除法,掌握“同底数幂相除,底数不变,指数相减”是正确解答的前提.
2.【答案】A
【解析】解:∵分式x−1x+1的值为0,
∴x−1=0且x+1≠0,
由x−1=0可得:x=1,
由x+1≠0可得:x≠−1,
∴x=1.
故选:A.
分式的值为零的条件是:分子为零,分母不为零,由此列方程与不等式,从而可得答案.
本题考查的是分式的值为零的条件,掌握分式的值为零的条件是解题的关键.
3.【答案】C
【解析】解:由题意知,∠B=180∘−∠A−∠C=30∘,
∴AC=12BC=2,
故选:C.
由题意知,∠B=30∘,根据AC=12BC,计算求解即可.
本题考查了三角形内角和定理,含30∘的直角三角形.熟练掌握三角形内角和定理,含30∘的直角三角形的性质是解题的关键.
4.【答案】A
【解析】解:∵4a2−2ab=2a(2a−b),4a2−b2=(2a+b)(2a−b),
∴公因式是:2a−b.
故选:A.
分别将多项式4a2−2ab与多项式4a2−b2进行因式分解,再寻找它们的公因式.
本题主要考查公因式的确定,先利用提公因式法和公式法分解因式,然后再确定公共因式.
5.【答案】D
【解析】解:正六边形的一个内角为:(6−2)×180∘6=120∘,
∵正六边形的一个内角是正m边形一个外角的4倍,
∴正n边形一个外角为:120∘÷4=30∘,
∴m=360∘÷30∘=12.
故选:D.
根据多边形的内角和公式求出正六边形的一个内角等于120∘,再根据多边形的外角和是360∘即可解答.
本题主要考查了多边形的外角和定理,理解多边形外角和中外角的个数,以及正多边形的边数之间的关系,是解题关键.
6.【答案】D
【解析】解:A.2a2b⋅3a2b2=6a4b3,原选项计算错误,不符合题意;
×10−4,原科学记数法表示错误,故此选项不符合题意;
C.−2a(a+b)=−2a2−2ab,原选项计算错误,不符合题意;
D. (2x+1)(x−2)=2x2−3x−2,计算正确,符合题意,
故选:D.
运用相关运算法则计算各选项即可
本题主要考查单项式乘以单项式、科学记数法,单项式乘以乘以多项式,多项式乘以多项式的运算,解题的关键是掌握运算法则,正确计算.
7.【答案】B
【解析】解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,
∵AD是∠CAB的角平分线,∠C=90∘,
∴DE=DC,
∵S△ABD=10,AB=5,
∴12×5DE=10,
∴DE=4,
∴DC=4,
即点D到AB的距离DE=4.
故选:B.
据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC,利用三角形的面积先求解DE=4,从而可得答案.
本题主要考查了角平分线的性质,熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
8.【答案】D
【解析】解:A、x2+2xx+2=x(x+2)x+2=x,故此选项不符合题意;
B、x2−2x+1x−1=(x−1)2x−1=x−1,故此选项不符合题意;
C、x2−1x−x+1x=x2−1−x−1x=x2−x−2x,故此选项不符合题意;
D、x2x−1−1x−1=x2−1x−1=(x+1)(x−1)x−1=x+1,故此选项符合题意;
故选:D.
先把分式的分子、分母分解因式,然后根据分式的加减运算法则计算,即可作出判断.
本题考查了分式的加减法,熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键.
9.【答案】C
【解析】解:由题意可知,三根木条的长度分别为x m,x m,(10−2x)m,
∵三根木条要组成三角形,
∴x−x<10−2x
依据题意,三根木条的长度分别为x m,x m,(10−2x)m,再根据三角形的三边关系即可判断.
本题主要考查了三角形三边的关系,关键是掌握三角形两边之和大于第三边,两边之差的绝对值小于第三边.
10.【答案】A
【解析】解:∵m与n互为倒数,
∴mn=1,
∴(2m−2n)(1m+n)
=2+2mn−2mn−2
=2+2−2−2
=0;
故选:A.
根据倒数的含义可得mn=1,然后再计算分式的乘法运算,再整体代入计算即可.
本题考查了分式的化简求值,倒数,准确熟练地进行计算是解题的关键.
11.【答案】C
【解析】解:如图所示,n的最小值为3.
故选:C.
由等边三角形有三条对称轴可得答案.
本题考查了利用轴对称设计图案,解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质.
12.【答案】C
【解析】解:由尺规作图痕迹可知,所作为线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线,
设线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线相交于点D,线段AB的垂直平分线交AB于点E,
则AD=BD,DE⊥AB,∠ABD=∠CBD,
∴△ABD为等腰三角形,
∴∠ADE=∠BDE=12×(180∘−70∘)=55∘,
∴∠DBE=180∘−90∘−55∘=35∘,
∴∠ABC=2∠DBE=70∘.
故选:C.
由尺规作图痕迹可知,所作为线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线,结合线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义可得答案.
本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义,熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键.
13.【答案】D
【解析】解:A、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等,故A选项不符合题意;
B、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等,故B选项不符合题意;
C、如下图:
∵∠DFC=∠DFE+∠EFC且∠DFC=∠B+∠BDF,
∴∠DFE+∠EFC=∠B+∠BDF,
∵∠B=∠DFE=50∘,
∴∠EFC=∠BDF,
∵BD=FC,∠B=∠C,
∴△DBF≌△FCE(ASA).
根据ASA可以推出剪下的两个三角形全等,故C选项不符合题意;
D、如下图:
由C选项可得:∠EFC=∠BDF,∠B=∠C,但FC不是两个角的夹边,所以两个三角形不一定全等,故D选项符合题意;
故选:D.
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可.
本题考查了全等三角形的判定定理.
14.【答案】A
【解析】解:设规定时间为x天,慢马用时(x+1)天,快马用时(x−3)天,
依题意得,900x+1×2=900x−3;甲正确,故符合要求;
设慢马的速度为y里/天,则快马的速度为2y里/天,
依题意得,900y−9002y=4,乙错误,故不符合要求;
故选:A.
设规定时间为x天,慢马用时(x+1)天,快马用时(x−3)天,根据速度关系列分式方程得,900x+1×2=900x−3;设慢马的速度为y里/天,则快马的速度为2y里/天,根据时间关系列分式方程得,900y−9002y=4;然后进行判断作答即可.
本题考查了由实际问题抽象出分式方程.解题的关键在于根据题意正确的列分式方程.
15.【答案】B
【解析】解:如图,在BC上其一点P′,使BP′=BP=1,连接PP′,P′Q,EP′,
∵△ABC是等边三角形,BD⊥AC于点D,
∴直线BD是△ABC的对称轴,点P′与点P关于BD对称,AC=2AD,
∴PE=P′E,
∴PE+QE=P′E+QE≥P′Q,
∴PE+QE的最小值为线段P′Q的长,
∵AQ=QD=1,
∴AC=2(AQ+QD)=2×2=4,
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠C=60∘,
∵AQ=BP′=1,
∴CP′=CQ,
∴△CP′Q是等边三角形,
∴P′Q=CQ,
∵CQ=AC−AQ=4−1=3,
∴PE+QE的最小值为3,
故选:B.
在BC上其一点P′,使BP′=BP=1,连接PP′,P′Q,EP′,证明出PE+QE的最小值为线段P′Q的长,△CP′Q是等边三角形,即可求出P′Q的长,从而解决问题.
本题考查轴对称-最短路线问题,等边三角形的判定和性质,三角形两边之和大于第三边,能用一条线段的长表示出两线段和的最小值是解题的关键.
16.【答案】B
【解析】解:设正方形A的边长为a,正方形B的边长为b,
由图①得:
a2−b2−2b(a−b)=4,
∴a2−b2−2ab+2b2=4,
∴a2−2ab+b2=4,
∴(a−b)2=4,
∴a−b=2,(负根舍去),
由图②得:
(a+b)2−a2−b2=30,
∴a2+2ab+b2−a2−b2=30,
∴2ab=30,
∴a2+b2=34,
∴图②所示的大正方形的面积
=(a+b)2
=a2+2ab+b2
=64,
∴a+b=8,(负根舍去),故甲的说法错误;
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=2×8=16.
故选:B.
根据图形列出算式是解题的关键.设正方形A的边长为a,正方形B的边长为b,根据题意可得a2−b2−2b(a−b)=4,(a+b)2−a2−b2=30,然后进行化简计算即可解答.
本题考查了整式的混合运算与图形面积,完全平方公式的应用,利用平方差公式分解因式.
17.【答案】∠A=∠C(或BA=BC)
【解析】解:∵△ABC中,∠B>90∘,要使△ABC为等腰三角形,
∴可添加∠A=∠C(或BA=BC).
故答案为:∠A=∠C(或BA=BC).
根据等腰三角形的定义即可解答.
本题考查的是等腰三角形的定义,等腰三角形的判定,熟记等腰三角形的定义与判定方法是解本题的关键.
18.【答案】x=23
【解析】解:(1)当m=4时,原方程即为:3xx−1=4x−1+2,
去分母得:3x=4+2x−2,
解得:x=2,
检验:当x=2时,x−1≠0,
∴x=2是原方程的根;
故答案为:x=2;
(2)方程去分母得:3x=m+2x−2
化简,得x=m−2,
当x=1时,分母为零,分式方程无解,
即m−2=1,解得m=3,
∴m=3时,方程无解.
故答案为:3.
(1)把m=4代入原方程中,然后按照解分式方程的步骤进行计算,即可解答;
(2)根据分式方程的增根是最简公分母为零的值,可得关于m的方程,根据解方程,可得答案;
本题考查了解分式方程已经分式方程的解,,准确熟练地进行计算,利用分式方程的增根得出关于m的方程是解题关键.
19.【答案】8 2或4
【解析】解:(1)∵AB//DE,
∴∠A=∠E,
在△ACB和△ECD中,
∠A=∠EAC=EC∠ACB=∠ECD,
∴△ACB≌△ECD(SAS),
∴ED=AB=8cm,
故答案为:8;
(2)当线段PQ经过点C时,如下图所示:
在△ACP和△ECQ中,
∠A=∠EAC=EC∠ACP=∠ECQ,
∴△ACP≌△ECQ(ASA),
∴AP=EQ,
当点P沿A→B方向运动时,AP=3t,DQ=t,
∴EQ=ED−DQ=8−t,
∴3t=8−t,
解得t=2;
当点P沿B→A方向运动时,AP=2AB−3t=16−3t,DQ=t,
∴EQ=ED−DQ=8−t,
∴16−3t=8−t,
解得t=4;
综上可知,t的值为2s或4s,
故答案为:2或4.
(1)证△ACB≌△ECD(SAS),可得答案;
(2)当线段PQ经过点C时,证明△ACP≌△ECQ(ASA),推出AP=EQ,分点P沿A→B方向运动和沿B→A方向运动两种情况,分别列式求解.
本题考查全等三角形的判定与性质,解题的关键是注意分情况讨论.
20.【答案】解:(1)(−a2)3+9a4⋅a2
=−a6+9a6
=8a6;
(2)2ab2+a2b+b3
=b(2ab+a2+b2)
=b(a+b)2;
(3)(1x−y−1x+y)÷x−2yx2−y2
=x+y−(x−y)(x+y)(x−y)⋅(x+y)(x−y)x−2y
=2yx−2y.
【解析】(1)先计算积的乘方运算,同底数幂的乘法运算,再合并同类项即可;
(2)先提取公因式,再利用完全平方公式分解因式即可;
(3)先计算括号内的分式的减法运算,再计算分式的除法运算即可.
本题考查的是积的乘方运算,同底数幂的乘法运算,合并同类项,因式分解,分式的混合运算,熟记运算法则是解本题的关键.
21.【答案】解:(1)(−2,−2);(4,0);
(2)四边形ABCD和四边形A′B′C′D′如图所示,
(3)在;(0,−4).
【解析】解:(1)∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′关于y轴对称,
∴补充表格如下:
故答案为:(4,0),(−2,−2);
(2)见答案;
(3)如图,
直线BC与直线B′C′的交点M在y轴上,点M的坐标为(0,−4).
故答案为:在,(0,−4).
(1)根据关于y轴对称的图形的坐标性质补充表格即可;
(2)先根据坐标描点,再画图即可;
(3)根据轴对称的性质可得对称线段的交点位置,从而可得答案.
本题考查的是画轴对称,坐标与图形,轴对称的性质,熟记轴对称的性质是解本题的关键.
22.【答案】解:(1)∵∠C=40∘,∠B=70∘,
∴∠BAC=180∘−(∠C+∠B)=70∘,
∵AE是∠BAC的角平分线,
∴∠CAE=12∠BAC=35∘.
(2)∵AD是△ABC的高,
∴∠CAD=90∘−∠C=50∘,
∴∠DAE=∠CAD−∠CAE=15∘,
∵DF⊥AE
∴∠ADF=90∘−∠DAE=75∘.
【解析】(1)根据三角形的内角和180∘,求出∠BAC的度数,再根据角平分线的性质定理求出∠CAE的度数.
(2)先求出∠CAD,再求出∠DAE,最后求出∠ADF.
本题主要考查三角形的内角和,角平分线性质定理,角的和差来解决问题.
23.【答案】(1)证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠AEB=90∘,
在△ACD与△ABE中,
∠A=∠BAC=AB∠ADC=∠AEB,
∴△ACD≌△ABE(ASA),
∴AD=AE,
∴AB−AD=AC−AE,
即BD=CE;
(2)证明:由(1)可知BD=CE,∠ODB=∠OEC=90∘.
在△OBD和△OCE中,
∠ODB=∠OEC∠BOD=∠COEBD=CE,
∴△OBD≌△OCE(AAS),
∴OD=OE,
又∵OD⊥AB,OE⊥AC,
∴点O在∠BAC的平分线上.
【解析】(1)根据ASA证明△ACD≌△ABE即可推出结论;
(2)由AAS证明OBD≌△OCE得出OD=OE即可推出结论.
本题考查了全等三角形的判定与性质,熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键.
24.【答案】102−82=4×9
【解析】解:(1)由题意得:102−82=4×9;
故答案为:102−82=4×9;
(2)(2n+2)2−(2n)2=(2n+2+2n)(2n+2−2n)=4(2n+1).
∵n为正整数,
∴2n+1为正整数,
∴若两个连续的正偶数为2n,2n+2(n为正整数),则它们的平方差是4的倍数;
(3)是;理由:
设两个连续的正奇数为2m−1,2m+1(m为正数).
(2m+1)2−(2m−1)2
=[(2m+1)−(2m−1)][(2m+1)+(2m−1)]
=2×4m
=8m.
∵m为正整数,
∴两个连续的正奇数的平方差是8的倍数.
(1)根据已知算式写出即可;
(2)利用平方差公式计算得出答案;
(3)这两个偶数为2n和2n+2,利用平方差公式计算得出答案.
此题主要考查了平方差公式的应用,正确发现数字变化规律是解题关键.
25.【答案】解:(1)由题意可知,每支中性笔为(x+1.2)元.
由题意得:21x+1.2=12x,
解得:x=1.6,
经检验,x=1.6是原方程的解,
此时,圆珠笔的数量为12÷1.6=7.5(支),
∵圆珠笔的数量为整数,
∴x=1.6不符合题意,
∴淇淇说嘉嘉搞错了;
(2)由题意可知,每支中性笔为(x+m)元.
由题意得:21x+m=12x,
解得:x=4m3,
∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数,
∴整数m=3,
∴x=4,
经检验,x=4是原方程的解,且符合题意,
答:整数m的值为3.
【解析】(1)根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔,列出分式方程,解方程,进而求出圆珠笔的数量,即可解决问题;
(2)根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔,列出分式方程,解方程,然后求出m=3即可.
本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.
26.【答案】(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60∘,AB=BC,
∵EB=ED,
∴△EED是等边三角形,
∴∠EED=∠BDE=60∘,BE=BD,
∴180∘−∠BED=180∘−∠BDE,即∠AED=∠CDE,
AB−BE=BC−ED,即AE=CD,
在△AED和△CDE中,
AE=CD∠AED=∠CDEDE=DE,
∴△AED≌△CDE(SAS);
(2)解:△CDE是等腰三角形;理由如下:
∵E为AC的中点,△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60∘,∠CBE=12∠ABC=30∘,
∵ED=EB,
∴∠EDB=∠CBE=30∘,
∴∠DEC=∠ACB−∠EDB=30∘,
∴∠DEC=∠EDB,
∴△CDE是等腰三角形;
(3)证明:过点E作EF//BC,如图:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60∘,AB=AC,
∵EF//BC,
∴∠AFE=∠AB=60∘,∠AEF=∠ACB=60∘,
∴∠AFE=∠AEF=∠A,
∴△AEF是等边三角形,
∴AF=AE=EF,∠BFE=∠ECD=120∘,
∴AB−AF=AC−AE,即BF=CE,
∵EB=ED,
∴∠EBD=∠EDC,
∴∠ABC−∠EBD=∠ACB−∠EDC,即∠EBF=∠DEC,
在△EFB和△DCE中,
∠BFE=∠ECDBF=CE∠EBF=∠DEC,
∴△EFB≌△DCE(ASA),
∴EF=CD,
∴AE=CD;
(4)解:当∠ADB=90∘时,如图:
∴AD是△ABC的中线,
∴BD=CD=12AB=6,
由(1)可知,AE=CD,
∴AE=6;
当∠BAD=90∘时,如图:
∴∠ADB=90∘−∠ABC=30∘,
∴BD=2AB=24,
∴CD=BD−BC=12,
由(3)可知,CD=AE,
∴AE=12.
综上所述,AE的长为6cm或12cm.
【解析】(1)由△ABC是等边三角形,得∠ABC=60∘,AB=BC,而EB=ED,知△EED是等边三角形,有∠EED=∠BDE=60∘,BE=BD,可得∠AED=∠CDE,AE=CD,即可得△AED≌△CDE(SAS);
(2)由E为AC的中点,△ABC是等边三角形,得∠ACB=60∘,∠CBE=12∠ABC=30∘,又ED=EB,故∠EDB=∠CBE=30∘,有∠DEC=∠ACB−∠EDB=30∘,知∠DEC=∠EDB,△CDE是等腰三角形;
(3)过点E作EF//BC,证明△AEF是等边三角形,可得∠BFE=∠ECD=120∘,∠EBF=∠DEC,即可证△EFB≌△DCE(ASA),得EF=CD,从而AE=CD;
(4)分两种情况:当∠ADB=90∘时,由(1)可知,AE=CD,可得AE=6;当∠BAD=90∘时,由(3)可知,CD=AE,可得AE=12.
本题考查三角形综合应用,涉及全等三角形判定与性质,等边三角形性质及应用,直角三角形性质及应用;解题的关键是掌握等边三角形性质及全等三角形判定定理.四边形ABCD
A(−3,2)
B(−4,0)
C______
D(−2,2)
四边形A′B′C′D′
A′(3,2)
B′______
C′(2,−2)
D′(2,2)
四边形ABCD
A(−3,2)
B(−4,0)
C(−2,−2)
D(−2,2)
四边形A′B′C′D′
A′(3,2)
B′(4,0)
C′(2,−2)
D′(2,2)
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