2023-2024学年辽宁省大连市庄河市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市庄河市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图标中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.5G网络即第五代移动通信网络，是新一代蜂窝移动通信技术.其减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量的优势被广泛应用.5G网络下载一个1000KB的文件只需要0.00076秒，则数据0.00076用科学记数法可表示为( )
A. 7.6×106B. 7.6×10−6C. 7.6×10−4D. 0.76×10−3
3.一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
A. 三角形三条边的垂直平分线的交点B. 三角形三条角平分线的交点
C. 三角形三条高所在直线的交点D. 三角形三条中线的交点
4.下列运算中正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (a3b)2=a6b2
C. 2(a−1)=2a−1D. a6÷a2=a3
5.如果一个多边形的内角和等于720∘，则它的边数为( )
A. 3B. 4C. 6D. 5
6.我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE=AF，GE=GF，则△AEG≌△AFG的依据是( )
A. SASB. ASAC. AASD. SSS
7.下列式子中，是最简分式的是( )
A. aba3B. a+aba2bC. a2+b2a2−b2D. a2+2ab+b2a2−b2
8.如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、b(a>b)，周长为14，面积为12，请计算a2b+ab2的值为( )
A. 42
B. 84
C. 76
D. 82
9.如图，已知在△ABC中，边BC的垂直平分线DF交AC于点E，再以点B为圆心，任意长为半径画弧交BA，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧交于点P，作射线BP恰好交AC于点E.若AB=8，BC=12，△BDE的面积为9，则△ABC的面积为( )
A. 9B. 12C. 30D. 27
10.一个圆柱形容器的容积为Vm3，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间tmin.则大，小两根水管的注水速度分别为( )
A. 5V2tm3/min，5V8tm3/minB. 5V8tm3/min，5V2tm3/min
C. 5V2tm3/min，5V4tm3/minD. 5V4tm3/min，5V8tm3/min
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：5−2=______.
12.已知x2+kx+9是完全平方式，则k=______.
13.使得分式a2−1a+1值为零的a的值是______.
14.如图所示，已知一张三角形纸片ABC(如图甲)，其中AB=AC.将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD(如图乙).再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙).原三角形纸片ABC中，∠A的度数为______ ∘.
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD为AB边上的高，BC=3，AC=6，点E从点B出发，在直线BC上以每秒2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动______ s时，AB=CF.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)−12024+|−3|−(π+1)0；
(2)解方程：2x+2=4x2−4.
17.(本小题8分)
化简求值aa2+2a+1÷(1−aa+1)，其中a=2.
18.(本小题9分)
如下图，在平面直角坐标系中，△ABC中三个顶点坐标分别为A(1,0)，B(1,5)，C(−2,4)，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形，试完成下列问题：
(1)请直接写出△ABC的面积；
(2)△ABC与△A′B′C′成轴对称，请在图1中画出△ABC与△A′B′C′的对称轴；
(3)在图2中画两个格点三角形与△ABC全等，且有一条公共边(请在格点中完成).
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，过点A作BC边上的高交CB的延长线于点D，BE平分∠ABC交AC于点E.若∠DAB=36∘，∠C=32∘，求∠AEB的度数.
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，连接BE，CD相交于点F，证明FB=FC.
21.(本小题8分)
2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，由中国航天员担任“太空讲师”，以青少年为主要对象，丰富又生动精彩的知识激发了学生探索科学奥秘的兴趣.某中学为满足学生的学习要求，决定购入甲，乙两种实验器材，其中每套甲种器材的价格比每套乙种器材的价格多25元，用2000元购进甲种器材数量是用750元购进乙种器材数量的2倍.试求每套甲，乙两种器材的价格分别为多少元？
22.(本小题12分)
【阅读材料】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的.例如，教材在探究平方差与完全平方公式就利用了数形结合的方法.
【类比探究】对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.如图，若将图1中的阴影部分(四个全等的小正方形)移动成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，请回答下列问题：
(1)请写出图中所表示的数学等式______；
【解决问题】
(2)利用(1)中得到的结论，计算：若(4+x)x=5，求(4+x)2+x2的值；
【拓展应用】
(3)将图2阴影部分用剪刀剪去，剩下部分围成一个长方体盒子(无盖)，若长方体盒子的底面积为1cm2，表面积为9cm2，试求这个长方体的高.
23.(本小题12分)
【问题初探】
在数学活动课上，张老师给出下面问题：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D在BC边上.
(1)当α=90∘时，过点C作CE⊥AD，垂足为E，点F为BC的中点，连接EF.
①请找出图中与∠BAD相等的角并直接写出结论______；
②求证：EF平分∠DEC.
上面问题②小智同学从结论出发给出如下解题思路：若EF平分∠DEC，则∠CEF=45∘，可以通过合理添加辅助线，借助“构全等”来解决问题；
小琪同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据点F为BC的中点，通过“倍长中线”构全等来解决问题.
请你选择一名同学的解题思路来解决问题，并说明理由.
【学以致用】
(2)如图3，当α=60∘时，AC=AE，连接CE，且AD平分∠BAE，过点D作DF⊥AE于点F，若CD=kEF，求EFAB的值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：0.00076用科学记数法可表示为7.6×10−4，
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：∵根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
故选：B.
根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
本题考查角平分线的性质，要充分理解并加以运用性质中的线段关系．
4.【答案】B
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故A不符合题意；
B、(a3b)2=a6b2，故B符合题意；
C、2(a−1)=2a−2，故C不符合题意；
D、a6÷a2=a4，故D不符合题意；
故选：B.
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，去括号与添括号法则进行计算，逐一判断，即可解答．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，去括号与添括号，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：这个正多边形的边数是n，则
(n−2)⋅180∘=720∘，
解得：n=6.
则这个正多边形的边数是6.
故选：C.
n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180∘，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
本题考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．
6.【答案】D
【解析】解：在△AEG和△AFG中，
EG=FGAE=AFAG=AG，
∴△AEG≌△AFG(SSS)，
故选：D.
根据全等三角形的判定定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键.
7.【答案】C
【解析】解：A.aba2=ba，不是最简分式，不符合题意；
B.a+aba2b=a(a+b)a2b=a+bab，不是最简分式，不符合题意；
C.a2+b2a2−b2是最简分式，符合题意；
D.a2+2ab+b2a2−b2=(a+b)2(a+b)(a−b)=a+ba−b，不是最简分式，不符合题意；
故选：C.
根据最简分式的概念求解即可．
本题主要考查最简分式，解题的关键是掌握最简分式的概念．
8.【答案】B
【解析】解：由题意得：2(a+b)=14，ab=12，
∴a+b=7，
∴a2b+ab2
=ab(a+b)
=12×7
=84.
故选：B.
由矩形的面积、周长公式得到ab=12，a+b=7，而a2b+ab2=ab(a+b)，代入有关数据即可求值．
本题考查代数式，因式分解-提公因数法，矩形的周长和面积，关键是由提公因数法得到a2b+ab2=ab(a+b).
9.【答案】C
【解析】解：过点E作EG⊥AB于点G，
由作图可知，射线BP为∠ABC的平分线，
∵直线DF为线段BC的垂直平分线，
∴∠BDF=90∘，BD=CD=12BC=6，
∴DE=EG，
∵△BDE的面积为9，
∴S△BCE=2S△BDE=18，12BD⋅DE=12×6×DE=9，
∴DE=3，
∴EG=3，
∴S△ABE=12AB⋅EG=12×8×3=12，
∴S△ABC=S△ABE+S△BCE=12+18=30.
故选：C.
过点E作EG⊥AB于点G，由作图可知，射线BP为∠ABC的平分线，结合直线DF为线段BC的垂直平分线，可得S△BCE=2S△BDE=18，DE=EG=3，即可求出△ABE的面积，根据S△ABC=S△ABE+S△BCE可得答案．
本题考查作图-基本作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：若小水管的半径为r米，则大水管的半径为2r米，
所以大水管的横截面是小水管横截面的4倍，
设小水管注水速度为x立方米/分，则大水管注水速度为4x立方米/分；
由题意可得：v2x+v24x=t，
解得：x=5v8t，
经检验得：x=5v8t是原方程解；
则4x=5v2t，
∴小口径水管速度为5v8t立方米/分，大口径水管速度为5v2t立方米/分；
故选：A.
小水管注水速度为x立方米/分，则大水管注水速度为4x立方米/分，根据题意以时间作为等量关系可列方程求解．
本题考查理解题意的能力，解决本题的关键是设出速度以时间作为等量关系列方程求解．
11.【答案】125
【解析】解：5−2=152=125，
故答案为：125.
根据负整数指数幂的定义求解即可．
本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂的概念是解题的关键．
12.【答案】±6
【解析】解：因为x2+kx+9是完全平方式，
所以kx=±2⋅x⋅3，
所以k=±6.
故答案为：±6.
这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，据此解答即可．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
13.【答案】1
【解析】解：要使得分式a2−1a+1=0，
则a2−1=0且a+1≠0，
解得a=1.
故答案为：1.
根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．
本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零是解题的关键．
14.【答案】36
【解析】解：由折叠的性质得：∠DEB=∠C，∠A=∠ADE，
∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180∘，
∴5∠A=180∘，
∴∠A=36∘.
故答案为：36.
由折叠的性质得：∠DEB=∠C，∠A=∠ADE，由三角形外角的性质得到∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，由等腰三角形的性质推出∠ABC=∠C=2∠A，由三角形内角和定理得到∠A+∠ABC+∠ACB=180∘，即可求出∠A=36∘.
本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，关键是由折叠的性质得到∠DEB=∠C，∠A=∠ADE.由三角形外角的性质，等腰三角形的性质推出∠ABC=∠C=2∠A.
15.【答案】1.5或4.5.
【解析】解：(1)∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F，
∴∠CEF=90∘=∠ACB，
在△CEF和△ACB中，
∠ECF=∠A∠CEF=∠ACBCF=AB，
∴△CEF≌△ACB(AAS)，
∴CE=AC=6，
①如图，当点E在射线BC上移动时，BE=CE+BC=6+3=9，
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了：9÷2=4.5(s)；
②当点E在射线CB上移动时，BE′=AC−BC=6−3=3(cm)，
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了：3÷2=1.5(s)；
综上所述，当点E在射线CB上移动4.5s或1.5s时，CF=AB；
故答案为：1.5或4.5.
先证明△CEF≌△ACB(AAS)，得出CE=AC=6，①当点E在射线BC上移动时，②当点E在射线CB上移动时，根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16.【答案】解：(1)−12024+|−3|−(π+1)0
=−1+3−1
=1；
(2)2x+2=4x2−4，
原方程可化为2x+2=4(x+2)(x−2)，
方程两边同乘(x+2)(x−2)，
2(x−2)=4，
解得x=4，
检验：当x=4时(x+2)(x−2)≠0，所以x=4是原方程的解，
所以原方程的解是x=4.
【解析】(1)根据实数的运算法则计算即可；
(2)根据解分式方程的解法求解即可．
本题考查了实数的运算和解分式方程，熟练掌握实数的运算法则以及解分式方程的步骤是解题的关键．
17.【答案】解：aa2+2a+1÷(1−aa+1)
=a(a+1)2÷a+1−aa+1
=a(a+1)2⋅(a+1)
=aa+1，
当a=2时，原式=22+1=23.
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)△ABC的面积为12×5×3=152.
(2)如图1，直线l即为所求．
(3)如图2，△ABD和△BAE即为所求．

【解析】(1)利用三角形的面积公式计算即可．
(2)由轴对称的性质画出对称轴即可．
(3)根据全等三角形的判定与性质按要求画图即可．
本题考查作图-轴对称变换、全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90∘，
∵∠ABC是△ABD的一个外角
∴∠ABC=∠ADB+∠DAB=90∘+36∘=126∘，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=12∠ABC=12×126∘=63∘，
∵∠AEB是△EBC的一个外角，
∴∠AEB=∠C+∠EBC=32∘+63∘=95∘.
【解析】先根据三角形高的定义得∠ADB=90∘，再由三角形的外角定理得∠ABC=126∘，然后根据角平分线的定义可求出∠EBC=63∘，进而再根据三角形的外角定理可求出∠AEB的度数．
此题主要考查了三角形的高，角平分线的定义，三角形的外角定理，准确识图，理解三角形的高和角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角定理是解决问题的关键．
20.【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠A=∠AAE=AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC.
【解析】由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，由“SAS”可证△ABE≌△ACD，可得∠ABE=∠ACD，即可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21.【答案】解：设甲种器材的价格是x元，则乙种器材的价格是(x−25)元，
根据题意得：2000x=750x−25×2，
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
∴x−25=100−25=75，
答：甲种器材的价格是100元，乙种器材的价格是75元．
【解析】设甲种器材的价格是x元，则乙种器材的价格是(x−25)元，根据用2000元购进甲种器材数量是用750元购进乙种器材数量的2倍．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】(a−b)2=a2−2ab+b2
【解析】解：(1)图中所表示的数学等式：(a−b)2=a2−2ab+b2，
故答案为：(a−b)2=a2−2ab+b2；
(2)设4+x=a，x=b，
∴a−b=4+x−x=4，
∵(4+x)x=5，
∴ab=5，
∴(4+x)2+x2=a2+b2=(a−b)2+2ab=42+2×5=16+10=26，
∴(4+x)2+x2的值为26；
(3)∵长方体盒子的表面积为9cm2，
∴(a−b)2=9，
∴a−b=3或a−b=−3(舍去)，
∴这个长方体的高=a−b2=32(cm)，
∴这个长方体的高为32cm.
(1)利用面积法进行计算，即可解答；
(2)利用(1)的结论进行计算，即可解答；
(3)利用(1)的结论进行计算，即可解答．
本题考查了完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23.【答案】∠ACE
【解析】(1)解：①∵∠BAC=90∘，
∴∠BAD+∠DAC=90∘，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90∘，
∴∠ACE+∠ADC=90∘，
∴∠BAD=∠ACE，
故答案为：∠ACE；
②证明：如图1，
连接AF，作FG⊥CE于G，作FH⊥AD于H，设AF交CE于O，
∴∠AHF=∠CGF=90∘，
∵∠BAC=90∘，F是BC的中点，AB=AC，
∴AF=CF=12BC，AF⊥BC，
∴∠AFC=90∘，
∵∠AOE=∠COF，
∴∠FAH=∠FCG，
∴△AFH≌△CFG(AAS)，
∴FH=FG，
∴EF平分∠CED；
(2)解：如图2，
作DX⊥AB于X，连接DE，
∵∠BAC=60∘，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60∘，AB=AC=BC=AE，
∵DF⊥AE，AD平分∠BAE，
∴DX=DF，∠ADX=∠ADF，
∴AX=AF，
∴AB−AX=AE−AF，
∴BX=EF，
∴Rt△BDX≌Rt△BDF(HL)，
∴BX=EF，
∵∠BXD=90∘，∠B=60∘，
∴∠BDX=30∘，
∴BX=12BD，
∴EF=12BD，
设EF=a，则BD=2a，
∵CD=kEF，
∴CD=ka，
∴AB=BC=BD+CD=(k+2)a，
∴EFAB=1k+2.
(1)①可推出∠BAD+∠DAC=90∘，∠ACE+∠ADC=90∘，∠BAD=∠ACE；
②连接AF，作FG⊥CE于G，作FH⊥AD于H，设AF交CE于O，可证得△AFH≌△CFG，从而FH=FG，进而得出结论；
(2)作DX⊥AB于X，连接DE，可证得Rt△BDX≌Rt△BDF，从而BX=EF，进而得出EF=12BD，设EF=a，则BD=2a，CD=ka，进一步得出结果．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．