2023-2024学年辽宁省葫芦岛市连山区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年辽宁省葫芦岛市连山区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.第19届亚运会9月23日到10月8日在杭州召开，图中是历届亚运会图标中的一部分，不考虑字母，仅就图标部分，其中是轴对称图形的为( )
A. B.
C. D.
2.若分式x2−92x−6的值为0，则x等于( )
A. −3B. 3C. ±3D. 0
3.若点A(a,3)与点B(2,3)关于y轴对称，则a的值是( )
A. 2B. −3C. 3D. −2
4.欢乐六一，多彩童年，每年6月1日这天，孩子们都会用各种形式欢度自己的节日，还记得我们小时候一起玩的吹泡泡吗？已知泡泡的泡壁厚度约为0.000000326米，请你使用科学记数法表示“0.000000326米”这个数( )
A. 3.26×10−7米B. 3.26×10−6米C. 3.26×10−5米D. 0.326×10−7米
5.如图，△ABC≌△DEF，点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，则∠E等于( )
A. 30∘B. 50∘C. 60∘D. 100∘
6.不改变分式的值，使分式1−2x−x2+3x−3的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为( )
A. 2x−1x2+3x−3B. 2x−1x2−3x+3C. 2x+1x2+3x−3D. 2x+1x2+3x+3
7.如果x2−kx+9是一个完全平方式，那么k的值是( )
A. 3B. ±6C. 6D. ±3
8.若10m=5，10n=3，求102m−3n的值( )
A. 53B. 253C. 675D. 2527
9.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=( )
A. 45∘
B. 60∘
C. 110∘
D. 135∘
10.折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30∘，则DE的长是( )
A. 12B. 10C. 8D. 6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：12a2b÷(3a)=______.
12.已知3a−b=0(b≠0)，则分式3a+2bb的值为______.
13.在多边形中各内角度数如图所示，则其中x的值为______.
14.已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2−4a−10b+29=0，则这个等腰三角形的周长为______.
15.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，D点在边AB上运动(D与A，B不重合)，设∠ACD=a∘，将△ACD沿CD翻折至△A′CD处，CA′与AB边相交于点E.若△A′DE是等腰三角形，则α的值为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解答题：
(1)因式分解：2x3y2−16x2y+32x.
(2)解方程：xx+1+1=2x+2x.
17.(本小题7分)
先化简，再求值：(2x+2x2−1+1)÷x+1x2−2x+1，其中x=4.
18.(本小题8分)
尺规画图：(不写作法，保留作图痕迹.)
如图，在△ABC中，已知其周长为34cm.
(1)在△ABC中，用直尺和圆规作边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E；
(2)作∠A的平分线交BC于点F；
(3)连接EB，若AD为4cm，求△BCE的周长.
19.(本小题8分)
已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
(1)求证：AD=CE；
(2)求证：AD和CE垂直．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−1,5)，点B的坐标为(−3,1).
(1)在平面直角坐标系中作线段AB关于y轴对称的线段A1B1(A与A1，B与B1对应)；
(2)求△AA1B1的面积；
(3)在y轴上存在一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为______.
21.(本小题10分)
某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本.
(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲图书？
22.(本小题12分)
“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用.
例1：如图1，可得等式：a(b+c)=ab+ac；
例2：由图2，可得等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
(1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______；
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=10，a2+b2+c2=36.求ab+bc+ac的值.
(3)如图4，拼成AMGN为大长方形，记长方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积差为S.设CD=x，若S的值与CD无关，求a与b之间的数量关系.
23.(本小题12分)
【初步探索】
(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90∘，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______.
【灵活运用】
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180∘，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由.
【拓展延伸】
(3)已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180∘，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，若∠C=70∘，请直接写出∠EAF的度数.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D的图形均不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项A的图形能找到一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形．
故选：A.
根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：由题意，得
x2−9=0且2x−6≠0，
解得x=−3，
故选：A.
直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．
此题考查分式的值为零的问题，若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
3.【答案】D
【解析】解：∵点A(a,3)与点B(2,3)关于y轴对称，
∴a=−2.
故选：D.
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．
本题考查了关于y轴对称的点坐标的关系，解题的关键在于明确关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数．
4.【答案】A
【解析】解：0.000000326米=3.26×10−7米．
故选：A.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了科学记数法表示较小的数，掌握形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠D=∠A=50∘，
∴∠E=180∘−∠D−∠F=30∘，
故选：A.
根据全等三角形的性质求出∠D，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：1−2x−x2+3x−3=−2x−1−x2−3x+3=2x−1x2−3x+3，
故选：B.
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，进行化简即可．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵x2−kx+9是一个完全平方式，
∴−k=±2×3，
解得：k=±6，
故选：B.
根据完全平方式得出−k=±2×3，再求出k即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两个．
8.【答案】D
【解析】解：∵10m=5，10n=3，
∴102m−3n=102m÷103n=(10m)2÷(10n)3=52÷33=2527.
故选：D.
根据同底数幂的除法法则和幂的乘方法则把102m−3n变形，然后把10m=5，10n=3代入计算即可．
本题考查了同底数幂的除法法则和幂的乘方法则逆用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵正八边形的外角和为360∘，
∴每一个外角为360∘÷8=45∘.
故选：A.
由多边形的外角和定理直接可求出结论．
本题考查了多边形外角和定理，掌握外角和定理是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了轴对称的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键．由轴对称的性质可以得出DE=DC，∠AED=∠C=90∘，就可以得出∠BED=90∘，根据直角三角形的性质就可以求出BD=2DE，然后建立方程求出其解即可．
【解答】
解：∵△ADE与△ADC关于AD对称，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE=DC，∠AED=∠C=90∘，
∴∠BED=90∘，
∵∠B=30∘，
∴BD=2DE，
∵BC=BD+CD=24，
∴24=2DE+DE，
∴DE=8.
故选C.
11.【答案】4ab
【解析】解：12a2b÷3a=4ab，
故答案为：4ab.
利用单项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案．
本题考查了整式的除法，熟练掌握单项式除以单项式的法则是解决问题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵3a−b=0
∴3a=b，将3a=b代入分式3a+2bb，得到b+2bb=3bb=3
故答案为：3.
将3a−b=0(b≠0)进行变式即3a=b，再将3a=b代入分式即可求解．
本题考查分式的计算，将已知条件进行变式即可解决问题．
13.【答案】130
【解析】解：根据题意得：x∘+x∘+80∘+(x−20)∘+90∘=(5−2)×180∘，
解得：x=130，
∴x的值为130.
故答案为：130.
利用五边形的内角和为(5−2)×180∘，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了多边形内角与外角以及解一元一次方程，牢记“多边形内角和定理：(n−2)⋅180∘(n≥3且n为整数)”是解题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：a2+b2−4a−10b+29=0，
∴(a2−4a+4)+(b2−10b+25)=0，
∴(a−2)2+(b−5)2=0，
∵a−2≥0，b−5≥0，
∴a−2=0，b−5=0，
解得，a=2，b=5，
∵2、2、5不能组成三角形，
∴这个等腰三角形的三边长分别为5、5、2，
∴这个等腰三角形的周长为：5+5+2=12.
故答案为：12.
首先利用完全平方公式将等式变形，根据偶次方的非负性，即可分别求出a、b，再根据三角形三边关系、等腰三角形的概念计算即可求得．
本题主要考查的是偶次方的非负性、等腰三角形的性质以及三角形三边之间的关系，灵活运用完全平方公式，是解题的关键．
15.【答案】18∘或36∘
【解析】解：∵将△ACD沿CD翻折至△A′CD处，
∴∠A=∠A′=36∘，∠ACD=∠A′CD=α，∠ADC=∠A′DC=144∘−α，
∴∠AEA′=2α+36∘，∠A′DE=108∘−2α，
当A′E=A′D，则∠A′ED=∠AEA′，
∴2α+36∘=108∘−2α，
∴α=18∘；
当A′E=DE，则∠A′DE=∠A′，
∴108∘−2α=36∘，
∴α=36∘，
故答案为：18∘或36∘.
由折叠的性质可求∠A=∠A′=40∘，∠ACD=∠A′CD=α，∠ADC=∠A′DC=144∘−α，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解．
本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
16.【答案】解：(1)2x3y2−16x2y+32x
=2x(x2y2−8xy+16)
=2x(xy−4)2；
(2)xx+1+1=2x+2x，
x2+x(x+1)=(2x+2)(x+1)，
解得：x=−23，
检验：当x=−23时，x(x+1)≠0，
∴x=−23是原方程的根．
【解析】(1)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
(2)按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：原式=(2x+2x2−1+x2−1x2−1)⋅(x−1)2x+1
=x2+2x+1x2−1⋅(x−1)2x+1
=(x+1)2(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x+1
=x−1，
当x=4时，原式=4−1=3.
【解析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
18.【答案】解：(1)点D、E即为所求；
(2)点F即为所求；
(3)∵DE垂直平分AB，
∴BD=AD=4cm，AE=BE，
∵BC+CE+AE+AB=34(cm)，
∴BC+CE+BE+8=34(cm)，
∴BC+CE+BE=26(cm)，
∴△BCE的周长为：26cm.
【解析】(1)(2)根据要求作出图形；
(2)证明△EBC的周长=AC+BC，可得结论．
本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
19.【答案】(1)证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90∘，
∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，
即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
AB=BC∠ABD=∠CBEBD=BE，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE；
(2)证明：延长AD分别交BC和CE于G和F，如图所示：
∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD=∠BCE，
∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180∘，
又∵∠BGA=∠CGF，
∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180∘，
∴∠AFC=∠ABC=90∘，
∴AD⊥CE.
【解析】(1)由等腰直角三角形的性质得出AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90∘，得出∠ABD=∠CBE，证出△ABD≌△CBE(SAS)，得出AD=CE；
(2)△ABD≌△CBE得出∠BAD=∠BCE，再由∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180∘，得出∠AFC=∠ABC=90∘，证出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
20.【答案】(0,4)
【解析】解：(1)如图所示，线段A1B1即为所求；
(2)∵A(−1,5)，A1(1,5)，
∴AA1=2，
∴△AA1B1的面积=12×2×4=4；
(3)如图所示，AB1与y轴的交点即为点P(0,4).
故答案为：(0,4).
(1)利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)利用三角形面积计算公式进行计算即可；
(3)利用两点之间，线段最短，即可得到点P的位置，依据直线AB1解析式即可得出点P的坐标．
此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】解：(1)设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，
根据题意可得：800x−8002.5x=24，
解得：x=20，
经检验得：x=20是原方程的根，
则2.5x=50，
答：乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；
(2)设购买甲图书本数为a，则购买乙图书的本数为：2a+8，
故50a+20(2a+8)≤1060，
解得：a≤10，
答：该图书馆最多可以购买10本甲图书．
【解析】(1)利用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本得出等式求出答案；
(2)根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出图书的价格是解题关键．
22.【答案】(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
【解析】解：(1)∵正方形面积为(a+b+c)2，小块四边形面积总和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
∴由面积相等可得：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
(2)由(1)可知2ab+abc+2ac=(a+b+c)2−(a2+b2+c2)，
∵a+b+c=10，a2+b2+c2=36；
∴2(ab+bc+ac)=(a+b+c)2−(a2+b2+c2)=100−36=64，
∴ab+bc+ac=12×64=32.
(3)由题意知，BC=2a，DE=3a，EH=CF=b，EF=CD+CF−DE=x+b−3a，
∵S长方形ABCD−S长方形EFGH，
∴S=CD⋅BC−EH⋅EF=x⋅2a−b⋅(x+b−3a)，
即S=2ax−bx−b2+3ab=(2a−b)x−b2+3ab，
又∵S为定值，
∴2a−b=0，即b=2a.
(1)正方形面积为(a+b+c)2，小块四边形面积总和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，由面积相等即可求解；
(2)根据(1)中的结论，将式子的值代入计算即可求解；
(3)BC=2a，DE=3a，EH=CF=b，EF=CD+CF−DE=x+b−3a，根据S=S长方形ABCD−S长方形EFGH，即可求解．
本题主要考查多项式乘多项式，掌握整式混合运算法则是解题的关键．
23.【答案】∠BAE+∠FAD=∠EAF
【解析】解：(1)∠BAE+∠FAD=∠EAF.理由如下：
如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADG=90∘BE=DG，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+DF，DG=BE，
∴EF=BE+DF=DG+DF=GF，
在△AEF和△AGF中，
AE=AGAF=AFEF=GF，
∴△AEF≌△AGF(SSS)，
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF.
故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF；
(2)上述结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF=180∘，∠ADG+∠ADF=180∘，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADGBE=DG，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
在△AEF和△AGF中，
AE=AGAF=AFEF=GF，
∴△AEF≌△AGF(SSS)，
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
(3)如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC=180∘，∠ABC+∠ABE=180∘，
∴∠ADC=∠ABE，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠ABE=∠ADCBE=DG，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
在△AEF和△AGF中，
AE=AGAF=AFEF=GF，
∴△AEF≌△AGF(SSS)，
∴∠FAE=∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360∘，
∴2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360∘，
∴2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360∘，
即2∠FAE+∠DAB=360∘，
∴∠EAF=180∘−12∠DAB.
∵∠ABC+∠ADC=180∘，∠C=70∘，
∴∠DAB=180∘−70∘=110∘，
∠EAF=180∘−12×110∘=125∘.
(1)延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，据此得出结论；
(2)延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
(3)在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360∘，推导得到2∠FAE+∠DAB=360∘，利用∠ABC+∠ADC=180∘，∠C=70∘推导出∠DAB的度数，即可得出结论．
本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．