2023-2024学年山西省吕梁市交口县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山西省吕梁市交口县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD=EF.要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是( )
A. ∠A=∠B
B. ∠C=∠E
C. AD=BF
D. AC=BE
3.5G是第五代移动通信技术，应用5G网络下载一个1000KB的文件只需要0.00076秒，下载一部高清电影只需要1秒．将0.00076用科学记数法表示应为( )
A. 76×10−5B. 7.6×10−4C. 7.6×10−5D. 0.76×10−3
4.下列计算正确的是( )
A. a3⋅a2=a6B. a3+a2=2a5C. (3a3)2=9a6D. a8÷a2=a4
5.当式子|x|−3x2−2x−3的值为零时，x等于( )
A. 4B. −3C. −1或3D. 3或−3
6.解方程
，去分母后正确的是( )
A. 3(x+1)=1−x(x−1)
B. 3(x+1)=(x+1)(x−1)−x(x−1)
C. 3(x+1)=(x+1)(x−1)−x(x+1)
D. 3(x−1)=1−x(x+1)
7.已知点P(3,n+2)与点Q(m,2)关于x轴对称，则(m+n)2023的值是( )
A. 1B. 2023C. −1D. −2023
8.如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为( )
A. 135∘
B. 140∘
C. 144∘
D. 150∘
9.如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC交于点M，∠A=15∘，BM=2，则△AMB的面积为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
10.有两个正方形A、B.现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若分式1x−2有意义，则x的取值范围为__________.
12.已知三角形两边的长分别为1cm，5cm，第三边长为整数，则第三边的长为______.
13.分解因式：3a2−12=__________.
14.已知一个n边形的内角和比其外角和的3倍少180∘，则n=______.
15.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分∠ABC，EF=2，BC=8，则△CDF的面积为__________.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(−π)0+(13)−1−28÷26.
(2)解方程：1x−1+1=32x−2.
17.(本小题6分)
某学生在化简(x+2x2−9−1x−3)÷5x−3时出现了错误，其解答过程如下：
解：原式=[x+2(x+3)(x−3)−x+3(x+3)(x−3)]÷5x−3(第一步)
=x+2−x+3(x+3)(x−3)÷5x−3(第二步)
=5(x+3)(x−3)⋅x−35(第三步)
=1x+3(第四步)
(1)该生的解答过程是从第______步开始出现错误的；
(2)请你写出此题的正确解答过程．
18.(本小题8分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−2,2)，B(−4,−3)，C(−1,−1).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出顶点A1，B1，C1的坐标.
(2)在y轴上画出点Q，使QA+QC最小，并直接写出Q点的坐标.
19.(本小题8分)
如图，在数学活动课中，小明剪了一张△ABC的纸片，其中∠A=60∘，他将△ABC折叠使点A落在点B处，折痕为DE，点D在AB上，点E在AC上.
(1)请作出折痕DE；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)判断△ABE的形状并说明理由.
20.(本小题8分)
列方程(组)解决下列问题.
小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车的部分信息做了调查，如表：
(1)用含a的代数式表示表格中每千米行驶费用.
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，分别求出这两款车的每千米行驶费用.
21.(本小题10分)
阅读理解题
我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”.如多项式A=x2+2x+1，B=(x+4)(x−2)，A−B=(x2+2x+1)−(x+4)(x−2)=(x2+2x+1)−(x2+2x−8)=9，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9.
(1)已知多项式C=x2+x−1，D=(x+2)(x−1)，则C关于D的“雅常值”是______；
(2)多项式E是多项式F的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式E=(x−3)2−x，求多项式F.
(3)已知多项式M=(x−a)2(a为常数)，N=x2−4x，M是N的“雅常式”，求M关于N的“雅常值”.
22.(本小题12分)
数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系.
问题情境：
如图1，三角形纸片ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC.将点C放在直线l上，点A，B位于直线l的同侧，过点A作AD⊥l于点D.
初步探究：
(1)在图1的直线l上取点E，使BE=BC，得到图2，猜想线段CE与AD的数量关系，并说明理由；
(2)小颖又拿了一张三角形纸片MPN继续进行拼图操作，其中∠MPN=90∘，MP=NP.小颖在图1的基础上，将三角形纸片MPN的顶点P放在直线l上，点M与点B重合，过点N作NH⊥l于点H.如图3，探究线段CP，AD，NH之间的数量关系，并说明理由.
23.(本小题13分)
如图，在等腰△ABC中，AB=AC=3cm，∠B=30∘，点D在BC边上由C向B匀速运动(D不与B、C重合)，匀速运动速度为1cm/s，连接AD，作∠ADE=30∘，DE交线段AC于点E.
(1)在此运动过程中，∠BDA逐渐变______(填“大”或“小”)；D点运动到图1位置时，∠BDA=75∘，则∠BAD=______.
(2)点D运动3s后到达图2位置，则CD=______.此时△ABD和△DCE是否全等，请说明理由；
(3)在点D运动过程中，△ADE的形状也在变化，判断当△ADE是等腰三角形时，∠BDA等于多少度(请直接写出结果)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，本选项错误；
B、不是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项正确．
故选：D.
根据轴对称图形的概念求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，
∴∠ADC=∠BFE=90∘，
∵CD=EF，
∴当添加AC=BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF.
故选：D.
根据直角三角形全等的判定方法进行判断．
本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
3.【答案】B
【解析】解：0.00076=7.6×10−4.
故选：B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、a3⋅a2=a3+2=a5，故本选项不符合题意；
B、a3与a2不能合并，故本选项不符合题意；
C、(3a3)2=9a6，故本选项符合题意；
D、a8÷a2=a6，故本选项不符合题意．
故选：C.
先根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则计算，再判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方法则，解题的关键是掌握相关运算法则并熟练运用．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意得，|x|−3=0，
解得x=3或−3，
又x2−2x−3≠0，即(x+1)(x−3)≠0，
解得x≠−1或3，
所以，x=−3.
故选：B.
根据分式为零，分子等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
6.【答案】B
【解析】解：去分母得：3(x+1)=(x+1)(x−1)−x(x−1).
故选：B.
分式方程左右两边同乘(x+1)(x−1)去分母得到结果，即可作出判断．
此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵点P(3,n+2)与点Q(m,2)关于x轴对称，
∴m=3，n+2=−2，
解得m=3，n=−4，
∴(m+n)2023=(−1)2023=−1.
故选：C.
关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得m、n的值，再代入计算可得答案．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
8.【答案】B
【解析】解：该正九边形内角和=180∘×(9−2)=1260∘，
则每个内角的度数=1260∘÷9=140∘.
故选：B.
先根据多边形内角和定理：180∘⋅(n−2)求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
本题主要考查了多边形的内角和定理：180∘⋅(n−2)，比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．
9.【答案】A
【解析】解：∵Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC交于点M，∠A=15∘，BM=2，
∴AM=BM=2，∠ABM=∠A=15∘，
∴∠BMC=∠A+∠ABM=30∘，
∴BC=12BM=12×2=1，
∴S△AMB=12AM⋅BC=12×2×1=1.
故选：A.
先根据线段垂直平分线的性质得出AM=BM，∠ABM=∠A=15∘，再根据三角形外角的性质求出∠BMC的度数，根据含30∘角的直角三角形的性质求出BC的长，根据三角形的面积公式进而可得出结论．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】
设正方形A和B的边长各为a和b，得(a−b)2=a2−2ab+b2=1，(a+b)2−(a2+b2)=2ab=12，进而可得出a2+b2的值．
此题考查了完全平方公式的应用，关键是能根据图形准确列式，并能根据完全平方公式灵活变形．
【解答】
解：正方形A的边长为a，正方形B的边长b，
由题意得，(a−b)2=a2−2ab+b2=1，(a+b)2−(a2+b2)=2ab=12，
∴a2+b2=1+2ab=1+12=13，
即：A、B两个正方形的面积之和为13，
故选：D.
11.【答案】x≠2
【解析】【分析】
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题的关键．
根据分母不为零，分式有意义，可得答案．
【解答】
解：由题意，得x−2≠0.
解得x≠2，
故答案为：x≠2.
12.【答案】5cm
【解析】解：设第三边的长为x cm，
∴5−1∴4∵第三边长为整数，
∴第三边的长为5cm.
故答案为：5cm.
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设第三边的长为x cm，得到4本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
13.【答案】3(a+2)(a−2)
【解析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：3a2−12
=3(a2−4)
=3(a+2)(a−2).
故答案为：3(a+2)(a−2).
14.【答案】7
【解析】解：∵n边形的内角和(n−2)180∘，外角和为360∘，
又∵n边形的内角和比其外角和的3倍少180∘，
∴(n−2)180∘=3×360∘−180∘，
解得：n=7.
故答案为：7.
根据n边形的内角和(n−2)180∘，外角和为360∘，结合已知条件得(n−2)180∘=3×360∘−180∘，由此解出n即可．
此题主要考查了多边形的内角和与外角和，理解n边形的内角和(n−2)180∘，外角和为360∘是解决问题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：过点F作FG⊥BC，垂足为G，如图，
∵BF平分∠ABC，CE⊥AB，EF=2，
∴FG=FE=2，
∵BC=8，AD为BC边上的中线，
∴CD=12BC=4，
∴S△CDF=12CD⋅FG=12×4×2=4.
故答案为：4.
过点F作FG⊥BC，由角平分线的性质可得FG=FE=2，再由AD是中线，则有CD=4，利用三角形的面积公式可求得△CDF的面积．
本题主要考查角平分线的性质，解答的关键是熟记角平分线的性质．
16.【答案】解：(1)(−π)0+(13)−1−28÷26
=1+3−22
=1+3−4
=0；
(2)1x−1+1=32x−2，
1x−1+1=32(x−1)，
方程两边都乘2(x−1)，得2+2x−2=3，
2x=3，
x=32，
检验：当x=32时，2(x−1)≠0，
所以分式方程的解是x=32.
【解析】(1)先根据零指数幂，负整数指数幂和同底数幂的除法法则进行计算，再算乘方，最后算加减即可；
(2)方程两边都乘2(x−1)得出2+2x−2=3，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算和解分式方程，能正确根据实数的运算法则进行计算是解(1)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(2)的关键．
17.【答案】二
【解析】解：(1)该生的解答过程是从第二步开始出现错误的，
故答案为：二；
(2)正确解答过程如下：
(x+2x2−9−1x−3)÷5x−3
=[x+2(x+3)(x−3)−x+3(x+3)(x−3)]÷5x−3
=x+2−x−3(x+3)(x−3)⋅x−35
=−1(x+3)(x−3)⋅x−35
=−15x+15.
(1)利用异分母分式加减法法则，即可解答；
(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，A1(2,2)，B1(4,−3)，C1(1,−1).
(2)如图，连接A1C，交y轴于点Q，连接AQ，
此时QA+QC=QA1+QC=A1C，为最小值，
则点Q即为所求．
由图可得，点Q的坐标为(0,0).
【解析】(1)根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
(2)连接A1C，交y轴于点Q，则点Q即为所求，即可得出答案．
本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)根据题意得：
作AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于E，DE即为所求，
如图所示：
(2)△ABE是等边三角形，理由如下：
如图所示：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵∠A=60∘，
∴△ABE是等边三角形．
【解析】(1)作AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于E，DE即为所求；
(2)由线段垂直平分线的性质得出AE=BE，由∠A=60∘，即可得出△ABE是等边三角形．
本题考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
20.【答案】360a 36a
【解析】解：(1)根据表格数据可知，然后车每千米行驶费用为60×9a=360a(元)，
新能源车每千米行驶费用为60×0.6a=36a(元)，
故答案为：360a，36a；
(2)∵燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴360a−36a=0.54，
解得：a=600，
检验：a=600是原方程的解，
∴燃油车每千米行驶费用为360600=0.6(元)，
新能源车每千米行驶费用为36600=0.06(元)，
答：燃油车每千米行驶费用是0.6元，新能源车每千米行驶费用是0.06元．
(1)根据总费用÷续航里程列出代数式；
(2)根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元列出方程求出a的值，再代入(1)中代数式即可．
本题考查列代数式，关键是根据题意列出代数式．
21.【答案】1
【解析】解：(1)C−D=x2+x−1−(x+2)(x−1)=x2+x−1−(x2+x−2)=x2+x−1−x2−x+2=1，
故答案为：1；
(2)∵多项式E是F的“雅常式”且“雅常值”是3，
∴E−F=3，即F=E−3，
∵E=(x−3)2−x，
∴F=(x−3)2−x−3=x2−7x+6；
(3)∵M是N的“雅常式”，
∴M−N=(x−a)2−(x2−4x)=x2−2ax+a2−x2+4x=−2ax+4x+a2=(−2a+4)x+a2，
∵a为常数，
∴4−2a=0，
解得：a=2，
∴a2=4，
答：M关于N的“雅常值”是4.
(1)C−D=x2+x−1−(x+2)(x−1)化简可得；
(2)因为多项式E是F的“雅常式”且“雅常值”是3，所以E−F=3，已知E=(x−3)2−x，可得多项式F；
(3)因为M是N的“雅常式”，所以化简M−N，x前的系数为0，可求得a的值，即得M关于N的“雅常值”．
本题考查了整式的加减，关键是正确化简．
22.【答案】解：(1)CE=2AD.
理由如下：过点B作BF⊥l于点F，
∴∠CFB=90∘
∵AD⊥l，
∴∠ADC=90∘，∠CAD+∠DCA=90∘，
∴∠ADC=∠CFB.
∵∠ACB=90∘，
∴∠DCA+∠BCF=90∘.
∴∠CAD=∠BCF.
在△ACD和△CBF中，
∠ADC=∠CFB∠CAD=∠BCFAC=CB，
∴△ACD≌△CBF(AAS).
∴AD=CF.
∵BE=BC，BF⊥l，
∴CF=EF.
∴CE=2CF=2AD.
(2)CP=AD+NH.
理由如下：
过点B作BF⊥l于点F，
∴∠BFP=90∘，
由(1)可得：△ACD≌△CBF，
∴AD=CF.
∵NH⊥l，
∴∠PHN=90∘，∠HNP+∠HPN=90∘.
∴∠BFP=∠PHN.
∵∠MPN=90∘，
∴∠HPN+∠FPB=90∘，
∴∠HNP=∠FPB.
在△BFP和△PHN中，
∠BFP=∠PHN∠HNP=∠FPBBP=PN，
∴△BFP≌△PHN(AAS).
∴NH=PF.
∵CP=CF+PF.
∴CP=AD+NH.
【解析】(1)过点B作BF⊥l于点F，根据AAS证明△DAC≌△FCB，得AD=CF，由三线合一得CE=2CF，进而可得；CE=2AD；
(2)作BF⊥l于点F，根据AAS证明△BFP≌△PNH，可证CP=AD+NH.
此题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，关键是构建全等三角形解答．
23.【答案】大 75∘3cm
【解析】解：(1)在此运动过程中，∠BDA逐渐变大，
D点运动到图1位置时，∠BAD=180∘−∠B−∠BDA=75∘，
故答案为：大；75∘；
(2)点D运动3s后到达图2位置，CD=3cm，此时△ABD≌△DCE，
理由如下：∵AB=AC，∠B=30∘，
∴∠C=30∘，
∵CD=CA=3cm，
∴∠CAD=∠CDA=12×(180∘−30∘)=75∘，
∴∠ADB=105∘，∠EDC=75∘−30∘=45∘，
∴∠DEC=180∘−45∘−30∘=105∘，
∴∠ADB=∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
∠ADB=∠DECAB=DC∠ABD=∠DCE，
∴△ABD≌△DCE(ASA)，
故答案为：3cm；
(3)△ADE为等腰三角形分三种情况：
①当AD=AE时，∠ADE=30∘，
∴∠AED=∠ADE=30∘，∠DAE=180∘−∠ADE−∠AED=120∘，
∵∠BAC=180∘−∠B−∠C=120∘，D不与B、C重合，
∴AD≠AE；
②当DA=DE时，∠ADE=30∘，
∴∠DAE=∠DEA=12(180∘−∠ADE)=75∘，
∴∠BDA=∠DEC=180∘−∠AED=105∘；
③当EA=ED时，∠ADE=30∘，
∴∠EAD=∠EDA=30∘，
∴∠AED=180∘−∠EAD−∠EDA=120∘，
∴∠BDA=∠DEC=180∘−∠AED=60∘.
综上可知：在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形，此时∠BDA的度数为60∘或105∘.
(1)根据点D的运动情况判断∠BDA的变化情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAD；
(2)根据点D的运动情况求出CD，利用ASA定理证明△ABD≌△DCE；
(3)分AD=AE、DA=DE、EA=ED三种情况，根据等腰三角形的性质结合角的计算求出∠BDA的度数．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．燃油车
新能源车
油箱容积：40升
电池电量：60千瓦时
油价：9元/升
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
续航里程：a千米
每千米行驶费用：______元
每千米行驶费用：______元