安徽省马鞍山市2023-2024学年高一上学期2月期末数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省马鞍山市2023-2024学年高一上学期2月期末数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了 已知，则， 函数的零点属于区间， 已知函数，下列结论正确的是， 下列命题是真命题是等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必用将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号等信息填写在答题卡的相应位置上.
2.作答选择题时，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，将答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用 交集的定义求解即得.
【详解】依题意，集合，而，
所以.
故选：A
2. 已知函数，则（ ）
A. B. -3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得.
【详解】依题意，，所以.
故选:C.
3. 下列直线中，与函数的图象不相交的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助正切函数求出函数的定义域及值域，再逐项判断得解.
【详解】函数中，，解得，
函数的定义域为，
显然，因此直线与函数的图象相交，
直线与函数的图象不相交，A不是，C是；
函数的值域为，因此直线，与函数的图象都相交，BD不是.
故选：C
4. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数单调性比较大小即可.
【详解】依题意，，而，
所以.
故选：B
5. 函数的零点属于区间（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用单调性结合零点存在性定理判断即可.
【详解】依题意，函数在上单调递增，
而，
所以函数的零点属于区间是.
故选：D
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得.
【详解】由两边平方得：，而，，则，
因此，
所以.
故选：D
7. 已知，在同一坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意结合对数函数、指数函数单调性以及它们所过的定点即可求解.
【详解】由题意若，则指数函数单调递增，并过定点，
函数单调递减，并过定点，而函数与函数关于轴对称，
所以单调递增，并过定点，
对比选项可知，只有B选项符合题意.
故选：B.
8. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 在区间上单调递减
C. 在区间上有3个零点D. 的最小值为-1
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的函数，结合正弦函数性质，利用奇偶性、单调性、零点及最值依次判断即得.
【详解】函数的定义域为R，
对于A，，是偶函数，
又，因此不是奇函数，A错误；
对于B，当时，，
而函数在上单调递减，因此在区间上单调递增，B错误；
对于C，当时，，由，得，
当时，，由，得或，因此在区间上有3个零点，C正确；
对于D，当时，，，
由是偶函数，得，，D错误.
故选：C
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
①直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题是真命题是（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B.
C. “”是“在上单调递增”的充要条件
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用全称命题的否定可判断A；全称命题的真假可判断B；结合函数的单调性和充要条件的概念可判断C；利用不等式的性质可判断D.
【详解】对于A：命题“”的否定是“，故A错误；
对于B：因为，所以是真命题，故B正确；
对于C：当时，即在上单调递增，故C错误；
对于D：若，则，即，故D正确.
故选：BD.
10. 若角是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】结合三角形的内角与利用诱导公式逐项判断.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：AD.
11. 若均为正数，且满足，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为4D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用，逐项计算判断即可.
【详解】正数满足，
对于A，由，得，当且仅当时取等号，A正确；
对于B，，
当且仅当，即时取等号，B错误；
对于C，，当且仅当，即取等号，C正确；
对于D，，
当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：ACD
12. 已知实数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】变形给定不等式，构造函数并确定函数单调性，求出的大小关系，再逐项判断即可.
【详解】由，得，
令函数，函数上分别递增、递减，
因此函数在上递增，而不等式，
则，即有，，A错误，B正确；
显然，因此，，CD正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是变形不等式，构造函数求出.
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
13. 已知，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意结合对数函数单调性即可得解.
【详解】由题意，所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
14. 已知幂函数在上单调递增，则实数___________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及性质求出.
【详解】幂函数在上单调递增，则，解得，
所以实数.
故答案为：3
15. 写出函数图象的一条对称轴方程: ___________.
【答案】（答案不唯一，满足均可）
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质求出对称轴方程.
【详解】函数中，由，得，
因此函数图象的对称轴方程是，
所以函数图象的一条对称轴方程是.
故答案为：（答案不唯一）
16. 把一条线段分割为两部分，使较长部分的长度与全长的比值等于较短与较长部分的长度的比值，这个比值称为黄金分割比(简称黄金比).黄金比在建筑、艺术和科学等领域中都有广泛应用.我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它满足较短边与较长边的长度之比等于黄金比.由上述信息可求得___________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意计算黄金比，再利用等腰三角形的性质和三角函数的概念即可求解.
【详解】设把一条长度为线段分割为两部分，较长部分的长度为，较短部分的长度为，
由题意得，即，
令，则，整理得，解得，
又，所以，于是黄金分割比为.
等腰三角形中，，如图：
由题意可得，，又，
所以.
故答案为：.
四、解答题，本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内.
17. 计算下列各式的值:
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由对数运算法则、指数以及分数指数幂的运算法则求解即可；
（2）由诱导公式以及特殊三角函数值即可求解
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. 已知.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解不等式化简集合A，把代入，再利用补集、交集的定义求解即得；
（2）由（1）的信息，利用充分不必要条件的定义列式求解即得.
【小问1详解】
解不等式，得，于是，或，
当时，，
所以或.
【小问2详解】
由是的充分不必要条件，得是的真子集，
则或，解得，
所以实数取值范围是.
19. 某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，其面积为平方米.
（1）求关于的函数解析式，并求出的取值范围；
（2）如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值.
【答案】（1），；
（2）长9米、宽3米，周长的最小值为24米.
【解析】
【分析】（1）根据给定信息，利用矩形面积公式即可求解.
（2）由（1）的结论，结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由宽为米、长为米的长方形展牌, 得, 整理得，
由，得，即，解得，
所以关于的函数解析式是，.
【小问2详解】
展牌的周长，
当且仅当 ，即时取等号，此时，
所以设计展牌的长为9米和宽为3米，才能使展牌的周长最小，最小值为24米.
20 已知函数.
（1）若，求函数的单调递增区间；
（2）当时，函数的最大值为1，最小值为，求实数的值.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据，求得的函数解析式，再根据正弦函数的单调性，确定函数的单调递增区间.
（2）由先确定的范围，进而求出的范围，再利用已知的最值，分类建立关于的方程组解得a，b的值.
【小问1详解】
依题意，
由，得，
所以函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
当时，，则，即，
令，则，显然，
当时，函数在上单调递减，于是，解得，
当时，函数在上单调递增，于是，解得，
所以实数的值为或.
21. 己知函数为奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】21. ；
22. 证明见解析； 23. .
【解析】
【分析】（1）由奇函数性质即可得解，并注意检验；
（2）结合指数函数单调性以及单调性的定义即可得证；
（3）由奇函数的性质、以及函数单调性可等价转换表达式为一元二次不等式，由此即可顺利得解.
【小问1详解】
由题意，函数定义域为R，则，解得，
当时，，定义域为全体实数，且，
所以函数是奇函数，满足题意；
【小问2详解】
由（1）可知单调递增，理由如下：
不妨设，则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数单调递增；
【小问3详解】
由题意，
所以实数的取值范围为.
22. 已知，且.
（1）求的值及的最小正周期；
（2）将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的图象.若关于的方程在有两个不同的根，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再结合正弦函数的性质求解.
（2）由（1）的信息，利用给定的图象变换求出的解析式，再结合函数图象求出的范围.
【小问1详解】
依题意，
，
由，得，解得，
所以，的最小正周期为.
【小问2详解】
由（1）知，依题意，，
当时，，由，得，由，得，
因此函数在上单调递增，函数值从增大到1，在上单调递减，函数值从1减小到，
关于的方程在有两个不同的根，即函数在上的图象与直线有两个交点，
在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图，

观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，