浙江省杭州市第四中学下沙校区2023-2024学年高二上学期期中数学试卷（Word版附解析）

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2023年11月
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号．
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效．
4．考试结束，只上交答题卷．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（ ）
A. （2，﹣3）B. （2，3）C. （﹣3，2）D. （3，2）
2. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，，分别是四面体的边，的中点，，是的三等分点，且，，，则向量可表示为（ ）
A. B.
C D.
4. 在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角余弦值是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在抛物线上运动，则线段的中点的轨迹为（ ）
A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D. 椭圆
6. 已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（ ）
A. 平面平面
B. 线段的最小值为
C. 当，时，点D到直线的距离为
D. 当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9. 已知正三棱柱的各条棱长都是2，D，E分别是的中点，则（ ）
A. 平面
B. 平面与平面夹角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的正切值为
D. 点到平面的距离为
10. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆上有4个点到直线的距离都等于1
C. 圆与圆恰有一条公切线，则
D. 已知圆，点直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点
11. 已知圆，点在圆外，以线段为直径作圆，与圆相交于 两点，则 （ ）
A. 直线均与圆相切
B. 若，则直线的方程为
C. 当时，点在圆上运动
D. 当时，点在圆上运动
12. 如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线x = 0, y = 4, y = -2 围成的曲边四边形 ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为 ，下底外直径为 ，双曲线 C 的左右顶点为D, E ，则（ ）

A. 双曲线 C 的方程为
B. 双曲线与双曲线 C 有相同的渐近线
C. 双曲线C 上存在无数个点，使它与D, E 两点的连线的斜率之积为3
D. 存在一点，使过该点的任意直线与双曲线 C 有两个交点
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知直线，，若，则的值是___________.
14. 如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，则锐二面角的平面角的余弦值是___________.
15. 如图，，是双曲线上两点，是双曲线的右焦点.是以为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若，两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______.
16. 在平面直角坐标系中，已知圆与x轴交于A､B（点A在点B的左侧），圆C的弦过点，分别过E､F作圆C的切线，交点为P，则线段的最小值为___________.
四、解答题（本答题共6小题，满分70分）
17. 已知点，直线：，
（1）若是直线l的一个方向向量，求a的值；
（2）若直线l与线段有交点，求a的范围．
18. 如图，已知四棱锥底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．

（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
19. 已知．
（1）求在上的投影向量；
（2）若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标；
（3）若点，求点P到平面的距离．
20. 如图，已知圆和点，由圆O外一点向圆O引切线为切点，且．
（1）求的最小值；
（2）以P为圆心作圆，若圆P与圆O有公共点，求半径最小的圆P的方程．
21. 已知过点的直线l与抛物线相交于A，B两点，当直线l过抛物线C的焦点时，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点，连接QA，QB分别交抛物线C于点E，F，且与的面积之比为，求直线AB的方程．
22. 如图，已知：为椭圆长轴的两个端点，是椭圆C上不同于A，B的一点，从原点O向圆作两条切线分别交椭圆C于点M，N，记直线的斜率分别为，