浙江省丽水市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试卷（Word版附解析）

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本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上．
2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由交集运算的结果，即可得到答案.
【详解】因集合，，
且，则.
故选：C
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题：的否定是特称量词命题：，即可判断.
【详解】根据全称量词命题：的否定是特称量词命题：，
可知命题“”的否定为“”，
故选：B.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分性和必要性两方面判断即可；
【详解】因为，所以或，
则可以推出，但不能推出．
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
4. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】结合二次根式、分式和对数性质即可求解.
【详解】由题可知，解得且.
故选：D
5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用题中给出的信息，设他至少要经过小时后才可以驾驶机动车，则，然后利用指数与对数的互化以及对数的运算性质进行求解，即可得到答案．
【详解】某驾驶员喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了，
则血液中酒精含量达到，在停止喝酒以后，
他血液中酒精含量会以每小时20%速度减少，
他至少要经过1小时后才可以驾驶机动车．则，，
．
他至少经过个小时才能驾驶．
故选：D.
6. 已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个可能值是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合函数平移法则写出平移后的解析式，进而得解.
【详解】的图象向左平移个单位长度后的解析式为
，由题知，
，所以，
所以，即，由题知，当时，.
故选：A
7. 已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二分法的过程得到满足的方程组，由此求解出的值，即可得出答案.
【详解】因为依次确定了零点所在区间为，，，
可得，即，解得.
所以.
故选：B.
8. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的单调性即可得到，再利用指数函数、对数函数的单调性得到，，则得到三者大小关系.
【详解】令，根据为上的单调减函数，
则在上单调递减，
且，，
所以函数在上存在唯一的零点，故；
又因为，所以，
所以，即，所以，
所以，即，所以;
因为，所以，所以，
即，所以，
综上可得：.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数的单调性和零点存在定理得到，最后再结合指数函数、对数函数的性质即可比较大小.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 如果，那么下面结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对于AD，当时，
，故AD错误；
对于BC，因为，所以，故BC正确；
故选：BC.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期是B. 的定义域是
C. 的图象关于点对称D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得的最小正周期为，所以A正确；
令，解得，
即函数的定义域为，所以B不正确；
令，解得，
当时，可得，所以函数的图象关于点对称，所以C正确；
由，可得，根据正切函数性质，
可得函数在上单调递增，所以D正确.
故选：ACD.
11. 下列是真命题的是（ ）
A. 函数且的图像恒过定点
B. 函数的值域是
C. 函数为奇函数
D. 函数的图像的对称轴是
【答案】AC
【解析】
【分析】由指数函数过定点即可判断A，由指数型复合函数的值域即可判断B，由函数奇偶性的定义即可判断C，由函数对称性的定义即可判断D
【详解】对于A，令，则，当时，，
所以函数恒过定点，故A正确；
对于B，因为，则，
令，则，则，
即函数的值域是，故B错误；
对于C，因为函数定义域为关于原点对称，
且，则，
所以函数为奇函数，故C正确；
对于D，函数的图像的对称轴是，故D错误；
故选：AC
12. 已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. 函数的图象存在对称轴D. 函数的图象存在对称中心
【答案】ABD
【解析】
【分析】分别求出分子和分母的取值范围，利用不等式的性质即可判断选项A；判断，的取值范围，得出，进而可判断选项B；根据轴对称的定义可判断选项C；根据可判断选项D.
【详解】对于选项A：因为，当时等号成立；
，当时等号成立，
则两个式子中等号不会同时成立，
所以由不等式性质可得；故选项A正确；
对于选项B：显然.
因为当时，，当且仅当时等号成立，此时；
当时，，当且仅当时等号成立，此时；
所以，则.
又因为，
所以，即，故选项B正确；
对于选项C：因为，
，.
显然，
所以函数的图象不存在对称轴，故选项C错误；
对于选项D：因为，
所以函数的图象关于点对称，故选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数单调性与最值、对称中心和对称轴、函数与不等式等知识的综合应用.解题关键在于对基础知识的掌握和运用.利用余弦函数、二次函数的最值及不等式的性质可判断选项A；将不等式转化为，再结合，的取值范围可判断选项B；利用对称轴和对称中心的定义可判断选项CD.
三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13. 若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为______________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式直接运算求解.
【详解】由题意可得：扇形的面积为.
故答案为：3.
14. 若幂函数的图象不经过原点，则实数的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】由幂函数定义得，结合指数小于等于0即可求解.
【详解】由题可知，解得，舍去.
故答案为：
15. 化简______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用诱导公式化简求值.
【详解】.
故答案为：1.
16. 若正数，满足，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值.
【详解】因为正数，满足，所以，即，
则，
当且仅当且，即时取等号，
此时取得最小值9，则的最大值为．
故答案为：
17. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由复合函数的单调性计算即可得.
【详解】令，对称轴为，
∵函数在区间上单调递增，在上单调递增，
∴在上单调递增，且，
∴且，即且，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
18. 若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将函数两点问题转化为函数图像交点问题，然后列出不等式，即可得到结果.
【详解】因为函数在区间内有两个不同的零点，
则方程，
即在区间上有两个不等的实根，
设，，
则函数在区间上有两个交点，
显然，当时，，此时两函数只有一个交点，不满足；
当时，为二次函数，对称轴为，
开口向上，与轴只有一个交点，
则，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 已知为锐角，．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解即可；
（2）由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的正弦公式，求得的值．
【小问1详解】
为锐角，
.
【小问2详解】

或.
20. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若方程在区间上恰有一个解，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由二倍角公式以及辅助角公式化简，再由正弦型函数的单调区间即可得到结果；
（2）根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由，得
∴所求的单调递增区间是
【小问2详解】
由，得
或
或
∴由已知.
21. 丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元．若这种水果的市场售价为元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为（单位：元）．
（1）求函数的解析式；
（2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）施肥量为时，单株年利润最大为390元
【解析】
【分析】（1）由利润=单株产量售价成本，结合分段函数即可求解；
（2）结合二次函数和基本不等式性质分别求出和时对应的，即可得解.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
故；
【小问2详解】
当时，的对称轴为，最大值为，
当时，，
当且仅当时，等号成立，
综上施肥量为时，单株年利润最大为390元.
22. 已知函数，且
（1）求的解析式；
（2）设函数，若方程有个不相等的实数解，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）列出方程，求出，得到解析式；
（2）令，得到其单调性和奇偶性，换元得到在上有两个不相等的实数根，进而得到，设的两根为，的两根为，由奇偶性得到，进而求出.
【小问1详解】
由题有时，解得或，
因为，所以，
故；
【小问2详解】
由（1），则方程为
设，当且仅当，即时等号成立，
可得
则原方程可化为，
令，
因为，故函数为上的偶函数，
设，
，
，
，即函数在上单调递增，
由偶函数得在上单调递减，最小值为
故原条件等价于方程在有两个不相等的实数根，
即，解得，
不妨设两根为，的两根为，由为上的偶函数，
可得，即，，
所以.
【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
23. 函数，表示不超过的最大整数，例如：，．
（1）当时，求满足的实数的值；
（2）函数，求满足的实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由取整定义，对分为，，分类讨论，先确定的值，再解对数方程即可；
（2）由求得，讨论和，易得时方程无解，时，，则，化简得，结合求得，再分为和解对应不等式即可.
【小问1详解】
当时，即，得（舍去）；
当时，即，得；
当时，即，得；
综上或；
【小问2详解】
由题可得的定义域为又
，，
当时，，方程左边，右边，左边右边；
当时，，，
由取整定义可得：，
，
，又，
可得，解得，
当时，，即，
解得，；
当时，，即，
解得，或，