2024年陕西省中考数学模拟试卷33

这是一份2024年陕西省中考数学模拟试卷33，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分每小题只有一个选项是符合题意的）
1.－3的绝对值是（ ）
A.－3B.－C.3D.±3
2.如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
3.下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2 ＝a6B．a7÷a3 ＝a4
C．（﹣3a）2 ＝﹣6a2D．（a﹣1）2＝a2 ﹣1
4.将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是（ ）
A．95°B．100°
C．105°D．110°
5.如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为( )
B．
C．D．
6.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（ ）
B．
C．D．2
7.如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，若OA＝OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（ ）
①②B．①③
C．②③D．①②③
8.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于-6
D．当时，y的值随x值的增大而增大
第二部分（非选择题 共 96 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.分解因式3x2－27y2＝ .
正十边形的每一个外角的度数为 。
11.篮球联赛中，每玚比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了_________场．
12.在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为 ．
13.如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为
三、解答题（共 13 小题，计 81 分解答应写出过程）
14.计算：；
15.解不等式组x＞1−x23(x−73)＜x+1
16.先化简，再求值.
÷，其中a＝2，b＝1.
17.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）
18.如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．
19.甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？
20.将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）
21.为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）
22.高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据．
（1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；
（2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；
（3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？
23.一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．
(1)求所在直线的表达式．
(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
(3)甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，
求P、M两地间的距离．
24.如图，是⊙的直径，点在的延长线上， 、是⊙上的两点，，，延长交的延长线于点
（1）求证：
（2）若,,求弦的长.
25.如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（2）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
26如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．
（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；
（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．
2024 年陕西省中考数学模拟试卷
第一部分（选择题共 24 分）
一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分每小题只有一个选项是符合题意的）
1.－3的绝对值是
A.－3B.－C.3D.±3
【答案】C
【解析】根据绝对值的概念知-3的绝对值是3，故选C．
【知识点】绝对值
2.如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【知识点】轴对称图形
3.下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2 ＝a6B．a7÷a3 ＝a4
C．（﹣3a）2 ＝﹣6a2D．（a﹣1）2＝a2 ﹣1
【答案】B
【解析】解：A、原式＝a5，不符合题意；
B、原式＝a4，符合题意；
C、原式＝9a2，不符合题意；
D、原式＝a2﹣2a+1，不符合题意，
故选：B．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式
4.将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【答案】C
【解析】解：由题意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝∠2＝45°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠3+∠4＝105°，
故选：C．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
5.如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据正方形的性质得到，，然后结合得到，然后证明出，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵四边形是正方形
∴，
∵
∴，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
6.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】过C作CD⊥OA于D，利用直线l1：yx+1，即可得到A（2，0），B（0，1），AB3．依据CD∥BO，可得ODAO，CDBO，进而得到C（），代入直线l2：y＝kx，可得k的值．
【解析】如图，过C作CD⊥OA于D．直线l1：yx+1中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝2，
即A（2，0），B（0，1），∴Rt△AOB中，AB3．
∵∠BOC＝∠BCO，∴CB＝BO＝1，AC＝2．
∵CD∥BO，∴ODAO，CDBO，即C（），把C（）代入直线l2：y＝kx，可得：k，即k．故选B．
【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
7.如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，若OA＝OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AE＝CE，
而OA＝OC，
∴OE为∠AOC的平分线．
故选：C．
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；作图—基本作图
8.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于-6
D．当时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【分析】
利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断．
【详解】
解：设二次函数的解析式为，
依题意得：，解得：，
∴二次函数的解析式为=，
∵，
∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；
∵，
∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；
∵，∴当时，这个函数有最小值，故C选项符合题意；
∵这个函数的图象的顶点坐标为(，)，
∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关
第二部分（非选择题 共 96 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.分解因式3x2－27y2＝ .
【答案】3（x+3y）（x-3y）
【解析】先提取公因数3，然后利用平方差公式进行分解，即3x2－27y2＝3（x2－9y2）＝3（x+3y）（x-3y）。
【知识点】因式分解
正十边形的每一个外角的度数为
【答案】
【分析】利用多边形的外角性质计算即可求出值．
【详解】解：360°÷10＝36°，故选：A．
【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角性质是解本题的关键
11.篮球联赛中，每玚比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了_________场．
【答案】9
【分析】设该对胜x场，则负14-x场，然后根据题意列一元一次方程解答即可．
【解析】解：设该对胜x场 由题意得：2x+（14-x）=23，解得x=9．故答案为9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意、设出未知数、找准等量关系、列出方程是解答本题的关键．
12.在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为_____．
【答案】-1．
【分析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论．
【解析】解：点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限，
点一定在第三象限，
在第一象限，反比例函数的图象经过其中两点，
反比例函数的图象经过，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
13.
13.如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为
【答案】
【分析】首先根据正方形的性质得到，，然后结合得到，然后证明出，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵四边形是正方形
∴，
∵
∴，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
故为：
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
三、解答题（共 13 小题，计 81 分解答应写出过程）
14.计算：；
【思路分析】）先利用算术平方根的定义、特殊角的正切值、0指数次幂求值，再进行减法计算；
【解题过程】解：
==0；
【知识点】算术平方、特殊角的正切值、0指数次幂、实数的混合运算、整式的乘法、去括号、并同类项
15.解不等式组x＞1−x23(x−73)＜x+1，并求此不等式组的整数解
【思路分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可．
【解题过程】解：x＞1−x2①3(x−73)＜x+1②，
由①得：x＞13，
由②得：x＜4，
不等式组的解集为：13＜x＜4．
则该不等式组的整数解为：1、2、3．
16.先化简，再求值.
÷，其中a＝2，b＝1.
【思路分析】根据分式的混合运算可以化简题目中的式子，然后将a，b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解题过程】原式＝·ab（a+b）=5ab，
当a＝2，b＝1时，原式＝2
【知识点】分式的化简求值
17.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作线段AB的垂直平分线，交AD于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．
【解答】解：如图所示：⊙O即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．
【思路分析】依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD＝CE，依据CE∥AD，即可得出∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，即可判定△ADF≌△CEF．
【解题过程】证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴BD＝CE，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴AD＝EC，
∵CE∥AD，
∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，
∴△ADF≌△CEF（ASA）．
【知识点】全等三角形的判定；平行四边形的判定
19.甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？
【思路分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件，根据关键语句“甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可．
【解题过程】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件，
由题意得：180x=12030−x，
解得：x＝18，
经检验：x＝18是原分式方程的解，
则30﹣18＝12（个）．
答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．
【知识点】分式方程的应用
20.将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）
【思路分析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；
（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率．
【解题过程】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，
∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是23；
故答案为：23；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，
∴拼成的图形是轴对称图形的概率为26=13．
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案；概率公式；列表法与树状图法
21.为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）
【答案】斜坡的长约为10米
【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形，
在中，，
．
∴．
∵，
∴在中，（米）．
答：斜坡的长约为10米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据．
（1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；
（2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；
（3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？
【思路分析】（1）设阅读5册书的人数为x，由统计中的信息列式计算即可；
（2）该校1200名学生数×课外阅读5册书的学生人数占抽查了学生的百分比即可得到结论；
（3）设补查了y人，根据题意列不等式即可得到结论．
【解题过程】解：（1）设阅读5册书的人数为x，由统计图可知：128+x+12+6=30%，
∴x＝14，
∴条形图中丢失的数据是14，阅读书册数的众数是5，中位数是5；
（2）该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数为1200×148+14+12+6=420（人），
答：该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数是420人；
（3）设补查了y人，
根据题意得，12+6+y＜8+14，
∴y＜4，
∴最多补查了3人．
【知识点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数；众数．
23.一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．
(1)求所在直线的表达式．
(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
(3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离．
【答案】(1)；(2)出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇；(3)两地间的距离为600米
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法求出所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可；
（3）列出方程即可解决．
【详解】（1）∵，
∴所在直线的表达式为．
（2）设所在直线的表达式为，
∵，
∴解得
∴．
甲、乙机器人相遇时，即，解得，
∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇．
（3）设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离，
则乙机器人分钟后到地，地与地距离，
由，得．
∴．
答：两地间的距离为600米．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键．
24.如图，是⊙的直径，点在的延长线上， 、是⊙上的两点，，，延长交的延长线于点
（1）求证：
（2）若,,求弦的长.
【思路分析】（1）证明△ABC≌△AFC可得CB＝CF，又CB＝CE，则CE＝CF；（2）证明△CBD∽△DCA，可求出DA的长，求出AB长，设BC＝a，AC＝a，则由勾股定理可得AC的长．
【解题过程】
（1）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，∴△ABC≌△AFC（ASA），∴CB＝CF，
又∵CB＝CE，∴CE＝CF；
（2）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，∴△CBD∽△DCA，∴，∴，∴DA＝2，
∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，设BC＝a，AC＝a，由勾股定理可得：，解得：a＝，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质
25.如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（2）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【思路分析】（1）点P可以在x轴上方或下方，需分类讨论．①若点P在x轴下方，延长AP到H，使AH＝AB构造等腰△ABH，作BH中点G，即有∠PAB＝2∠BAG＝2∠ACO，利用∠ACO的三角函数值，求BG、BH的长，进而求得H的坐标，求得直线AH的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标．②若点P在x轴上方，根据对称性，AP一定经过点H关于x轴的对称点H'，求得直线AH'的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标．
（2）设点Q横坐标为t，用t表示直线AQ、BN的解析式，把x＝﹣1分别代入即求得点M、N的纵坐标，再求DM、DN的长，即得到DM+DN为定值．
【解题过程】解：
（1）①若点P在x轴下方，如图1，延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I
∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1
∴B（﹣3，0）
∵A（1，0），C（0，﹣3）
∴OA＝1，OC＝3，AC=12+32=10，AB＝4
∴Rt△AOC中，sin∠ACO=OAAC=1010，cs∠ACO=OCAC=31010
∵AB＝AH，G为BH中点
∴AG⊥BH，BG＝GH
∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG
∵∠PAB＝2∠ACO
∴∠BAG＝∠ACO
∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG=BGAB=1010
∴BG=1010AB=2105
∴BH＝2BG=4105
∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°
∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO
∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI=HIBH=1010，cs∠HBI=BIBH=31010
∴HI=1010BH=45，BI=31010BH=125
∴xH＝﹣3+45=−115，yH=−125，即H（−115，−125）
设直线AH解析式为y＝kx+a
∴k+a=0−115k+a=−125 解得：k=34a=−34
∴直线AH：y=34x−34
∵y=34x−34y=x2+2x−3 解得：x1=1y1=0（即点A），x2=−94y2=−3916
∴P（−94，−3916）
②若点P在x轴上方，如图2，在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称
∴H'（−115，125）
设直线AH'解析式为y＝k'x+a'
∴k'+a'=0−115k'+a'=125 解得：k'=−34a'=34
∴直线AH'：y=−34x+34
∵y=−34x+34y=x2+2x−3 解得：x1=1y1=0（即点A），x2=−154y2=5716
∴P（−154，5716）
综上所述，点P的坐标为（−94，−3916）或（−154，5716）．
（2）DM+DN为定值
∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1
∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1
设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）
设直线AQ解析式为y＝dx+e
∴d+e=0dt+e=t2+2t−3 解得：d=t+3e=−t−3
∴直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3
当x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6
∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6
设直线BQ解析式为y＝mx+n
∴−3m+n−0mt+n=t2+2t−3 解得：m=t−1n=3t−3
∴直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3
当x＝﹣1时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2
∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2
∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．
【知识点】二次函数解析式； 一次函数解析式；解一元二次方程；二元一次方程组；等腰三角形的性质；三角函数的应用
26如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．
（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；
（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．
【思路分析】（1）如图①利用三角形的中位线定理，推出DE∥AC，可得BDBA=BEBC，在图②中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可．
（2）利用相似三角形的性质证明即可．
（3）点G的运动路程，是图③﹣1中的BG的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可．
【解题过程】解：（1）如图②中，
由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，
∴DE∥AC，
∴BDBA=BEBC，
∴BDBE=BABC，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴∠DBA＝∠EBC，
∴△DBA∽△EBC．
（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．
理由：如图③中，设AB交CG于点O．
∵△DBA∽△EBC，
∴∠DAB＝∠ECB，
∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，
∴∠G＝∠ABC＝30°．
（3）如图③﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边△ACO，连接OG，OB．
以O为圆心，OA为半径作⊙O，
∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，
∴∠AGC=12∠AOC，
∴点G在⊙O上运动，
以B为圆心，BD为半径作⊙B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∵BK＝AK，
∴DK＝BK＝AK，
∵BD＝BK，
∴BD＝DK＝BK，
∴△BDK是等边三角形，
∴∠DBK＝60°，
∴∠DAB＝30°，
∴∠DOG＝2∠DAB＝60°，
∴BG的长=60⋅π⋅4180=4π3，
观察图象可知，点G的运动路程是BG的长的两倍=8π3．
【知识点】相似三角形的判定和性质；弧长公式；等边三角形的判定和性质；圆周角定理
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