北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 空间向量基本定理当堂检测题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 空间向量基本定理当堂检测题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．空间四边形中，，，，点为中点，点为靠近的三等分点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（ ）
A．B．
C．D．
3．以下四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则三点共线
B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
C．
D．若，且，则
4．如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A．B．C．2D．10
8．若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知向量，则（ ）
A．B．
C．D．向量的夹角为
10．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
11．在三棱锥中，，，为的中点，为上一点，球为三棱锥的外接球，则下列说法正确的是（ ）
A．球的表面积为
B．点到平面的距离为
C．若，则
D．过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为2
12．如图，正三棱柱的各棱长均为，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则以下结论正确的是（ ）

A．设向量旋转后的向量为，则
B．点的轨迹是以为半径的圆
C．设在平面上的投影向量为，则的取值范围是
D．直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是
三、填空题
13．如图，四棱锥中，底面，底面是边长为6的正方形，且四棱锥的外接球的表面积为，点在线段上，且为线段的中点，则点到直线上任意点的距离的最小值为 ．

14．如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若，则 ．
15．如图，设为所在平面外任意一点，为的中点，若，则 .
16．已知是轴上的动点，当时，点的坐标为 ；当取最小值时，点的坐标为 ．
四、解答题
17．如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且．
(1)试用基底表示向量；
(2)求线段的长．
18．三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：．若，则称为空间向量与的叉乘，其中（），（），为单位正交基底．以O为坐标原点、分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A，B是空间直角坐标系中异于O的不同两点．
(1)①若，，求；
②证明：．
(2)记的面积为，证明：．
(3)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的6倍．
19．如图所示，在三棱锥中，，，．

(1)求证：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
20．如图，在平行六面体中，，．设，，．
(1)用基底表示向量，，；
(2)证明：平面．
21．如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．
(1)求的长；
(2)求异面直线和夹角的余弦值．
参考答案：
1．D
【分析】利用向量的加减法规则,运算即可得出结果.
【详解】在四面体ABCD中，，，，
点为中点，点为靠近的三等分点，则
故选：D.
2．A
【分析】根据空间中点关于平面对称的知识确定正确答案.
【详解】依题意，点关于平面对称的点坐标是.
故选：A
3．B
【分析】根据向量三点共线可判断A；假设共面，设得出矛盾可判断B；举反例可判断C；利用数量积公式计算可判断D.
【详解】对于A，若三点共线，则，且，
而，故A错误；
对于B，假设共面，
设，
因为为空间的一个基底，所以，
该方程组无解，假设不成立，故B正确；
对于C，设，
则，，故C错误；
对于D，由得，设与的夹角为，
所以，因为，所以，不一定有，故D错误.
故选：B.
4．A
【分析】结合几何图形，利用向量的线性运算公式，即可求解.
【详解】，
，
.
故选：A
5．C
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】
以为坐标原点，以分别为轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设，，
则，则，
因为平面，所以，
即，解得，
所以，所以，
又，所以当时，即是的中点时，取得最小值，
当或，即与点或重合时，取得最大值，
所以线段长度的取值范围为.
故选：C
6．C
【分析】建立空间直角坐标系，将为锐角转化为，利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，
则，所以，
所以，
，
由图可知，，
所以为锐角等价于，
所以
又，解得.
故选：C.
7．B
【分析】根据线面垂直列方程，从而求得.
【详解】由于，所以，
所以，所以.
故选：B
8．C
【分析】设出，根据得到方程组，求出答案.
【详解】由四边形是平行四边形知，
设，则，又，
所以，解得，即D点坐标为.
故选：C
9．AC
【分析】根据空间向量的运算求得正确答案.
【详解】对A，，A选项正确；
对B，，B选项错误；
对C，，C选项正确；
对D，，
所以向量的夹角为，D选项错误.
故选：AC
10．ACD
【分析】根据空间向量共面基本定理进行求解判断即可．
【详解】对于A，因为，故三个向量共面，故A符合题意；
对于B，假设，，共面，
则，使得，
故有，方程组无解，故假设不成立，即，，不共面；
故B不符合题意；
对于C，，故三个向量共面，故C符合题意；
对于D，，故三个向量共面，故D题意符合．
故选：ACD．
11．BCD
【分析】补体法求出球半径判断A，结合球的性质判断D，由面面垂直性质作垂线求解判断B，建立空间坐标系计算判断C.
【详解】由，，
可将三棱锥补形成如图所示的长方体，
设，
则，解得，
即，，
所以球的半径为，所以球的表面积为，故A错误.
由题得长方体为正四棱柱，，为的中点，
故
又平面，则平面，
又平面，故平面平面，平面平面，
过点作的垂线，交于，则平面故为点到平面的距离.
在中，，，
故，
则，故B正确.
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，.
设，
所以，
因为，所以，
解得，所以，故C正确.
当且仅当与截面垂直时，截面面积最小，由A 解析知：最小的半径为，故D正确.

故选：BCD
【点睛】关键点点睛点睛：本题考查几何体的外接球，球的几何性质，空间向量的应用，A选项关键利用三棱锥对棱相等补体法求外接球.
12．ABC
【分析】利用坐标法，由可得，利用模长公式可判断AB，利用投影向量的概念可得，可判断C，利用夹角公式可判断D.
【详解】如图，取棱的中点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，
，，
绕着旋转即绕着轴旋转，设旋转后的向量为，
则，故A正确；
设，则，，点的轨迹是以为半径的圆，故B正确；
由题知，在平面上的投影向量即为其在平面上的投影向量，
则，故C正确；
设直线在平面内的投影与直线所成的角为，
则，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是建立空间直角坐标系，利用坐标法计算.
13．
【分析】以D为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立坐标系，由外接球的表面积为，求出，由求得，为线段的中点，求出，然后几根据两点间的距离公式结合二次函数求最值可得.
【详解】由底面，所以
由底面是正方形，所以，
以D为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立坐标系，
设四棱锥的外接球的半径为r，
由外接球的表面积为，即，所以，
，所以，
所以，又，即，
设，所以，
所以，所以，又，
因为为线段的中点，所以，
设直线上一点，
所以当时，点到直线上任意点的距离的最小，其最小值为.
故答案为：
14．/
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再借助空间向量基本定理求解即得.
【详解】在四面体中，由分别为线段的中点，
得，
而，由空间向量基本定理得：，
所以.
故答案为：.
15．
【分析】利用图形，结合空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可得解.
【详解】依题意，
，
又，所以，则.
故答案为：.
16．
【详解】因为点在轴上，设，由，
则，解得．
∴点的坐标为；
又由于．
，
∴当时，取最小值，此时点的坐标为．
17．(1)
(2)
【分析】（1）连接，延长，交于，根据三角形重心的性质与该四棱锥的结构特征，算出用基底表示向量的式子；
（2）根据题意，、、两两垂直，可用向量数量积的运算性质，结合题中所给的数据算出线段的长．
【详解】（1）连接，延长，交于，
由为的重心，得是边上的中线，且，
结合，得，
因为，所以，整理得，
因此，；
（2）因为底面，，底面是边长为的正方形，
所以，，，
可得
，
所以，即线段的长为．
18．(1)①；②证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用向量的叉乘的定义逐项分析即得.
（2）利用数量积公式求得，则有 可知，借助叉乘公式，利用分析法即可证得结果．
（3）由（2），化简可得，即可得出结果.
【详解】（1）①因为，，
则．
②证明：设，，
则，
将与互换，与互换，与互换，
可得，
故．
（2）证明：因为，
故，
故要证，
只需证，
即证．
由（1），，，
故，
又，，，
故
则成立，
故．
（3）证明：由（2），
得，
故，
故的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的6倍．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)要证明面面垂直，只需证明平面，即只需证明，.
(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后再求线面角.
【详解】（1）证明：因为，所以，
同理可得，故，
因为，平面，所以平面
因为平面，故平面平面．
（2）以C为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为

则，，，，，
所以，，．
设为平面的法向量，
则即令，得．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．(1)，，．
(2)证明见解析
【分析】（1）运用空间向量基本定理，用基底分别表示三个向量，，；
（2）用基底表示的三个向量，，，分别计算、，证明了两组线线垂直、，证明结论即可.
【详解】（1）已知，，，
得：，，
．
（2）证明：设，
又，
则，且，
则，
得，
即，
同理可得，
因为，，平面，平面，且，
所以平面．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案；
（2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】（1）由题意得，
又，，，，，
故
，
故；
（2）
，
设异面直线和夹角为，
则.