2023-2024学年黑龙江省大庆市肇源县西部四校九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省大庆市肇源县西部四校九年级（下）开学数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式中，y是x的二次函数的是( )
A. y=1x2B. y=x2+1x+1C. y=2x2−1D. y= x2−1
2.若tanα= 3，则锐角α的度数是( )
A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°
3.⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A. 点A在⊙O上B. 点A在⊙O内C. 点A在⊙O外D. 无法确定
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，则tanA⋅tanB等于( )
A. 0B. 1C. −1D. 不确定
5.某城市居民2018年人均收入30000元，2020年人均收入达到y元．设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是( )
A. y=30000(1+2x)B. y=30000+2x
C. y=30000(1+x2)D. y=30000(1+x)2
6.如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠AOB=50°，∠B=55°，则∠A的度数是( )
A. 25°
B. 30°
C. 40°
D. 55°
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=2，CD⊥AB于D，设∠ACD=α，则csα的值为( )
A. 2 23
B. 22
C. 2 2
D. 13
8.设A(−2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=−x2−2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y3>y2>y1D. y3>y1>y2
9.如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是( )
A. 65
B. 56
C. 2 103
D. 3 1010
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=−1，有以下结论：①abc>0；②4ac2.其中正确的结论的个数是
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．
12.在△ABC中，若|sinA−12|+(tanB− 33)2=0，则△ABC是______三角形．
13.若y=(m−3)xm2−5m+8+2x−3是关于x的二次函数，则m的值是______．
14.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=16，OE=6，则⊙O的直径为______．
15.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C的⊙O的切线交BO的延长线于点P，若∠P=34°，那么∠BAC度数为______．
16.如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是(1,0)、(0, 3)，且∠ABC=90°，∠A=30°，则顶点A的坐标是______．
17.如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为______．
18.已知直角梯形的一腰长为18cm，另一腰长为9cm，则较长的腰与底所成角为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD=CB，∠D=∠A
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若BC=2，求BD的长．
四、解答题：本题共7小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题5分)
计算：cs60°+sin245°−tan34°⋅tan56°；
21.(本小题5分)
计算：(tan30°)−1−| 3−2|+327+( 2)0．
22.(本小题6分)
已知：如图，在⊙O中，AB=CD，AB与CD相交于点M，
(1)求证：AC=BD；
(2)求证：AM=DM．
23.(本小题8分)
如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．
(1)B处与灯塔P的距离为多少海里；
(2)AB为多少海里(结果保留根号)．
24.(本小题8分)
如图，有一个竖直的喷水枪AB，由喷水口A喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为3m，且到地面BC的距离为5m，水流的落地点C到喷水枪底部B的距离为8m，求喷水枪AB的长度．
25.(本小题8分)
某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)设每天的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
26.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA=2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：y是x的二次函数的是y=2x2−1．
故选：C．
根据二次函数的定义对各选项进行判断即可．
本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量．
2.【答案】D
【解析】解：∵tan60°= 3，tanα= 3，
∴锐角α=60°，
故选：D．
根据tan60°= 3，计算判断选择即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔dy2>y3，
故选：A．
把点的坐标分别代入可求得y1，y2，y3的值，比较大小可求得答案．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图：
在Rt△ABD中，BD=6，AD=5，
∴tanA=BDAD=65，
故选：A．
在Rt△ABD中，根据锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac0，则4ac2，所以④正确．
故选C．
11.【答案】六
【解析】解：∵正多边形的半径与边长相等，
∴正多边形的相邻的两条半径与一条边围成一个正三角形，
∴正多边形的中心角为60°
∵正多边形所有中心角的和为360°，
∴360°÷60°=6，
∴正多边形的边数为六，
故答案为：六．
根据正多边形的半径与边长相等，可知正多边形的相邻的两条半径与一条边围成一个正三角形，由此求出其中心角的度数，进而求出正多边形的边数．
本题考查了正多边形的计算，解决此题的关键是正确的理解正多边形的有关概念，并组成直角三角形求有关线段的长或角的度数，体现了转化思想．
12.【答案】等腰
【解析】解：∵|sinA−12|+(tanB− 33)2=0，
∴sinA−12=0，tanB− 33=0，
∴sinA=12，tanB= 33，
∴∠A=30°，∠B=30°，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
根据非负数的性质可得sinA−12=0，tanB− 33=0，然后再得到∠A和∠B的度数，进而可得答案．
此题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．
13.【答案】2
【解析】解：∵函数y=(m−3)xm2−5m+8+2x−3是关于x的二次函数，
∴m2−5m+8=2且m−3≠0，
解得m=2，
故答案为：2．
根据二次函数的定义求解．
本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意二次项的系数不能为0．
14.【答案】20
【解析】解：如图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=16，
∴CE=DE=12CD=12×16=8，
∴OC= OE2+CE2= 62+82=10，
∴⊙O的直径为20，
故答案为：20．
连接OC，根据垂径定理求出CE，再根据勾股定理求出OC，进而求出⊙O的直径．
本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
15.【答案】118°
【解析】解：如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵∠P=34°，
∴∠DOC=90°−34°=56°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=12(180°−∠DOC)=12(180°−56°)=62°，
∴∠A=180°−∠ODC=118°，
故答案为：118°．
连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP=90°，由直角三角形的性质可得∠DOC=50°，由等腰三角形的性质得出∠OCD=∠ODC=65°，由圆内接四边形的性质得出∠A=180°−∠ODC=115°，即可得出结果．
本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16.【答案】(4, 3)
【解析】解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．
∵B、C的坐标分别是(1,0)、(0, 3)，
∴OC= 3，OB=1，
∴BC= 12+( 3)2=2．
∵∠COB=90°，OB=12BC，∴∠OCB=30°，∠CBO=60°，
∵∠ABC=90°，∴∠ABG=30°，
∵∠ABC=90°，∠CAB=30°，
∴AC=2BC=4，AB= AC2−BC2=2 3．
∴AG=12AB= 3，由勾股定理得，BG=3．
∴OG=1+3=4，
∴顶点A的坐标是(4, 3).
故答案为：(4, 3).
过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G.只要求出AG、OG，则可求出顶点A的坐标．
此题考查的是解直角三角形，利用点的坐标特点求得AG、OG的长是解决此题关键．
17.【答案】10cm
【解析】解：根据切线长定理得：AD=CD，CE=BE，PA=PB，
则△PDE的周长=2PA=20cm，
∴PA=10cm，
故答案为：10cm．
根据切线长定理，可将△PDE的周长转化为两条切线长的和，即可求出切线的长．
本题主要考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线长定理．
18.【答案】30°和150°
【解析】解：过D作DM⊥BC．
∴四边形ABMD为矩形，
∴DM=AB=9，
∵DC=18，
∴DM=12DC，
∵∠DMC=90°，
∴∠∠C=30°，
∴∠DCN=150°，
故答案为：30°和150°．
作出直角梯形的高DM，再利用直角三角形如果直角边是斜边的一半，则这个直角边所对的角为30°．
本题考查了直角梯形的知识，做出梯形的高是解题关键．
19.【答案】(1)证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠BOC+2∠OBC=180°，
∵∠BOC=2∠A，
∴∠A+∠OBC=90°，
又∵BC=CD，
∴∠D=∠CBD，
∵∠A=∠D，
∴∠CBD+∠OBC=90°，
∴∠OBD=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；
(2)解：∵∠OBD=90°，∠D=∠CBD，
∴∠OBC=∠BOC，
∴OC=BC，
又∵OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∵BC=2，
∴OB=2，
∴BD=2 3．
【解析】(1)由等腰三角形的性质得出∠CBD+∠OBC=90°，则∠OBD=90°，可得出结论；
(2)证明△OBC为等边三角形，得出∠BOC=60°，根据直角三角形的性质可得出答案．
此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
20.【答案】解：原式=12×( 22)2−1
=12+12−1
=0．
【解析】根据特殊角的三角函数值计算．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
21.【答案】解：(tan30°)−1−| 3−2|+327+( 2)0
= 33−1−(2− 3)+3+1
= 33−1−2+ 3+3+1
=4 33+1．
【解析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
22.【答案】证明：(1)∵在⊙O中，AB=CD，
∴AB=CD，
∴AB−BC=CD−BC，
∴AC=BD；
(2)连接AC，BD，
∵AC=BD，
∴AC=BD，
在△ACM和△DBM中，
∠CAM=∠BDMAC=DB∠ACM=∠DBM,
∴△ACM≌△DBM(ASA)，
∴AM=DM．
【解析】此题考查了弦与弧的关系、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
(1)由在⊙O中，AB=CD，根据弦与弧的关系，可证得AB=CD，继而可证得AC=BD；
(2)首先连接AC，BD，易证得△ACM≌△DBM，继而证得AM=DM．
23.【答案】解：(1)由题意得：PC⊥AB，

在Rt△APC中，∠APC=90°−60°=30°，AP=50海里，
∴AC=12AP=25(海里)，PC= 3AC=25 3(海里)，
在Rt△BCP中，∠BPC=90°−45°=45°，
∴BP=CPcs45∘=25 3 22=25 6(海里)，
∴B处与灯塔P的距离为25 6海里；
(2)在Rt△BCP中，∠BPC=45°，CP=25 3海里，
∴BC=CP⋅tan45°=25 3(海里)，
∵AC=25海里，
∴AB=AC+BC=(25+25 3)海里，
∴AB为(25+25 3)海里．
【解析】(1)根据题意可得：PC⊥AB，然后在Rt△APC中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AC和PC的长，再在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义求出BP的长，即可解答；
(2)在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】解：如图，以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系，

由题意知，抛物线的顶点P的坐标为(3,5)、点C(8,0)，
设抛物线的解析式为y=a(x−3)2+5，
将点C(8,0)代入，
得25a+5=0，
解得a=−15，
则抛物线的解析式为y=−15(x−3)2+5，
当x=0时，y=3.2．
答：喷水枪AB的长度是3.2米．
【解析】建立以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴的直角坐标系，根据顶点P(3,5)设其解析式为y=a(x−3)2+5，把C(8,0)代入求得a的值，据此可得其函数解析式，再求得x=0时y的值可得答案．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解．
25.【答案】解：(1)设y=kx+b，
将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120代入，
得3.5k+b=2805.5k+b=120，
解得k=−80b=560，
则y与x之间的函数关系式为y=−80x+560；
(2)由题意得：W=(x−3)(−80x+560)−80=−80x2+800x−1760=−80(x−5)2+240，
∵3.5≤x≤5.5，
∴当x=5时，W有最大值为240．
故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
【解析】(1)根据每天的销售量y(袋)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，可设y=kx+b，再将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120代入，利用待定系数法即可求解；
(2)根据每天的利润=每天每袋的利润×销售量−每天还需支付的其他费用，列出W关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式，根据题意找出等量关系列出关系式是解题的关键．
26.【答案】解：(1)设OB=t，则OA=2t，则点A、B的坐标分别为(2t,0)、(−t,0)，
则x=12=12(2t−t)，解得：t=1，
故点A、B的坐标分别为(2,0)、(−1,0)，
则抛物线的表达式为：y=a(x−2)(x+1)=ax2+bx+2，
解得：a=−1，b=1，
故抛物线的表达式为：y=−x2+x+2；
(2)对于y=−x2+x+2，令x=0，则y=2，故点C(0,2)，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=−x+2，
设点D的横坐标为m，则点D(m,−m2+m+2)，则点F(m,−m+2)，
则DF=−m2+m+2−(−m+2)=−m2+2m，
∵−10)，则OE=m，DE=−m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则DEOE=OBOC或OCOB，即DEOE=12或2，即−m2+m+2m=12或2，
解得：m=1或−2(舍去)或1+ 334或1− 334(舍去)，
经检验，m=1或1+ 334是方程的解，
故m=1或1+ 334．
【解析】(1)点A、B的坐标分别为(2t,0)、(−t,0)，则x=12=12(2t−t)，即可求解；
(2)点D(m,−m2+m+2)，则点F(m,−m+2)，则DF=−m2+m+2−(−m+2)=−m2+2m，即可求解；
(3)以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则DEOE=OBOC或OCOB，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．销售单价x(元)
3.5
5.5
销售量y(袋)
280
120