2023-2024学年河南省郑州外国语学校初中部八年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省郑州外国语学校初中部八年级（下）开学数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. a=2，b=3，c=4B. a=2，b=5，c=5
C. a=5，b=8，c=10D. a=7，b=24，c=25
2.144的平方根是±12的数学表达式是( )
A. 144=12B. 144=±12C. ± 144=±12D. ± 144=12
3.点P(m−1,n+2)与点Q(2m−4,2)关于x轴对称，则(m+n)2023的值是( )
A. 1B. −1C. 2023D. −2023
4.下列说法中，正确的是( )
A. 经过证明为正确的真命题叫做公理
B. 假命题不是命题
C. 要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可
D. 要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可
5.某品牌汽车公司销售部为了制定下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是(单位：辆)( )
A. 18.4，16，16
B. 18.4，20，16
C. 19，16，16
D. 19，20，16
6.如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段AB，BC，CD.现在取出这三条线段AB，BC，CD首尾相连拼三角形.下列判断正确的是( )
A. 能拼成一个锐角三角形B. 能拼成一个直角三角形
C. 能拼成一个钝角三角形D. 不能拼成三角形
7.佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下：
则12：00时看到的两位数是( )
A. 16B. 25C. 34D. 52
8.如图，△ABC中，∠EFD=30°，且∠AEF=∠AFE，∠CFD=∠CDF，则∠ABC的度数( )
A. 90°
B. 110°
C. 120°
D. 150°
9.如图，正四棱柱的底面边长为10cm，侧棱长为16cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱侧面到点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是cm．( )
A. 8 41
B. 4 41
C. 2 41
D. 12
10.吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m.他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校．设吴老师离公园的距离为y(单位：m)，所用时间为x(单位：min)，则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在−2， 4, 2，3.14，3−27，π5，227这7个数中，无理数共有______个.
12.不等式4(x+1)≤24的正整数解是______．
13.如图，直线m/​/n，一块∠B=60°的直角三角板ABC按如图所示放置，若∠1=70°，则∠2的度数为______．
14.一组从小到大排列的数据：a，3，5，5，6(a为正整数)，唯一的众数是5，则该组数据的平均数是______．
15.如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10，且AH：AE=3：4.那么AH等于______．
三、解答题：本题共7小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1) 50× 8− 6× 3 2；
(2)(1−2 3)2−(2− 3)(2+ 3)．
17.(本小题8分)
解不等式组x−2>x−23x−12≤4−x，并在数轴上表示此不等式组的解集．
18.(本小题8分)
完成下面的证明．
已知：如图，∠1=∠2，CD，EF分别是∠ACB，∠AED的平分线，求证：BC/​/DE．
证明：∵∠1=∠2(已知)，
∴EF//DC(______).
∴∠3=∠ ______(______).
∵CD，EF分别是∠ACB，∠AED的平分线(已知)，
∴∠ACB=2∠ ______，∠AED=2∠4(______).
∴∠ACB=∠AED．
∴BC//DE(______).
19.(本小题9分)
在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话(如图)，试根据图中的信息，解答下列问题：
(1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由．
20.(本小题9分)
如图，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了三种选择方案：
(1)AB+BC；
(2)AD+BC(D为BC的中点)；
(3)OA+OB+OC(O为△ABC三边的垂直平分线的交点)．
要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？
21.(本小题8分)
某乳品公司向某地运输一批牛奶，若由铁路运输，每千克牛奶只需运费0.60元；若由公路运输，不仅每千克牛奶需运费0.30元，而且还需其他费用600元.设该公司运输这批牛奶为x千克，选择铁路运输时所需费用为y1元；选择公路运输时所需费用为y2元.
(1)请分别写出y1，y2与x之间的关系式；
(2)在下面的平面直角坐标系内画出它们的大致图象；
(3)运输3000千克牛奶时，选择哪一种运输方式比较合算？
22.(本小题11分)
定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
感悟应用：
(1)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MN>AM，MN>BN，若AM=12，MN=13，则BN= ______．
拓展研究：
(2)如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，M、N为直线AB上两点，满足∠MCN=45°．
①如图2，点M、N在线段AB上，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；
②如图3，若点M在线段AB上，点N在线段AB的延长线上，AM=6，BN=8，则BM= ______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.a=2，b=3，c=4，
∵22+32=13≠42，
∴满足A选项的三角形不是直角三角形；
B.a=2，b=5，c=5，
∵22+52=29≠52，
∴满足B选项的三角形不是直角三角形；
C.a=5，b=8，c=10，
∵52+82=89≠102，
∴满足C选项的三角形不是直角三角形；
D.a=7，b=24，c=25，
∵72+242=625=252，
∴满足D选项的三角形是直角三角形．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四组条件．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方(或寻找三角形中是否有一个角为直角)”是关键．
2.【答案】C
【解析】解：144的平方根是±12的数学表达式是± 144=±12，
故选：C．
根据平方根的定义进行计算即可．
本题考查平方根，理解平方根的定义以及表示方法是正确解答的前提．
3.【答案】B
【解析】解：∵P(m−1,n+2)与点Q(2m−4,2)关于x轴对称，
∴m−1=2m−4n+2=−2，
解得m=3，n=−4，
∴(m+n)2023=(3−4)2023=−1．
故选：B．
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数列出关于m、n的方程，解出m、n的值，再代入即可．
本题考查的是关于x、y轴对称点的坐标特点，解答本题的关键要明确：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4.【答案】C
【解析】解：A、经过长期实践证实为正确的真命题称为公理，所以A选项错误；
B、假命题是不正确的命题，所以B选项错误；
C、要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可，所以C选项正确；
D、要证明一个命题是真命题，需要进行推论论证说明它正确，所以D选项错误．
故选：C．
根据公理的定义对A进行判断；根据假命题的定义对B进行判断；根据真、假命题的证明方法对C、D进行判断．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意得：
销售14辆的人数是：20×20%=4(人)，
销售16辆的人数是：20×40%=8(人)，
销售20辆的人数是：20×25%=5(人)，
销售28辆的人数是：20×15%=3(人)，
则这20位销售人员本月销售量的平均数120×(14×4+16×8+20×5+28×3)=18.4(台)；
把这些数从小到大排列，最中间的数是第10、11个数的平均数，
则中位数是16+162=16；
∵销售16台的人数最多，
∴这组数据的众数是16．
故选：A．
根据扇形统计图给出的数据，先求出销售各台的人数，再根据平均数、中位数和众数的定义分别进行求解即可．
此题考查了平均数、中位数和众数，用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
6.【答案】B
【解析】解；由题意得：AB2=22+32=13，BC2=12+22=5，CD2=22+22=8，
∴AB2=BC2+CD2，
∴三条线段AB，BC，CD首尾相连拼三角形是直角三角形．
故选：B．
根据勾股定理分别求出AB2、BC2、CD2，然后利用勾股定理的逆定理求解即可．
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
7.【答案】A
【解析】解：设12：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，
依题意得：x+y=710y+x−(10x+y)=100x+y−(10y+x)，
解得：x=1y=6，
∴10x+y=16．
故选：A．
设12：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位与个位数字之和为7且车行驶的速度不变，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设∠ABC=α，
∴∠A+∠C=180°−α，
∵∠AFE=∠AEF，∠CFD=∠CDF，
∴∠A+2∠AFE=180°①，∠C+2∠CFD=180°②，
①+②得：∠A+∠C+2∠AFE+2∠CFD=360°，
∴2∠AFE+2∠CFD=180°+α，
∴∠AFE+∠CFD=90°+12α，
∴∠EFD=180°−(∠AFE+∠CFD)=180°−(90°+12α)，
∵∠EFD=30°，
∴180°−(90°+12α)=30°，
∴α=120°，
∴∠ABC的度数为120°，
故选：C．
设∠ABC=α，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.【答案】B
【解析】解：把长方体展开为平面图形，分两种情形：
如图1中，AC′= 102+262=2 194(cm)，
如图2中，AC′= 202+162=4 41(cm)，
∵4 41<2 194，
∴爬行的最短路径是4 41cm，
故选：B．
把长方体展开为平面图形，分两种情形求出AC′的长即可判断．
本题考查平面展开−最短路径问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
10.【答案】C
【解析】解：吴老师从家出发匀速步行8min到公园，则y的值由400变为0，
吴老师在公园停留4min，则y的值仍然为0，
吴老师从公园匀速步行6min到学校，则在18分钟时，y的值为600，
故选：C．
在不同时间段中，找出y的值，即可求解．
本题考查了函数的图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：在−2， 4=2， 2，3.14，3−27=−3，π5，227这7个数中，无理数有 2，π5，共有2个．
故答案为：2．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001……，等有这样规律的数．
12.【答案】1，2，3，4，5
【解析】解：根据不等式的基本性质，得，
不等式4(x+1)≤24，
4x+4≤24，
4x≤20，
x≤5；
所以不等式4(x+1)≤24的正整数解是：1，2，3，4，5．
故答案为：1，2，3，4，5．
首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
本题主要考查了不等式的解法；正确解不等式，求出解集是解答本题的关键；解不等式应根据不等式的基本性质．
13.【答案】40°
【解析】解：如图：
∵m/​/n，
∴∠3=∠1=70°，
∴∠4=180°−∠3=110°，
∴∠5=180°−∠A−∠4=180°−30°−110°=40°，
∴∠2=∠5=40°．
根据平行线的性质，先求出∠3，∠4的度数，再利用三角形内角和求出∠5、∠2．
本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，准确计算是解题的关键．
14.【答案】4或4.2
【解析】解：∵数据：a，3，5，5，6(a为正整数)，唯一的众数是5，
∴a=1或2，
当a=1时，平均数为1+3+5+5+65=4；
当a=2时，平均数为2+3+5+5+65=4.2；
故答案为：4或4.2．
根据众数的定义得出正整数a的值，再根据平均数的定义求解可得．
本题主要考查了众数与平均数的定义，根据众数是一组数据中出现次数最多的数得出a的值是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：∵AB=10，AH：AE=3：4，
设AH为3x，AE为4x，
由勾股定理得：AB2=AH2+AE2=(3x)2+(4x)2=(5x)2，
∴5x=10，
∴x=2，
∴AH=6，
故答案为：6．
根据勾股定理得出AH与AE的值，进而解答即可．
此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得x的值．
16.【答案】解：(1) 50× 8− 6× 3 2
= 400− 18 2
=20− 9
=20−3
=17；
(2)(1−2 3)2−(2− 3)(2+ 3)
=1−4 3+12−(4−3)
=1−4 3+12−1
=12−4 3．
【解析】(1)先计算二次根式的乘法，再算减法，即可解答；
(2)利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：x−2>x−23①x−12≤4−x②，
解不等式①得：x>2，
解不等式②得：x≤3，
∴原不等式组的解集为：2∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
18.【答案】内错角相等，两直线平行 4 两直线平行，同位角相等 3 角平分线的定义 同位角相等，两直线平行
【解析】证明：∵∠1=∠2(已知)，
∴EF/​/CD(内错角相等，两直线平行)．
∴∠3=∠4(两直线平行，同位角相等)．
∵CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线(已知)，
∴∠ACB=2∠3，∠AED=2∠4(角平分线的定义)．
∴∠ACB=∠AED(等量代换)．
∴BC/​/DE(同位角相等，两直线平行)．
故答案为：内错角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；3；角平分线的定义；同位角相等，两直线平行．
由平行线的判定得CD/​/EF，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AED=∠ACB，进而可判定BC/​/DE．
本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
19.【答案】解：(1)设成人人数为x，则学生人数为12−x，
根据题意得：35x+352(12−x)=350，
解得：x=8，
∴12−x=12−8=4．
答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．
(2)如果买团体票，按16人计算，共需费用：35×0.6×16=336(元)，
∵336<350，
∴购团体票更省钱．
答：购团体票更省钱．
【解析】(1)设成人人数为x，则学生人数为12−x，根据总费用=成人票价×人数+学生票价×人数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)求出购买16张团体票的总钱数，与350比较后即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据总价=单价×数量求出购买16张团体票的总费用．
20.【答案】解：设等边三角形的边长为a，
如图(1)所示，铺设的通讯电缆长为a+a=2a；
如图(2)所示，∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，即BD=DC=12BC=12a，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD= AB2−BD2= 32a，
则铺设的通讯电缆长为a+ 32a=2+ 32a；
如图(3)所示，∵△ABC为等边三角形，且O为三角形三条高的交点，
∴DO=x，则BO=2x，BD=a2，
故x2+(a2)2=(2x)2，
解得：x= 36a，则BO= 33a，
则铺设的通讯电缆长为AO+OB+OC=3× 33a= 3a，
∵ 3a<2+ 32a<2a，
则方案(3)铺设方案好．
【解析】设等边三角形的边长为a，如图(1)求出两边之和得到铺设通讯电缆的长度；如图(2)，在直角三角形ABD中，利用勾股定理表示出AD，由AD+BC表示出铺设通讯电缆的长度；如图(3)，O为三角形三条高的交点，根据方案2求出的高AD，求出AO的长，由OA+OB+OC表示出铺设通讯电缆的长度，比较大小即可得到方案(3)铺设方案好．
此题考查了作图−应用与设计作图，等边三角形的性质以及勾股定理，是一道方案型试题，分别表示出三个图形通讯电缆的长度是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意得：y1=0.6x，
y2=0.3x+600；
(2)当x=0时，y1=0；y2=600；
y1=y2时，即0.6x=0.3x+600，
解得：x=2000，y1=y2=1200，
∴它们的大致图象如图所示：

(3)选择铁路运输时，y1=0.6×3000=1800(元)；
选择公路运输时，y2=0.3×3000+600=1500(元)；
∵1800>1500，
∴选择公路运输方式比较合算，
答：选择公路运输方式比较合算．
【解析】(1)选择铁路运输时所需的费用y1=每千克运费0.6元×牛奶重量，选择公路运输时所需的费用y2=每千克运费0.3元×牛奶重量+600元；
(2)当选择铁路运输比较合算时y10.3x+600，分别解不等式即可．
此题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数关系式．
22.【答案】(1)5
(2)①证明：如图，作∠PCN=90°且CP=CN，连接AP、MP．
∵∠PCN=∠ACB=90°，
∴∠PCN−∠ACN=∠ACB−∠ACN．
∴∠PCA=∠NCB．
在△APC和△BNC中，
CP=CN∠PCA=∠NCBAC=BC，
∴△APC≌△BNC(SAS)，
∴PA=NB，∠PAC=∠B．
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°．
∴∠PAM=∠BAC+∠PAC=90°．
∵∠MCN=45°，
∴∠PCM=90°−∠MCN=45°．
∴∠PCM=∠MCN．
同理△PCM≌△NCM(SAS)．
∴PM=NM．
∵∠PAM=90°，
∴PA2+AM2=PM2．
∴BN2+AM2=MN2，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点；
②2
【解析】(1)解：∵以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，MN>AM，MN>BN，
∴MN2=AM2+BN2，
∴132=122+BN2，
∴BN=5，
故答案为：5；
(2)①见答案；
②解：将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAE，连接ME，
∴AE=BN=8，CE=CN，∠ACE=∠BCN，∠CAE=∠CBN=135°，
∴∠MAE=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠BCN+∠ECB=90°，
∴∠ECN=90°，
∵∠MCN=45°，
∴∠ECM=45°=∠MCN，
在△MCE与△MCN中，
CM=CM∠ECM=∠MCNCE=CN，
∴△MCE≌△MCN(SAS)，
∴ME=MN，
∵ME2=AM2+AE2，
∴MN2=AM2+BN2，
∴(8+BM)2=62+82，
∴BM=2．
故答案为：2．
(1)根据勾股分割点的定义得，MN2=AM2+BN2，代入计算即可；
(2)①作∠PCN=90°且CP=CN，连接AP，MP，利用SAS证明△MCN≌△MCP，得MN=PM，即可证明结论；
②将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAE，连接ME，证△MCE≌△MCN(SAS)，得ME=MN，从而有MN2=AM2+BN2，代入得(8+BM)2=62+82，从而得出答案．
本题考查的是勾股定理，涉及到旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，读懂题意，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键．时刻
12：00
13：00
14：00
里程碑上的数
是一个两位数，数字之和为7
十位数字与个位数字相比12：00时看到的刚好颠倒
比12：00看到的两位数中间多了个0