2023年苏州工业园区中考数学一模试题（解析版）

这是一份2023年苏州工业园区中考数学一模试题（解析版），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成．共27小题，满分130分．考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．
1. 在，，，这四个数中，最大的数是（）
A. B. C. D.
2. 太阳的主要成分是氢，氢原子的半径约为．这个数用科学记数法可以表示为（）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（）
A. B.
C. D.
4. 若点、都在反比例函数的图像上，则与的大小关系是（）
A. B. C. D. 无法确定
5. 某校开设了“苏扇”、“苏绣”、“剪纸”、“核雕”四个苏州传统工艺社团，并规定每位同学只能参加其中一个社团，参加社团的学生人数情况如图所示，则参加“剪纸”社团的有（）
A. 64人B. 65人C. 66人D. 67人
6. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（）
A. B.
C. D.
7. 小李广花荣是《水浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为．将一枝箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为（）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，，．将绕点B旋转得，分别取、的中点E、F，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卡相应位置上．
9. 计算：__．
10. 已知，，则______．
11. 已知一组数据3，，4，6，7，它们的平均数是5，则这组数据的方差是______．
12. 一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为__________cm3.
13. 根据图中父女两人的微信聊天记录，可知父亲购买无人机的预算为______元．
14. 如图，在半径为、圆心角为120°的扇形中，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，直线与相交于点，连接，则由、、围成的阴影部分的面积为______．
15. 对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点，，且顶点、、都在反比例函数的图像上，则顶点的坐标为______．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17. 计算：．
18. 解不等式组：
19. 先化简，再选择一个合适的的值代入求值．
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有一个根是，求的值；
（2）求证：无论取什么值，该方程总有两个实数根．
21. 如图，某停车场剩下四个车位，小明观察小汽车的停车情况．
（1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是______；
（2）若有两辆小汽车停车，求这两辆车停在不相邻车位的概率．
22. 某产品每件成本是10元，试销阶段每件产品的售价（元）与日销售量（件）之间的关系如下：
已知日销售量是售价的一次函数．
（1）求与函数表达式；
（2）当销售价为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？
23. 如图，折叠矩形纸片，使点、分别落在上的点、处，折痕分别为、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，，求四边形周长．
24. 国旗是国家的象征与标志．为了解学校旗杆的高度，某校九年级部分同学进行了以下探索．
活动一：目测估计
先由100位同学分别目测旗杆的高度，并将数据整理如下：
（1）目测旗杆高度的平均数是，众数是______，中位数是______；
（2）根据以上信息，请你估计旗杆的高度，并说明理由．
（3）活动二：测量计算随后，几名同学成立了学习小组，并利用卷尺和测角仪测量旗杆的高度．如图，他们在水平地面上架设了测角仪，先在点处测得旗杆顶部的仰角，然后沿旗杆方向前进到达点处，又测得旗杆顶部的仰角，已知测角仪的高度为，求旗杆的高度．（参考数据：，，）
25. 如图，点在边上，与相切于点，与相交于点，经过上的点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径长；
（3）在（2）的条件下，延长交于点，连接，求的值．
26. 如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．
（1）求点、、的坐标（用数字或含的式子表示）；
（2）当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标；
（3）当取（2）中的值时，若，请直接写出点的坐标．
27. 如图①，在四边形中，，，，，．点在上，连接、、．
（1）求的长；
（2）探索：是否存在这样的点，使得平分、平分同时成立?若存在，求出的长；若不存在，说明理由；
（3）如图②，与相交于点，过点作，与相交于点．设、的面积分别为、．若，求的长．
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
旗杆高度
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
14.5
15.0
15.5
学生人数（人）
6
7
12
25
20
13
8
5
4
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．
1. 在，，，这四个数中，最大的数是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据实数大小比较的方法解答即可．
【详解】解：∵负数小于正数，
∴是这四个数中最小的数，
∵，
∴，
∴四个数中最大的数为,
故选．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
2. 太阳的主要成分是氢，氢原子的半径约为．这个数用科学记数法可以表示为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：=．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 下列运算正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法和除法、完全平方公式以及整式乘法分别判断即可选出答案.
【详解】解：A选项：，故不符合题意；
B选项：，故不符合题意；
C选项：，故不符合题意；
D选项：，选项正确，符合题意.
故答案选：D.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法、完全平方公式以及整式乘法的运算法则.熟练掌握各自的法则是解题的关键.
4. 若点、都在反比例函数的图像上，则与的大小关系是（）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大即可判断．
【详解】解：，
∴图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x增大而增大，
点在第二象限，点在第四象限，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据当时，图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
5. 某校开设了“苏扇”、“苏绣”、“剪纸”、“核雕”四个苏州传统工艺社团，并规定每位同学只能参加其中一个社团，参加社团的学生人数情况如图所示，则参加“剪纸”社团的有（）
A. 64人B. 65人C. 66人D. 67人
【答案】C
【解析】
【分析】先用参加“苏扇”的人数除以其人数占比求出总人数，再用总人数乘以参加“剪纸”的人数占比即可得到答案．
【详解】解：人，
∴参加社团的学生人数一共有人，
人，
∴参加“剪纸”社团的有人，
故选C．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，正确读懂统计图是解题的关键．
6. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：设苦果有个，甜果有个，由题意可得，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，正确找到相等关系是解决本题的关键．
7. 小李广花荣是《水浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为．将一枝箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算正方形与圆的面积比即可．
【详解】解：设圆的直径为，则正方形的对角线长为，
∴圆的面积为，正方形的面积为，
∴箭穿过正方形孔的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率．解题的关键在于正确的计算．
8. 如图，在中，，，．将绕点B旋转得，分别取、的中点E、F，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理求出的长，在根据旋转的性质可得，，，利用中位线的性质可求，，在根据三角形的三边关系即可求出结果．
【详解】解：取的中点G，连接、，
∵，，，
，
由旋转的性质可知：，，，
∵点E、F、G分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
，，
当点E、F、G不共线时，
，即，
当点G在线段上时，，
当点F在线段上时，，
综上所述，，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形中线的性质、三角形三边关系及勾股定理，熟练掌握旋转的性质和三角形中线的性质求出、的值是解题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卡相应位置上．
9. 计算：__．
【答案】．
【解析】
【分析】根据积的乘方求解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方，熟悉相关性质是解题的关键．
10. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】把所求式子进行因式分解得到，再把已知条件式整体代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确将所求式子进行因式分解是解题的关键．
11. 已知一组数据3，，4，6，7，它们的平均数是5，则这组数据的方差是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据平均数确定出a后，再根据方差的公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]计算方差．
【详解】解：由平均数的公式得：（3+a+4+6+7）÷5=5，
解得a=5；
∴方差=[（3-5）2+（5-5）2+（4-5）2+（6-5）2+（7-5）2]÷5=2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以所有数据的个数．方差的公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]．
12. 一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为__________cm3.
【答案】800
【解析】
【详解】设长方体底面长宽分别为x、y，高为z，
由题意得：，解得：，
所以长方体的体积为：16×10×5=800.
故答案为800.
点睛：此题考查三元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题目中的数据得出关于长宽高的三元一次方程组，再由结果求得长方体的体积.
13. 根据图中父女两人的微信聊天记录，可知父亲购买无人机的预算为______元．
【答案】2000
【解析】
【分析】设购买无人机的售价为x元，根据父亲的预算等于售价减去400元和父亲的预算等于80元加上售价的八折，列方程求解即可．
【详解】解：设购买无人机的售价为x元，
根据题意，得，
解得，
∴父亲购买无人机的预算为（元）．
答：父亲购买无人机的预算为2000元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系式，列出方程是解题的关键．
14. 如图，在半径为、圆心角为120°的扇形中，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，直线与相交于点，连接，则由、、围成的阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意知，为线段的垂直平分线，如图，连接交于，证明，根据计算求解即可．
【详解】解：由题意知，为线段的垂直平分线，如图，连接交于，
∴，
∴，
由题意知，，
∴，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，扇形的面积等知识．解题的关键在于正确的表示阴影部分的面积．
15. 对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据可知函数（，且）的y随x的增大而增大，再根据函数增减性可知当时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于a的不等式求解即可．
【详解】解：∵
∴函数（，且）的y随x的增大而增大
∴当时，函数的函数值为边界值，
∵边界值小于3
∴，解得：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了阅读理解、一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成为解答本题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点，，且顶点、、都在反比例函数的图像上，则顶点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接，设，则由对称性可知，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，则，再求出点D的坐标为，由点D在反比例函数图象上，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接，
设，则由对称性可知，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴点B平移到点A和点C平移到到点D平移方式相同，
∴点D的坐标为，
又∵点D在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】先分别求出每个不等式得解集，然后根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
19. 先化简，再选择一个合适的的值代入求值．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选取一个合适的值代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，即且，
∴当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，正确化简是解题的关键．
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有一个根是，求的值；
（2）求证：无论取什么值，该方程总有两个实数根．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接把代入到原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：由题意得，，
∴无论取什么值，该方程总有两个实数根．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
21. 如图，某停车场剩下四个车位，小明观察小汽车的停车情况．
（1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是______；
（2）若有两辆小汽车停车，求这两辆车停在不相邻车位的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可
（2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有四个车位，每个车位被选择的概率相同，
∴有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设这四个车位分别用A、B、C、D表示，列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中两辆车停在不相邻车位的结果数有6种，
∴两辆车停在不相邻车位的概率为．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
22. 某产品每件成本是10元，试销阶段每件产品的售价（元）与日销售量（件）之间的关系如下：
已知日销售量是售价的一次函数．
（1）求与的函数表达式；
（2）当销售价为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当销售价为元时，每日的销售利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设每日的销售利润为W，根据利润（售价成本价）数量，列出W关于x的关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设与的函数表达式为，
由题意得，，
∴，
∴与的函数表达式为；
【小问2详解】
解：设每日的销售利润为W，
由题意得，
，
∵，
∴当时，W最大，最大为，
∴当销售价为元时，每日的销售利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系是解题的关键．
23. 如图，折叠矩形纸片，使点、分别落在上的点、处，折痕分别为、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由矩形和折叠的性质可得，，，，，则，，进而结论得证；
（2）在中，由勾股定理得，，由折叠的性质可得，，，则，设，则，在中，由勾股定理得，即，求的值，进而可得的值，在中，由勾股定理得求的值，然后计算平行四边形的周长即可．
【小问1详解】
证明：由矩形和折叠的性质可得，，，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：在中，由勾股定理得，，
由折叠的性质可得，，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴平行四边形的周长为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24. 国旗是国家的象征与标志．为了解学校旗杆的高度，某校九年级部分同学进行了以下探索．
活动一：目测估计
先由100位同学分别目测旗杆的高度，并将数据整理如下：
（1）目测旗杆高度的平均数是，众数是______，中位数是______；
（2）根据以上信息，请你估计旗杆的高度，并说明理由．
（3）活动二：测量计算随后，几名同学成立了学习小组，并利用卷尺和测角仪测量旗杆的高度．如图，他们在水平地面上架设了测角仪，先在点处测得旗杆顶部的仰角，然后沿旗杆方向前进到达点处，又测得旗杆顶部的仰角，已知测角仪的高度为，求旗杆的高度．
（参考数据：，，）
【答案】（1）13.0，13.25
（2），理由见解析
（3）旗杆的高度为
【解析】
【分析】（1）根据中位数与众数的定义进行求解即可；
（2）利用中位数进行决策；
（3）由题意知，，，，则，，根据，即，求的值，根据计算求解即可．
【小问1详解】
解：由图表可知，众数为，
中位数为第50和51个数据的平均数，第50和第51个数据分别为，，
∴中位数为，
故答案为：13.0，13.25；
【小问2详解】
解：估计旗杆高度为，理由如下：
当一组数据中个别数据变动较大，可用中位数描述其集中趋势．
【小问3详解】
解：由题意知，，，，
∴，，
∵，即，
解得，
∵，
∴旗杆的高度为．
【点睛】本题考查了中位数和众数，解直角三角形的应用．解题的关键在于对知识的熟掌握与灵活运用．
25. 如图，点在的边上，与相切于点，与相交于点，经过上的点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径长；
（3）在（2）的条件下，延长交于点，连接，求的值．
【答案】（1）见解析（2）3
（3）
【解析】
【分析】（1）如图：连接交于，先说明；再根据平行线的性质可得，进而得到，再根据等量代换可得即可证明结论；
（2）先根据题意可得、，设的半径为，，则；再根据勾股定理列方程组求解即可；
（3）如图：设交于，连接，过M作，由勾股定理可得，进而得到；再证明，根据相似三角形的性质结合已知条件可得，进而得到；由等腰三角形的性质可得，然后再根据圆周角定理、切线的性质以及等量代换可得，最后根据正切的定义即可解答．
【小问1详解】
解：如图：连接交于，
∵点在的边上，即是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是垂直平分线，，
∴，
∴，
∵与相切于点
∴
∴
∴是的切线．
【小问2详解】
解：∵，，
∴,
设的半径为，，则
∵
∴,即，解得：
∴的半径长为3．
【小问3详解】
解：如图：设交于，连接，过M作
∵
∴
∴
∵,
∴
∴
∴，即，解得：,
∴
∵
∴
∵是的直径
∴，即
∵
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
26. 如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．
（1）求点、、的坐标（用数字或含的式子表示）；
（2）当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标；
（3）当取（2）中值时，若，请直接写出点的坐标．
【答案】（1），，
（2），
（3）点坐标为或
【解析】
【分析】（1）将，，分别代入，计算求解即可；
（2）如图1，连接，由题意知，，则，可知当三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，由的最小值等于，可得，计算的值，然后得出的点坐标，待定系数法求直线的解析式，根据是直线与直线的交点，计算求解即可；
（3）由（2）知，则，，抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为直线与轴的交点，如图2，连接，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，即与重合，求此时的点坐标；过三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为，则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标．
【小问1详解】
解：当时，，
当时，，整理得，即，
解得，，
∴，，，
【小问2详解】
解：如图1，连接，
由题意知，，
∴，
∴当三点共线时，值最小，
在中，由勾股定理得，
∵的最小值等于，
∴，
解得，
∴，，
∴抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，；
【小问3详解】
解：∵，
∴，，抛物线的对称轴为直线，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
记为直线与轴的交点，如图2，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与重合，即；
过三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，
由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为，则，
∵，即，
解得，
∵，即，
解得，，
∴，
综上，点坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数与线段、角度综合，二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
27. 如图①，在四边形中，，，，，．点在上，连接、、．
（1）求的长；
（2）探索：是否存在这样的点，使得平分、平分同时成立?若存在，求出的长；若不存在，说明理由；
（3）如图②，与相交于点，过点作，与相交于点．设、的面积分别为、．若，求的长．
【答案】（1）4（2）不存在，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）如图1，过作于，则四边形是矩形，可得，在中，由勾股定理得求的值，进而可得的值；
（2）如图2，过作交于，交于，则，，，，令平分，可证，在中，，由勾股定理得，则，进而可证，设，则，，证明，则，即，求得，则，证明，则，即，可得，则，若平分，则，即，判断，与矛盾，进而可得结论；
（3）令中边上的高为，中边上的高为，证明，设，则，，，表示，，根据，解，求得满足要求的，则，如图3，过作交于，证明，则，即，解得，，证明，则，即，求出的值，进而可得的值，然后根据计算求解即可．
【小问1详解】
解：如图1，过作于，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴长为4；
【小问2详解】
解：不存在，理由如下：
如图2，过作交于，交于，
∴，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
若平分，则，即，
∵，与矛盾，
∴不存在这样的点，使得平分、平分同时成立；
【小问3详解】
解：令中边上的高为，中边上的高为，
∵，
∴，，
∴，设，则，
∴，，
∴，，
∵，即，整理得，则，
解得，（舍去），
∴，
如图3，过作交于，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线，等角对等边，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
旗杆高度
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
14.5
15.0
15.5
学生人数（人）
6
7
12
25
20
13
8
5
4