中考数学复习指导：分式方程增根与无解辨析试题

这是一份中考数学复习指导：分式方程增根与无解辨析试题，共3页。试卷主要包含了 ②等内容，欢迎下载使用。
分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，它包含两种情形：(1)原方程化去分母后的整式方程无解；(2)原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却是原方程的增根．
例1 解方程：
①
解 方程两边都乘以(x＋2)（x－2），得
2（x＋2）－4x＝3（x－2）． ②
解这个方程，得x＝2．
经检验：当x＝2时，原方程无意义，所以x＝2是原方程的增根．所以原方程无解．
说明 显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠－2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根，本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解，
例2 解方程．
解 去分母后，化为
x－1＝3－x＋2（2＋x），
因为此方程无解，所以原分式方程无解．
说明 此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．
例3 若方程＝无解，则m＝_______．
解 原方程可化为．
方程两边都乘以x－2，得x－3＝－m，
解这个方程，得x＝3－m．
因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根，即x＝2．
所以2＝3－m，解得m＝1，
故当m＝1时，原方程无解．
说明 因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．
例4 当a为何值时，关于x的方程①会产生增根？
解 方程两边都乘以（x＋2）（x－2），得2(x＋2)＋ax＝3（x－2），
整理得(a－1)x＝－10． ②
若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．
把x＝2或－2代入方程②中，解得a＝－4或6．
说明 做此类题时，首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．
若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：
当a为何值时，关于x的方程①无解？
此时还要考虑转化后的整式方程(a－1)x＝－10本身无解的情况，解法如下：
解 仿前，得（a－1）x＝－10． ②
若原方程无解，则有两种情形：
(1)当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解．
(2)如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．
综上所述，a＝1或a＝－4或a＝6时，原分式方程无解．
弄清分式方程的增根与无解的区别和联系，能帮助我们提高解分式方程的正确性，对判断方程解的情况有一定的指导意义．