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中考数学复习指导：构造二次函数巧解题
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这是一份中考数学复习指导：构造二次函数巧解题，共5页。试卷主要包含了x2＝1的两个根，可知x1等内容，欢迎下载使用。
例1 若x1，x2（x1 (A)x1 (B)x1 (C)x1 (D))a解析 易知抛物线y＝（x－a）（x－b）开口向上，
且a，b（a 例2设一元二次方程（x－1）（x－2）＝m(m>0)的两实根分别为α、β，则α、β满足( )
(A)1 (B)1 (C)a<1<β<2
(D)a<1且β>2
解析 与上例类似，易知抛物线y＝(x
－1)（x－2）开口向上，与横轴分别交于点(1，
0)和点(2，0)；又由方程（x－1）（x－2）＝m(m>0)的两实根分别为α、β，可知α、β分别是抛物线与直线y＝m(m>0)的两个交点的横坐标，由于α、β大小未定，参照图2(1)，则有α<1且β>2，参照图2(2)，则有β<1且α>2．故D是正确的．
例3 若关于x的一元二次方程ax2＋2x－5＝0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是( )
(A)a<3 (B)a>3
(C)a<－3 (D)a>－3
解析 当x＝0时，函数y＝ax2＋2x－5＝－5；当x＝1时，函数y＝a＋2－5＝a－3．又关于x的一元二次方程ax2＋2x－5＝0的两根中，有且仅有一根在0和1之间(不含0和1)，所以当x＝1时，所对应的点必在x轴的上方，则y＝a－3 >0，即a>3．故选B．
例4 下列命题：①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac<0；②若b＝2a＋3c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；③若b2－4ac>0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的交点的个数是2或3；④若b>a＋c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的是( )
(A)②④ (B)①③
(C)②③ (D)③④
解析 式子a＋b＋c可以看作函数y＝ax2＋bx＋c当x＝1时所对应的y值，由a＋b＋c＝0，可知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴至少交于一点(1，0)，则b2－4ac≥0，故①错误；
由b＝2a＋3c，可求得b2－4a，c＝4(a＋c)2＋5c2 >0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，故②正确；
∵ b2－4ac>0，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个不同的交点，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的公共点的个数是3（此时，抛物线不过原点）或2（此时，抛物线过原点），故③正确；
式子a－b＋c可以看作函数y＝ax2＋bx＋c当x＝－1时所对应的y值．由b>a＋c．可得a－b＋c<0，则当x＝－1时，y<0．此时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴可能没有交点，也可能有—个或两个交点，是不确定的，即b2－4ac可能是小于0、等于0或大于0，故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0可能没有实数根，也可能有两个相等或不相等的实数根，④是错误的．故选C．
例5现定义某种运算ab＝a(a>b)，若（x＋2）x2＝x＋2，那么x的取值范围是( )
(A)－12或x<－1
(C)x>2(D)x<－1
解析 由题意，应有x＋2>x2，即x2－x－2<0．设y＝x2－x－2，由于抛物线开口向上，并且与x轴交点是（－1，0），(2，0)，结合图象可知，当－1 例6 一元二次方程x2＋（a2－1）x＋(a－2）＝0的一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是______．
解析 显然抛物线y＝x2＋(a2－1)x＋（a－2）开口向上，又方程x2＋（a2－1）x＋(a－2)＝0的一个根比1大，另一个根比1小，则应有x＝1时，y＝a2＋a－2<0．
而关于a的抛物线y＝a2＋a－2也是开口向上，且与横轴分别交于点（－2，0）、(1，0)，结合图象可知：y＝a2＋a－2 <0的解集为－2 故实数a的取值范围是：－2 点评 函数思想是基本的数学思想，方程（组）、不等式（组）问题可以在函数的观点下统一起来，应用函数的思想解题，是将静止的问题放到一个动态过程中去考察，将局部的问题置于全局上去解决．
例7 若m，n均为正整数，关于x的方程4x2－2mx＋n＝0的两个实数根都大于1，且都小于2，试求m，n的值，
解析 ∵关于x的方程4x2－2mx＋n＝0有两个实数根，
∴△A＝(2m)2－16n>0，
∴m2>4n．
又抛物线y＝4x2－2mx＋n开口向上，且关于x的方程4x2－2mx＋n＝0的两个实数根都大于1，且小于2，则必有x＝1时，y＝4－2m＋n>0，且x＝2时，y＝16－4m＋n>0．
设方程4x2－2mx＋n＝0两根为x1，x2，由根与系数的关系，可知
x1＋x2＝，x1x2＝．
∵x1，x2都大于1，且小于2，
∴2<<4，1<<4，
∴4 结合m，n均为正整数，可分为以下三种情形讨论：
(1)当m＝5时，由m2> 4n，得n＝5或6，但均不满足4－2m＋n>0，m≠5；
(2)当m＝6时，
由m2>4n，，得n＝5，6，7，8．
∵n＝8时，不满足4－2m＋n>0，16－4m＋n>0．
∴ n＝5，6，7；
(3)当m＝7，由m2－4n>0，得
n＝5，6，7，8，9，10，11，12．
∵n＝10，11，12时，不满足4－2m＋n>0，16－4m＋n>0，
∴n＝5，6，7，8，9．
综上，m、n的值共有以下几组：
m＝6，n＝5；m＝6，n＝6；
m＝6，n＝7；m＝7，n＝5；
m＝7，n＝6；m＝7，n＝7；
m＝7，n＝8；m＝7，n＝9．
例8 设A.B.c为实数，且满足a－b＋c <0，a＋b＋c >0，则下述结论中正确的是( )
(A)b2> 4ac
(B)b2≤4ac，且a≠0
(C)b2>4ac，且a>0
(D)b2>4ac，且a<0
解析 当a＝0时，可推知b≠0，则b2>4ac：
当a≠0时，由a－b＋c <0，a＋b＋c>0，可知，对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，
当x＝－1时，y<0，
当x＝1时，y>0，
则抛物线y＝ax2＋bx＋c必与与x轴有两个交点，即b2-4ac>0．但并不能因此确定抛物线的开口方向，故a可能大于0，也可能小于0．
故选A．
点评 例7综合性强，难度较大，函数思想在解题过程中发挥了重要作用；例8则更加彰显了观察、联想、构造的作用，
在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式，并充分用函数的性质，是应用函数思想的关键，从以上八例可见，方程问题、不等式问题和某些代数问题，是可以转化为与之相关的函数问题的．
例1 若x1，x2（x1
且a，b（a
(A)1
(D)a<1且β>2
解析 与上例类似，易知抛物线y＝(x
－1)（x－2）开口向上，与横轴分别交于点(1，
0)和点(2，0)；又由方程（x－1）（x－2）＝m(m>0)的两实根分别为α、β，可知α、β分别是抛物线与直线y＝m(m>0)的两个交点的横坐标，由于α、β大小未定，参照图2(1)，则有α<1且β>2，参照图2(2)，则有β<1且α>2．故D是正确的．
例3 若关于x的一元二次方程ax2＋2x－5＝0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是( )
(A)a<3 (B)a>3
(C)a<－3 (D)a>－3
解析 当x＝0时，函数y＝ax2＋2x－5＝－5；当x＝1时，函数y＝a＋2－5＝a－3．又关于x的一元二次方程ax2＋2x－5＝0的两根中，有且仅有一根在0和1之间(不含0和1)，所以当x＝1时，所对应的点必在x轴的上方，则y＝a－3 >0，即a>3．故选B．
例4 下列命题：①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac<0；②若b＝2a＋3c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；③若b2－4ac>0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的交点的个数是2或3；④若b>a＋c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的是( )
(A)②④ (B)①③
(C)②③ (D)③④
解析 式子a＋b＋c可以看作函数y＝ax2＋bx＋c当x＝1时所对应的y值，由a＋b＋c＝0，可知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴至少交于一点(1，0)，则b2－4ac≥0，故①错误；
由b＝2a＋3c，可求得b2－4a，c＝4(a＋c)2＋5c2 >0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，故②正确；
∵ b2－4ac>0，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个不同的交点，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的公共点的个数是3（此时，抛物线不过原点）或2（此时，抛物线过原点），故③正确；
式子a－b＋c可以看作函数y＝ax2＋bx＋c当x＝－1时所对应的y值．由b>a＋c．可得a－b＋c<0，则当x＝－1时，y<0．此时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴可能没有交点，也可能有—个或两个交点，是不确定的，即b2－4ac可能是小于0、等于0或大于0，故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0可能没有实数根，也可能有两个相等或不相等的实数根，④是错误的．故选C．
例5现定义某种运算ab＝a(a>b)，若（x＋2）x2＝x＋2，那么x的取值范围是( )
(A)－1
(C)x>2(D)x<－1
解析 由题意，应有x＋2>x2，即x2－x－2<0．设y＝x2－x－2，由于抛物线开口向上，并且与x轴交点是（－1，0），(2，0)，结合图象可知，当－1
解析 显然抛物线y＝x2＋(a2－1)x＋（a－2）开口向上，又方程x2＋（a2－1）x＋(a－2)＝0的一个根比1大，另一个根比1小，则应有x＝1时，y＝a2＋a－2<0．
而关于a的抛物线y＝a2＋a－2也是开口向上，且与横轴分别交于点（－2，0）、(1，0)，结合图象可知：y＝a2＋a－2 <0的解集为－2
例7 若m，n均为正整数，关于x的方程4x2－2mx＋n＝0的两个实数根都大于1，且都小于2，试求m，n的值，
解析 ∵关于x的方程4x2－2mx＋n＝0有两个实数根，
∴△A＝(2m)2－16n>0，
∴m2>4n．
又抛物线y＝4x2－2mx＋n开口向上，且关于x的方程4x2－2mx＋n＝0的两个实数根都大于1，且小于2，则必有x＝1时，y＝4－2m＋n>0，且x＝2时，y＝16－4m＋n>0．
设方程4x2－2mx＋n＝0两根为x1，x2，由根与系数的关系，可知
x1＋x2＝，x1x2＝．
∵x1，x2都大于1，且小于2，
∴2<<4，1<<4，
∴4
(1)当m＝5时，由m2> 4n，得n＝5或6，但均不满足4－2m＋n>0，m≠5；
(2)当m＝6时，
由m2>4n，，得n＝5，6，7，8．
∵n＝8时，不满足4－2m＋n>0，16－4m＋n>0．
∴ n＝5，6，7；
(3)当m＝7，由m2－4n>0，得
n＝5，6，7，8，9，10，11，12．
∵n＝10，11，12时，不满足4－2m＋n>0，16－4m＋n>0，
∴n＝5，6，7，8，9．
综上，m、n的值共有以下几组：
m＝6，n＝5；m＝6，n＝6；
m＝6，n＝7；m＝7，n＝5；
m＝7，n＝6；m＝7，n＝7；
m＝7，n＝8；m＝7，n＝9．
例8 设A.B.c为实数，且满足a－b＋c <0，a＋b＋c >0，则下述结论中正确的是( )
(A)b2> 4ac
(B)b2≤4ac，且a≠0
(C)b2>4ac，且a>0
(D)b2>4ac，且a<0
解析 当a＝0时，可推知b≠0，则b2>4ac：
当a≠0时，由a－b＋c <0，a＋b＋c>0，可知，对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，
当x＝－1时，y<0，
当x＝1时，y>0，
则抛物线y＝ax2＋bx＋c必与与x轴有两个交点，即b2-4ac>0．但并不能因此确定抛物线的开口方向，故a可能大于0，也可能小于0．
故选A．
点评 例7综合性强，难度较大，函数思想在解题过程中发挥了重要作用；例8则更加彰显了观察、联想、构造的作用，
在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式，并充分用函数的性质，是应用函数思想的关键，从以上八例可见，方程问题、不等式问题和某些代数问题，是可以转化为与之相关的函数问题的．
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