中考数学复习指导：勾股定理中“赵爽弦图”考题聚焦

这是一份中考数学复习指导：勾股定理中“赵爽弦图”考题聚焦，共4页。试卷主要包含了DE＝5，若这四个全等的直角三角形有等内容，欢迎下载使用。

我国古代数学家赵爽利用弦图（图1），巧妙地证明了勾股定理．
第24届国际数学家大会为了纪念他，特意将弦图作为会标，现举
例介绍以弦图为背景的试题，供参考．
例1 图2是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由
四个全等的直角三角形围成的，在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，
BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图3中的实线）是_______．
解析 如图3，标注出点D,E,F,G．
∵AC＝6，BC＝5．
∴GD＝6．DE＝5．
∵FG＝DC，
∴FD＝2DG＝12．
在Rt△DEF中，由勾股定理，得
EF＝＝13．
∴这个风车的外围周长为4(EF＋FG)＝4×(13＋6)＝76．
例2 如图4，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9，其中说法正确的是( )
(A)①② (B)①②③
(C)①②④ (D)①②③④
解析 大正方形边长就是直角三角形斜边长，所以大正方形
的面积等于直角三角形斜边长的平方．由勾股定理知直角三角形
斜边长的平方为x2＋y2，所以x2＋y2＝49，①正确．
由小正方形面积为4知它的边长为2，而小正方形边长等于较长直角边与较短直角边的差，所以x－y＝2，②正确．
大正方形面积等于4个直角三角形面积与小正方形面积的和，所以4×xy＋4＝49，即2xy＋4＝49，③正确．
由①、③，得x2＋y2＋2xy＋4＝49 ×2，即（x＋y）2＝94，所以x＋y＝，④不正确．
综合知，选B．

例3 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图5）．图6由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD.正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为，若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是___________．
例4 如图7，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边
延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D．边长接原
法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图8）；以此下去……正方
形AnBnCnDn的面积为______．
解析 由小正方形ABCD的面积为1，知
它的边长为1，则DD1＝1，DA1＝2．
如图7，在Rt△D1DA1中，由勾股定理，得
D1A2＝D1D2＋DA2＝12＋22＝5，
所以正方形A1B1C1D1的面积为5．
如图8，D1D2＝D1C1＝D1A1＝，D1A2
＝2D1A1＝2．
在Rt△D1D2A2中，由勾股定理，得
所以正方形A2B2C2D2的面积为25＝52．
同理，正方形A3B3C3D3的面积为125＝53；正方形A4B4C4D4的面积为625＝54；……
于是，可猜想正方形AnBnCnDn的面积为5n．
例5 2002年在北京召开的世界数学大会会
标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大
正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵
爽弦图”，如图9．若这四个全等的直角三角形有
一个角为30°，顶点…、Bn和C1.
C2.C3.…、Cn分别在直线y＝－x＋＋1
和x轴上，则第n个阴影正方形的面积为______．