中考数学复习指导：例说一元二次方程的判别式在中考数学中的应用试题

这是一份中考数学复习指导：例说一元二次方程的判别式在中考数学中的应用试题，共6页。试卷主要包含了判定两图象交点的个数，求方程中的参数值，求完全平方数，求方程的整数根，证明代数不等式，证明几何不等式，求代数式的最值，求几何最值等内容，欢迎下载使用。

一、判定两图象交点的个数
例1 已知函数y＝和y＝kx＋1(k≠0)，当k取何值时，这两个函数图象总有：
(1)两个公共点？
(2)一个公共点？
(3)没有公共点？
解 联立
消去y，整理得kx2＋x－2＝0，
考虑△＝1＋8k.
(1)当k>－且k≠0时，两函数图象有两个公共点；
(2)当k＝－时，两函数图象有一个公共点；
(3)当k<－时，两函数图象没有公共点．
二、求方程中的参数值
例2 设方程＝4只有3个不相等的实数根，求a的值．
解 方程等价于两个方程：
x2＋ax－4＝0， ①
x2＋ax＋4＝0． ②
因为两方程无相同的根，但原方程只有3个不相等的实数根，故必有且只有方程①或②有重根．
∵△1＝a2＋16≥0，
△2＝a2－16≥0．
由于△1>△2，故只可能是△2＝0，
即a＝±4．
三、求完全平方数
例3 求自然数n，使4n2＋5n为完全平方数
解 设4n2＋5n＝k2（k≥0且为正整数）．
∵方程的解为正整数，
∴方程4n2＋5n－k2＝0的判别式△＝25＋16k2应为完全平方数．
又设25 ＋16k2＝m2（m为非负整数），
∴（m＋4k）（m－4k)＝25.
∴
解得k＝3，从而n＝1．
四、求方程的整数根
例4 设m为整数，且关于x的方程mx2＋2（m－5）x＋m－4＝0有整数根，求m的值．
解 显然m≠0，原方程是关于x的一元二次方程，且
△＝[2(m－5)]2－4m（m－4)
＝4(25－6m)．
设25－6m＝k2（k为自然数），

∴k可能的取值有1，2，3，4，6，7，8，11．
分别代入m＝知，只有当k的值为1，7，11时，m为整数，此时m的值为4，－4，－16．
五、证明代数不等式
例5 已知A，B，C，x，y，z均为非零实数，且满足条件a＋x＝b＋y＝c＋z＝k．
求证：ax＋by＋cx 证明 由a＋x＝k，得a－k＋x＝0．
显然a·12－k．1＋x＝0，则1是关于t的一元二次方程at2－kt＋x ＝0的一个根，
∴△＝(－k)2－4ax≥0，
即ax≤．
同理by≤，cz≤．
∴ax＋by＋cz≤ 六、证明几何不等式
例6 如图1，过正方形ABCD的顶点C任作一条直线，与AB，AD的延长线分别交于E，F．求证：AE＋AF≥4AB.
证明 设AB＝a，AE＝x，AF＝y．
七、求代数式的最值
例7 若abc＝2，a＋b＋c ＝0，试求的最小值．
解 易知a，b，c中必有两个负数，不妨设b为正数，
∵a＋b＋c＝0．
∴a·12＋b·1＋c＝0．
即1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，
∴b2－4ac≥0．
即b2≥4ac，b3≥4abc.
又∵abc＝2，b3≥8，
∴b≥2，bmin＝2．
当b＝2时，ac＝1，a＋c＝－2，
此时a＝－1，c＝－1．
∴的最小值为4．
八、求几何最值
例8 如图2，平行四边形PQRS的一边SR在△ABC的边BC上，另两个顶点P，Q分别在AB，AC上．探究平行四边形PQRS面积的最大值．
解 如图2，过点4作AD⊥BC，垂足为D，交PQ于点E．
根据根与系数的关系，可把，看成关于x的一元二次方程x2－x＋＝0的两个根，则有判别式△≥0，得S2≤，即平行四边形的面积不大于原三角形面积的一半，也就是内接平行四边形的最大面积等于原三角形面积的一半．
九、探究几何存在性问题
例9 如图3，在正方形ABCD中，∠FAE＝45°，两边与BC，CD分别交于点E，F，连接EF.
设EF＝b，AB＝a，探究Rt△ECF存在的条件．
解 如图3，设BE＝x，由旋转构造全等三角形可知：
DF＝b－x．
于是CF＝a－b＋x，CE＝a－x，
在Rt△ECF中，由勾股定理可得b2＝(a－x)2＋（a－b＋x）2．
整理得到关于x的一元二次方程x2－bx＋a2－ab＝0．
若BE存在，则该方程必有实数解，于是△≥0，解得≥2－2；
同时，该方程的两个根满足x1＋x2＝b>0，
且x1.x2＝a2－ab>0，
于是<1．
综上所述，Rt△ECF存在的条件是：2－2≤<1．
特别地，当＝2－2时，Rt△ECF是等腰三角形．
十、求分式有理函数值的范围
例10 求函数y＝的值的范围．
解 原函数式变为(y－2)x2－(y－2)x＋y－3＝0.
(1)当y＝2时，则0·x2＋0·x＋2－3＝0，矛盾，不成立；
(2)当y≠2时，因为x为实数，
∴△＝(y－2)2－4(y－2)(y－3)≥0，
即－（3y－10）（y－2）≥0，
解得2≤y≤．
综合(1)(2)，所求函数的值的范围是：2