中考数学复习指导：例谈动点型问题中相似三角形的运用

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例1 已知直线y＝kx＋3（k<0）分别交x轴、y轴于A.B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．
(1)当k＝－1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
①直接写出t＝1秒时C,Q两点的坐标；
②若以Q,C,A为顶点的三角形与AOB相似，求t的值．
(2)当k＝－时，设以C为顶点的抛物线y＝(x＋m)2＋n与直线AB的另一交点为D（如图2）．
①求CD的长；
②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

分析 (1)①由题意易得，②由题意可得到P,C,Q三点用含字母t表示的坐标．按照两种情形解答．(2)①先求出以点C为顶点的抛物线，解得关于t的根；又由过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC＝∠AOB＝90°；再利用△DEC∽△AOB，从而解得．②先求得△COD的面积为定值，最后再由Rt△PCO∽Rt△OAB，运用相似三角形的性质，从线段比例中求出OP的值，即t为时，h最大．
解 (1)①C(1，2)，Q(2，0)；
②由题意，得
P(t，0)，C(t，－t＋3)，Q(3－t，0)．
分两种情况讨论：
情形一 当△AQC∽△AOB时，
∠AQC＝∠AOB＝900，∴CQ⊥OA．
∵CP⊥OA．
∴点P与点Q重合，OQ＝OP，
即3－t＝t，∴t＝1.5；
情形二 当△AQC~△AOB时，
∠ACQ＝∠AOB＝90°．
∵OA＝OB＝3．
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACQ也是等腰直角三角形，
∵CP⊥OA，∴AQ＝2CP，
即t＝2(－t＋3)，∴t＝2．
∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．
(2)①由题意，得C(t，－t＋3)，
∴以C为顶点的抛物线解析式是
y＝．
由，
解得x1＝t，x2＝t－．
如图3，过点D作DE⊥CP于点E，
则∠DEC＝∠AOB＝90°．
∵DE∥OA，∴∠EDC＝∠OAB，

如图4，要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为，∠BCO＝90°．
又∠AOB＝90°，
∴∠COP＝90°－∠BOC＝∠OBA．
∵CP⊥OA．
∴Rt△PCO∽Rt△OAB．
∴，
∴，
即t＝．
∴当t为秒时，h的值最大．
例2如图5，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝3，AB＝5．点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止，设点P、Q运动的时间是t秒(t>0)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)在点P从O向A运动的过程中，求
APQ的面积S与t之间的函数关系式（不必写
出t的取值范围）；
(3)在点E从B向D运动的过程中，完成下面问题：
①四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出t的值；
若不能，请说明理由．
②当DE经过点O时，请你直接写出t的值．
解 (1)在Rt△AOB中，
OA＝3，AB＝5．
由勾股定理，得

(3)四边形QBED能成为直角梯形，
①如图7，当DE∥QB时，∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，此时∠AQP＝90°．
由△APQ～△ABO，
得．
∴，
解得t＝．
②如图8，当PQ∥BO时，∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形，此时∠APQ＝90°，
由△AQP～△ABO，
得，即
解得t＝．
(4)t＝或t＝．
评析 以上两道题都是以平面直角坐标系为平台，以直线、抛物线为主线，以双动点运动为探究点而构成的代数、几何综合题．突出考查了学生的函数思想、方程思想、数形结合思想和分类讨论思想等基本数学思想方法．它不是直接考查学生对相似三角形相关知识的运用，而是要求考生动静结合、动中求静，观察图形变化规律，从中找到与相似三角
形的结合点，运用相似三角形的判定与性质打开解题决口，使问题得以解决．