中考数学复习指导：例析涉及抛物线中一类隐含角的问题

这是一份中考数学复习指导：例析涉及抛物线中一类隐含角的问题，共4页。试卷主要包含了隐含30°角，隐含45°角，隐含60°角，隐含的90°角等内容，欢迎下载使用。

一、隐含30°角
例1 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，若为轴上的一个动点，连结，则的最小值为 .
解题思路 如图1，连结，过点作，垂足为，求最小值首先要考虑如何处理,一般而言，容易让人联想到“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”.如何寻找30°角并将放置其中，成为解题的关键.考虑到二次函数解析式为，，可以求出点的坐标分另。为，所以，进而发现.于是就转化为，求的最小值即求的最小值，也就是求点到的距离.求的长方法有三:①运用锐角三角函数在含60°角的中求解;②运用相似()求解;③利用的面积等于，也等于，列方程求解(等积法).
注 本题以二次函数为背景，在抛物线与轴、轴交点坐标的“掩护”下，隐藏了30°角，重点考查了“点到直线的距离最短”问题，渗透了转化的思想和化曲为直的方法.所以，解题的关键在于对的处理，处理的关键又在于能否发现30°角.命题者有意将“30°角”通过抛物线与坐标系的交点进行了伪装，考验考生的观察能力与思维方式.
二、隐含45°角
例2 如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线,若点为直线上的一个动点，是否存在某一位置使，若存在，请求出点坐标;若不存在，请说明理由.
解题思路 第一步，找点，如图2，连结.由已知条件，可求得，进一步发现是等腰直角三角形，所以，容易让人联想到圆周角定理.设的外接圆为⊙，由直线垂直平分可知:圆心在l上，且⊙交l于点，据圆周角定理得，此时.第二步，求点的坐标，在等腰直角三角形中，结合求得⊙半径.在中求出，即可求出点和的坐标.
注 本题以二次函数图象为载体，将45°隐藏在坐标系中，答题者若不注意这个45°角，几乎无从下手.重点考查了学生能否通过45°相等联想到三角形的外接圆，在增添辅助圆并确定圆心的基础上通过构造等腰直角三角形解决问题，所以解题的思路是在发现45°角后打开的.
三、隐含60°角
例3 如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，连结，在内取一点，以为边在它的右侧作等边，连结，求证: .
解题思路 证明，通常的思路是证三角形全等，所以找准两个三角形是关键.由等边可得，在求得三点的坐标后，即可发现 (连结)，从而发现隐含在图中的 (也可在中通过与的数量关系发现)，所以.同时减去公共角后得到，最终运用“边角边”的判定方法得到，从而证得.
注 本题通过二次函数解析式求得三点的坐标，在连结的基础上，可得到为等边三角形.但命题者有意以抛物线为掩护，将这一重要的条件隐藏题中，尤其是在证明全等时需要的条件:“60°角”成为不少考生的解题障碍.如果不求出抛物线与坐标轴的三个交点坐标，就很难发现等边 (或者不会发现)，也就不会有60°角的出现，没有60°角也就证不到全等.如果出现等边三角形，问题即回到大家熟悉的问题.
四、隐含的90°角
例4 如图4，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线过两点，与轴的另一交点为.
(1)求抛物线解析式及点坐标;
(2)向右平移抛物线，使平移后的抛物线恰好经过的外心，抛物线相交于点，求四边形的面积.
解题思路 第一步，如图4，由直线得出点坐标为(0,4) , 点坐标为
(-2,0).将两点坐标代入抛物线求出其解析式为
.
在求得点坐标(8,0)的基础上发现(或)，进而得到为直角三角形，所以其外心坐标为.第二步，由抛物线与轴交点到平移后的抛物线与轴交点，可知，抛物线向右平移了5个单位，所以抛物线的解析式为.将两抛物线的解析式组成方程组，求出它们的交点坐标为,连结,过点作轴，交与点(点的横坐标与点的横坐标相同)，将四边形视为之和进行求解.
注 如何确定的外心，成为解决本题的关键.命题者将为直角三角形这一重要条件以直线和抛物线进行掩盖，进而隐藏了直角三角形的外心即为其斜边的中点.所以答题者必须先找出，在确定好的外心的基础上求出抛物线的解析式，然后求出抛物线的交点的坐标，最后求四边形AOCD的面积.可见，找出隐藏在题中的90°角()是解决本题的基础.
事实上，无论命题者将“角”隐藏得有多深，只要将抛物线与坐标轴的交点坐标求出来，然后转化为线段的长，并注意观察同一三角形的三条边长是否存在“,”的“直角三角板”关系，或者三条边的平方是否存在勾股定理的逆定理关系，即可将“数”的问题向“形”的方向转化，利用特殊角去思考，问题就会迎刃而解.因此，我们要重视抛物线与坐标轴交点透露出的解题信息，有意识地加强对题目中的隐性条件的搜索与运用.