新高考数学二轮复习创新题型专题04 三角函数（新定义）（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角 SKIPIF 1 < 0 的面度数为 SKIPIF 1 < 0 ，则角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）定义:正割 SKIPIF 1 < 0 ，余割 SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 为正实数，且 SKIPIF 1 < 0 对任意的实数 SKIPIF 1 < 0 均成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．1B．4C．8D．9
3．（2022·全国·高一专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若 SKIPIF 1 < 0 ，则角 SKIPIF 1 < 0 可取的值用密位制表示错误的是（ ）
A．12-50B．2-50C．13-50D．32-50
4．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）计算器是如何计算 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值也就越精确.运用上述思想，可得到 SKIPIF 1 < 0 的近似值为（ ）
A．0.50B．0.52C．0.54D．0.56
5．（2022春·广东中山·高二统考期末）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的 SKIPIF 1 < 0 称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角＝30—00，1个周角＝60—00，已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 取到最大值时对应的x用密位制表示为（ ）
A．15—00B．35—00C．40—00D．45—00
6．（2022春·云南昆明·高二校考期末）在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值 SKIPIF 1 < 0 叫做角α的正割，记作secα；比值 SKIPIF 1 < 0 叫做角α的余割，记作cscα；比值 SKIPIF 1 < 0 叫做角α的余切，记作ctα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲： SKIPIF 1 < 0 ；乙： SKIPIF 1 < 0 ；丙： SKIPIF 1 < 0 ；丁： SKIPIF 1 < 0 ．
如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）设 SKIPIF 1 < 0 ，定义运算 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）正割 SKIPIF 1 < 0 及余割 SKIPIF 1 < 0 这两个概念是由伊朗数学家阿布尔 SKIPIF 1 < 0 威发首先引入的．定义正割 SKIPIF 1 < 0 ，余割 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 为正实数，且 SKIPIF 1 < 0 对任意的实数 SKIPIF 1 < 0 均成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．（2022春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）对集合 SKIPIF 1 < 0 和常数 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 定义为集合 SKIPIF 1 < 0 相对于 SKIPIF 1 < 0 的“正弦方差"，则集合 SKIPIF 1 < 0 相对于 SKIPIF 1 < 0 的“正弦方差”为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．与 SKIPIF 1 < 0 有关的值
10．（2022秋·山东·高三山东聊城一中校联考阶段练习）现有如下信息：
（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为 SKIPIF 1 < 0
（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．
（3）有一个内角为 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形为黄金三角形，
由上述信息可求得 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．（2021秋·四川巴中·高一校联考期末）定义运算 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 的图像的一条对称轴为 SKIPIF 1 < 0 满足等式 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．（2020·全国·高三校联考阶段练习）对于集合 SKIPIF 1 < 0 ，定义： SKIPIF 1 < 0 为集合 SKIPIF 1 < 0 相对于 SKIPIF 1 < 0 的“余弦方差”，则集合 SKIPIF 1 < 0 相对于 SKIPIF 1 < 0 的“余弦方差”为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．（2020秋·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 的相邻交点间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，若定义 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内的图象是
A．B．
C．D．
14．（2022春·陕西延安·高一校考阶段练习）对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，在使 SKIPIF 1 < 0 成立的所有常数 SKIPIF 1 < 0 中，我们把 SKIPIF 1 < 0 的最大值称为函数 SKIPIF 1 < 0 的“下确界”.若函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“下确界”为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．（2020·全国·高一假期作业）如果函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是凸函数，那么对于区间 SKIPIF 1 < 0 内的任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是凸函数，那么在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
16．（2022·全国·高一专题练习）定义： SKIPIF 1 < 0 为集合 SKIPIF 1 < 0 相对常数 SKIPIF 1 < 0 的“余弦方差”.若 SKIPIF 1 < 0 ，则集合 SKIPIF 1 < 0 相对 SKIPIF 1 < 0 的“余弦方差”的取值可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
17．（2021秋·全国·高三校联考期中）数学中一般用 SKIPIF 1 < 0 表示a，b中的较小值， SKIPIF 1 < 0 表示a，b中的较大值；关于函数： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，有如下四个命题，其中是真命题的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期均为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象均关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 的最小值
D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象关于原点中心对称
18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是任意角，若满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 “广义互余” SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列角 SKIPIF 1 < 0 中，可能与角 SKIPIF 1 < 0 “广义互余”的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
19．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义 SKIPIF 1 < 0 为角 SKIPIF 1 < 0 的正矢，记作 SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 为角 SKIPIF 1 < 0 的余矢，记作 SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
20．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数: SKIPIF 1 < 0 定义 SKIPIF 1 < 0 为角 SKIPIF 1 < 0 的正矢，记作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 定义 SKIPIF 1 < 0 为角 SKIPIF 1 < 0 的余矢，记作 SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数
B．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
21．（2023·高一课时练习）我们规定把 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 的余弦方差，那么对任意实数B，B对 SKIPIF 1 < 0 的余弦方差是______．
22．（2022·全国·高一专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 都是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数，若存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上生成的函数.
若 SKIPIF 1 < 0 ，以下四个函数中：
① SKIPIF 1 < 0 ； ② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 ； ④ SKIPIF 1 < 0 .
所有是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上生成的函数的序号为________.
23．（2021春·江苏淮安·高一校联考阶段练习）形如 SKIPIF 1 < 0 的式子叫做行列式，其运算法则为 SKIPIF 1 < 0 ，则行列式 SKIPIF 1 < 0 的值是___________.
24．（2023·高一课时练习）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．其中“同形”函数有__________．（选填序号）
25．（2023·高一课时练习）在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数 SKIPIF 1 < 0 的图像恰好经过 SKIPIF 1 < 0 个格点，则称函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 阶格点函数.在 SKIPIF 1 < 0 上，下列函数中，为一阶格点函数的是___________.(选填序号)① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0
26．（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考开学考试）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知任意角 SKIPIF 1 < 0 以坐标原点 SKIPIF 1 < 0 为顶点， SKIPIF 1 < 0 轴的非负半轴为始边，若终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，定义： SKIPIF 1 < 0 ，称“ SKIPIF 1 < 0 ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数 SKIPIF 1 < 0 ”，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为 SKIPIF 1 < 0 ； ②该函数的图象关于原点对称；
③该函数的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ；
⑤该函数的递增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号）
27．（2015秋·广东揭阳·高一统考期中）定义一种运算，令，且，则函数的最大值是_______________
四、解答题
28．（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则曼哈顿距离为： SKIPIF 1 < 0 ，余弦相似度为： SKIPIF 1 < 0 ，余弦距离为 SKIPIF 1 < 0
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求A，B之间的曼哈顿距离 SKIPIF 1 < 0 和余弦距离；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值
29．（2023·高一课时练习）知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对 SKIPIF 1 < 0 ．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．顶角 SKIPIF 1 < 0 的正对记作 SKIPIF 1 < 0 ，这时 SKIPIF 1 < 0 ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
(1) SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
(2)对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的正对值 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为锐角，试求 SKIPIF 1 < 0 的值．
30．（2020秋·全国·高三校联考阶段练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，平面内一点坐标 SKIPIF 1 < 0 ，我们称 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的“相伴特征点”， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的“相伴函数”．
（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的“相伴特征点”；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 的“相伴函数”为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 SKIPIF 1 < 0 倍（横坐标不变），再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的 SKIPIF 1 < 0 （纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到函数 SKIPIF 1 < 0 ，作出 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的图象．
31．（2022秋·内蒙古包头·高一统考期末）对任意闭区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值，则 SKIPIF 1 < 0 ______，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
32．（2019秋·北京海淀·高三人大附中校考阶段练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 是满足下列性质的函数 SKIPIF 1 < 0 的全体，存在非零常数 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 成立．
（1）给出下列两个函数： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中属于集合 SKIPIF 1 < 0 的函数是__________．
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值集合为__________．