最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题09 二次函数的图象与性质（6大考点）

这是一份最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题09 二次函数的图象与性质（6大考点），文件包含专题09二次函数的图象与性质6大考点原卷版docx、专题09二次函数的图象与性质6大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共111页， 欢迎下载使用。

一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
第三部分 函数
专题09 二次函数的图象与性质（6大考点）
核心考点一 二次函数的图象与性质
例1 （2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上，
∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，
y2=（m-1）2+n，
∵y1＜y2，
∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，
∴（m-2）2-（m-1）2＜0，
即-2m+3＜0，
∴m＞，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．
例2 （2021·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解．
【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而增大，
∴二次函数的图像开口向上，
∴a-1＞0，即：，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．
例3 （2022·江苏徐州·统考中考真题）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．
【答案】4
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
知识点：二次函数的概念及表达式
1.一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
知识点：二次函数的图象及性质
1．二次函数的图象与性质
【变式1】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线过点，，顶点在第四象限，记，则P的取值范围是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】B
【分析】根据抛物线经过点(-1,0)、(0,-1)即可得到a-b=1，c=-1，再根据顶点在第四象限，即可求出a的取值范围，则P的取值范围可求．
【详解】∵抛物线过点(-1,0)、(0,-1)，
∴有，且显然a≠0，
∴a-b=1，c=-1，
将抛物线配成顶点式：，
∴顶点坐标为：，
∵抛物线顶点坐标在第四象限，
∴，
∵a-b=1，
∴，
解得：，
∵P=2a-b，a-b=1，
∴P=2a-b=a+a-b=a+1，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，根据抛物线经过的点和顶点在第四象限求出的a的取值范围是解答本题的关键．
【变式2】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线过点，，顶点在第四象限，记，则P的取值范围是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】B
【分析】根据抛物线经过点(-1,0)、(0,-1)即可得到a-b=1，c=-1，再根据顶点在第四象限，即可求出a的取值范围，则P的取值范围可求．
【详解】∵抛物线过点(-1,0)、(0,-1)，
∴有，且显然a≠0，
∴a-b=1，c=-1，
将抛物线配成顶点式：，
∴顶点坐标为：，
∵抛物线顶点坐标在第四象限，
∴，
∵a-b=1，
∴，
解得：，
∵P=2a-b，a-b=1，
∴P=2a-b=a+a-b=a+1，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，根据抛物线经过的点和顶点在第四象限求出的a的取值范围是解答本题的关键．
【变式3】（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是______．
【答案】
【分析】①当P点纵坐标≥0时，过点B作BC⊥y轴于C，由△BPC≌△PAO可得BC=PO，PC=AO，设OP长度为x由两点距离公式建立二次函数，再由二次函数的性质求值即可；②当P点纵坐标＜0时，过点B作BC⊥y轴于C，同理可得OB的表达式，再由二次函数的性质求值即可；
【详解】解：①当P点纵坐标≥0时如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∠CBP+∠CPB=90°，∠OPA+∠CPB=90°，则∠CBP=∠OPA，
由旋转的性质可得：PB=PA，
△BPC和△PAO中：∠PBC=∠APO，∠BCP=∠POA=90°，BP=PA，
∴△BPC≌△PAO（AAS），
∴BC=PO，PC=AO，
设OP长度为x，则PC=AO=4，BC=x，B（x，x+4）
∴
∵x≥0，
∴x=0时OB最小，最小值为4，
②当P点纵坐标＜0时，如图，过点B作BC⊥y轴于C，
同理可得△BPC≌△PAO（AAS），BC=PO，PC=AO，
设OP长度为x，则PC=AO=4，BC=x，B（-x，4-x）
∴
∵x＞0，
∴x=2时OB最小，最小值为，
综上所述：OB最小值为，
故答案为：；
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质；根据P点位置分类讨论是解题关键．
【变式4】（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点，点，则互异二次函数与正方形OABC有公共点时m的最大值是__________．
【答案】
【分析】根据抛物线顶点横纵坐标的关系得出抛物线顶点的运动轨迹，结合正方形的位置，则可得到当抛物线经过点B时m取最大值，依此列式求解即可．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为 ,
∴抛物线顶点在直线y= -x上移动，
∵四边形AOBC为正方形，点A（0，2），点C（2，0），
∴点B坐标为，
如图，当抛物线经过点B时，m取最大值，
将代入中，
则，
解得 或（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象和性质和图象平移的特点，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系及图象平移的特点．
【变式5】（2021·湖北随州·一模）如图，抛物线与轴交于A，B两点点B在点A的右侧，其顶点为C，点P为线段上一点，且过点P作，分别交抛物线于，两点点在点的右侧，连接，．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；用含，的式子表示
(2)猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)若，，求的值．
【答案】(1)点A，B，C的坐标分别为、、
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1），求出x的值，可得点A，B的坐标，令，求出y的值，可得点C的坐标；
（2）根据求出点P的纵坐标，代入解析式，求出点D，E的横坐标,进而求出DE的长度，再根据点A，B的坐标求出AB的长度，即可得出；
（3）当时，求出OP，PC，PD，再通过导角证明，得出，进而得出，代入即可求解．
（1）
解：对于，
令，解得，
令，则，
故点A，B，C的坐标分别为、、；
（2）
解：，理由：
∵，点C在y轴负半轴，
∴，
∴，
则，
故点的坐标为，
当时，则，
解得，
则，
由点A，B的坐标得：，
∴；
（3）
解：当时，
由知，点的坐标为，点C的坐标为，，
∴，，，，
∵，
∴，
又∵，
，
，
∴，即，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，有一定的综合性，难度适中，第三问利用三角函数或三角形相似均可得出，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质．
核心考点二 与二次函数图象有关的判断
例1 （2021·广西河池·统考中考真题）点均在抛物线上，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【详解】解：由图象，根据二次函数的性质，有
A．若，则，原说法错误；
B．若，则，原说法错误；
C．若，则，原说法错误；
D．若，则，原说法正确．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．
例2 （2021·湖南娄底·统考中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，来判断出交点横坐标所在的范围．
【详解】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：
由图知，显然，
当时，将其分别代入与计算得；
，
，
此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是：准确画出函数的图象，再通过关键点得出答案．
例3 （2020·广西贵港·中考真题）如图，对于抛物线，，，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点；②抛物线的对称轴可由抛物线的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．
【答案】①②④
【分析】根据抛物线图象性质及配方法解题．
【详解】将分别代入抛物线，，中，可知，这三条抛物线都经过点C，故①正确；
抛物线的对称轴为，
抛物线的对称轴为，可由向右平移1个单位而得到，故②正确；
抛物线的顶点为A
抛物线的顶点为B
抛物线的顶点为C
，
三条抛物线的顶点不在同一条直线上，故③错误；
将分别代入三条抛物线，得0或1，0或2，0或3，
可知，相邻两点之间的距离相等，故④正确，
综上所述，正确的是①②④，
故选：①②④．
【点睛】本题考查二次函数的性质，其中涉及将一般式化为顶点式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
知识点、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①决定抛物线的开口方向：
当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
知识点、求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：，∴顶点是，
对称轴是直线.
(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，
得到顶点为(,)，对称轴是.
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★
知识点、直线与抛物线的交点
(1)轴与抛物线得交点为()

(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).

(3)抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程
的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
(4)平行于轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组
的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时与有两个交点;
②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故
【变式1】（2022·四川泸州·校考模拟预测）二次函数（）的自变量与函数的部分对应值如下表：
则这个函数图像的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由图表数据可知，函数图像与轴的两个交点为和，故可知图像对称轴为：，即可对照表格得出顶点坐标．
【详解】解：由表可知：当时，；当时，，即函数图像与轴的两个交点为和，
由此可知：图像对称轴为：，对照表格可知：当时，，
即顶点为，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是将表格数据转化为点的坐标信息，结合二次函数性质画出草图分析．
【变式2】（2022·山东日照·校考一模）设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得y1，y2，y3的值，比较大小即可．
【详解】解：∵，，是抛物线上的三点，
∴，，，
∵1＞-2＞-7，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
【变式3】（2021·陕西西安·校考模拟预测）在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图，则，，的大小关系为______（用“”连接）
【答案】
【分析】抛物线的开口方向和开口大小由的值决定的，系数绝对值越大，开口越小．
【详解】解：∵抛物线开口都向上，
∴二次项系数都大于0.
二次函数的开口最小，二次函数的开口最大，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数y=ax2（a≠0）的性质，是基础知识，需熟练掌握．熟练掌握抛物线开口大小与|a|有关，|a|越大图象开口越小，|a|越小图象开口越大是解答本题的关键．
【变式4】（2022·广西·统考二模）如图，抛物线与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C与D点重合，可以知道顶点坐标为（1，3）且抛物线过（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点为（3，0），由此可求出a；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2）且抛物线过（-2，0），则它与x轴的另一个交点为（8，0），由此也可求a，然后由此可判断a的取值范围．
【详解】顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，
当顶点C与D点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y=a（x﹣1）2+3，
由，解得﹣≤a≤﹣；
当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y=a（x﹣3）2+2，
由，解得﹣≤a≤﹣；
∵顶点可以在矩形内部，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，矩形的性质，二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式5】（2022·河南南阳·统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)抛物线的对称轴为直线_______，抛物线与y轴的交点坐标为_______；
(2)若当x满足时，y的最小值为，求此时y的最大值．
【答案】(1)，
(2)当时，y的最大值为12，当时，y的最大值为
【分析】（1）根据对称轴的表达式计算求值，再令x=0求得y值即可解答；
（2）分两种情况讨论：①当时，抛物线开口向上，可得时y取得最小值，进而可得抛物线解析式，由对称轴x=2可得，x=5时y取得最大值；②当时，抛物线开口向下，可得可得x=5时y取得最小值，x=2时y取得最大值，计算求值即可；
(1)
解：抛物线的对称轴为x=，
令x=0，则y=2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2）；
(2)
解：①当时，抛物线开口向上，
∴时，y取得最小值，
，解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵，抛物线的对称轴为x=2，
∴当时，y取得最大值，
；
②当时，抛物线开口向下，
∵，抛物线的对称轴为x=2，
∴当时，y取得最小值，
，解得，
∴该抛物线的解析式为，
当时，y取得最大值，
，
综上所述，当时，y的最大值为12，当时，y的最大值为；
【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的对称性，求二次函数的最值，根据a的正负分类讨论是解题关键．
核心考点三 与系数a、b、c有关的判断
例1 （2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），从而得到x1=-3，x2=1，则可对③进行判断．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，所以①正确；
∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），即，所以②正确；
∵图象经过点时，代入解析式可得，
方程可化为，消a可得方程的两根为，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数与直线的另一个交点为，
，代入可得，
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
例2 （2022·山东日照·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由对称轴为即可判断①；根据点，（3，y2）到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点（-1，0），得出a-b+c=0，对称轴，得出，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④．
【详解】解：∵对称轴，
∴b=-3a，
∴3a+b=0，①正确；
∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离，
∴y1∵经过点（-1，0），
∴a-b+c=0，
∵对称轴，
∴，
∴，
∴3c=4b，
∴4b-3c=0，故③错误；
∵对称轴，
∴点（0，c）的对称点为（3，c），
∵开口向上，
∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
例3 （2021·贵州遵义·统考中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 ___（填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
【答案】①③④
【分析】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，求出其解析式，得到系数之间的关系，再分别讨论每个问题.
【详解】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ．
① ，则，故①正确，符合题意；
② ，又a＞0，
∴ ，故②错误，不符合题意；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则有，即一元二次方程有实数根，
则 ，
∵a＞0，
∴ ，解得： ，故③正确，符合题意；
④如图，
∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，
一元二次方程可化为 ，即抛物线与直线 （t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，如图，则横坐标可为0，1，2，3，4，有3个t满足．故④正确，满足题意．
故答案为：①③④
【点睛】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、各项系数之间的关系、用根的判别式求取值范围，借助数形结合思想解题是关键.
知识点、二次函数图象的特征与a，b，c的关系
常用公式及方法：
二次函数三种表达式：
韦达定理：若二次函数图象与x轴有两个交点且交点坐标为（，0）和（，0），则，。
赋值法：在二次函数中，令，则；令，则；令，则；令，则；利用图象上对应点的位置来判断含有、、的关系式的正确性。
【变式1】（2022·辽宁丹东·校考二模）二次函数、、为常数，且的与的部分对应值如下表：（其中）
有下列结论：；；是关于的一元二次方程的一个根；当时，．其中正确结论的个数为（ ）A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据表中与的部分对应值画出抛物线的草图，由开口方向即可判断，由对称轴可得，代入可判断，根据直线过点、可知直线与抛物线交于点、，即可判断，根据直线与抛物线在坐标系中位置可判断．
【详解】解：根据表中与的部分对应值，画图如下：
由抛物线开口向上，得，故正确；
抛物线对称轴为，即，
，
则，故正确；
直线过点、，
直线与抛物线交于点、，
即和是方程，即的两个实数根，故正确；
由图象可知当时，直线位于抛物线上方，
，
，故错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与直线交点、一元二次方程的解，根据表中数据画出二次函数图象的草图是解题的前提，熟练掌握抛物线与直线、抛物线与一元二次方程间的关系是解题的关键．
【变式2】（2022·四川广安·统考二模）对称轴为直线的抛物线(为常数，且)如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤(为任意实数)，⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为( )
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥．
【详解】解：①由图象可知：，
∵对称轴为直线：，
∴，
∴，故①错误；
②∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∴，故②正确；
③∵对称轴为直线，则与的函数值相等，
∴当时，，故③错误；
④当时，，
∴，故④正确；
⑤当时，取到最小值，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故⑤正确，
⑥当时，y随的增大而减小，故⑥错误，
综上，正确的是②④⑤共3个，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．
【变式3】（2022·黑龙江大庆·统考二模）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则．其中正确的有 ___________
【答案】
【分析】根据抛物线图象开口方向得，由抛物线对称轴为直线，得到，由抛物线与y轴的交点位置得到，据此即可判定①②；根据二次函数的性质知：当时，函数有最大值，据此即可判定③；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在的右侧，据此即可判定④；把先移项，再分解因式得到，而，则，即，然后把代入计算，即可判定⑤．
【详解】解：∵抛物线图象开口向下，
，
∵抛物线对称轴为直线，
，即，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线，
∴函数的最大值为，
，即，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点在的右侧，
∴当时，，
，所以④错误；
，
，
，
，
，
，即，
，
，所以⑤正确，
综上所述，正确的有．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【变式4】（2022·山东泰安·校考二模）如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标等于3，则下列结论：①；②；③；④的解集为中正确的结论是______（只填写序号）．
【答案】①②④
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，则当时，函数值小于0，于是可对①进行判断；
由对称轴可得，结合可对②判断；
根据二次函数的性质得到时，二次函数有最大值，则，于是可对③进行判断；
由于直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标等于3，利用函数图象得在C、D之间，，则可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧，
而抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，
∴当时，函数值小于0，
即，所以①正确；
∵对称轴为，
∴，
∴，
又，
∴，即，所以②正确；
∵时，二次函数有最大值，
∴，
∴，所以③错误；
∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标等于3，由图象可知，在C、D之间，即时，，
∴的解集为，
即的解集为，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．
【变式5】（2022·河南·校联考二模）已知抛物线交轴于，两点交轴于点．
(1)若，．
①求该抛物线的解析式及点坐标；
②设直线的解析式为，直接写出不等式的解集；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫整点．若，抛物线在点、之间的部分与线段所围成的区域内（不包含边界）恰有7个整点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①，B（3，0）；②x＜0或x＞3；
(2)-2＜m≤-1；
【分析】（1）①将A、C点坐标代入函数解析式，求解即可；
②根据y=x+1在y=x2+的上方，看图即可求解；
（2）根据抛物线对称轴是x=1，通过数形结合可得区域内有七个整点分别为（0，1）（1，1）（2，1）（0，2）（1，2）（2，2）（1，3）进而求解；
（1）
①将A（-1，0）C（0，1）代入中，得
解得，
∴抛物线的解析式为，
当y=0时，=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴B（3，0）；
②把B（3，0）C（0，1）代入到y=kx+b中，得
，解得，
∴y=x+1，
∵不等式，
∴y=x+1在的上方，
如图，
即x＜0或x＞3；
（2）
∵=，
∴抛物线顶点坐标为（1，4），
m＞0时，抛物线开口方向向上，与x轴无交点，不符合题意，
m＜0时，抛物线开口方向向下，如图，
当区域内包含整点（0，1）（1，1）（2，1）（0，2）（1，2）（2，2）（1，3）时满足题意，抛物线与y轴交点（0，m+4）在直线y=2与y=3之间，
抛物线与直线x=-1交点（-1，4m+4）在直线y=1下方，
即，
解得-2＜m≤-1．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，通过数形结合求解．
核心考点四 二次函数与一元二次方程的关系
例1 （2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】观察图象，先设 ，，，根据已知条件及证明，得出，利用根与系数的关系知，最后得出答案．
【详解】设 ，，，
∵二次函数的图象过点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
令，
根据根与系数的关系知，
∴，
故
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与关于方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．
例2 （2021·山东日照·统考中考真题）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根．
【详解】解：①抛物线图象开口向上，
，
对称轴在直线轴左侧，
，同号，，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，故①正确．
②，
当时，由图象可得，
当时，，由图象可得，
，即，
故②正确．
③，，
，
点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，
，
故③错误．
④抛物线的顶点坐标为，
，
，
无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系．
例3 （2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为_________．
【答案】或
【分析】先求出A、B、C、D的坐标，再将点代入抛物线的解析式，得出m的值，确定的坐标，再根据点的坐标分情况画图求解，即可求出点关于直线的对称点坐标．
【详解】解：∵抛物线交轴于、两点，交轴于点，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵是抛物线上的点，
∴，
解得，
∴当时，，
当时，，
①当时，此时点与点重合，
如图1，设点关于直线对称点为，连接，
∵点与点关于直线对称，
∴是的垂直平分线，
∴，且，
∴，
∴；
②当时，
∴轴，
∴
如图2，设点关于直线的对称点为M，连接，
∵点关于直线的对称点为M，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
综上可得：点关于直线的对称点的坐标为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数图像上的点的坐标特征和轴对称的性质是解题的关键．
知识点：二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
【变式1】（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中学校考模拟预测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法：
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则或；
③若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为2．
其中，正确说法的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；
②通过解方程求得方程的两个解，结合“倍根方程”的定义来求、的关系；
③由方程是倍根方程，得到，由相异两点，都在抛物线上，通过抛物线对称轴求得的值．
【详解】①由，得
，
解得，
∵或，
∴方程不是倍根方程，
故①错误；
②解方程，得
，
∵是倍根方程，
∴或，
即或，
故②正确；
③∵方程是倍根方程，
设，
∵相异两点，，都在抛物线上，
∴抛物线的对称轴，
∴，
，
∴，
故③正确，
综上所述，正确的个数是2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
【变式2】（2022·浙江舟山·校联考三模）二次函数图象与x轴有两个交点，，关于x的方程有两个非零实数根，，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】抛物线图象是由向下平移1个单位所得，作出图象，结合一元二次方程的根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵图象是由向下平移1个单位所得，如图，
∴，选项A错误，不符合题意，
∵
∴两条抛物线对称轴为均为直线，
∴，
∴，选项C错误，不符合题意．
∵二次函数图象与x轴有两个交点，，
∴的两个根为，，
∴，，方程的，
同理可得：，，方程的，
∴，，
∴，，选项D正确，
又∵，，
∴，，
当时，；
当时，；
故选项B错误，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，将方程问题转化为图象交点的问题．解答时注意数形结合的思想．
【变式3】（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知关于的方程的两个根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为 _____．
【答案】
【分析】先利用一元二次方程根与系数的的关系得出，，进而得出，B点的纵坐标为，将点的坐标代入二次函数解析式，解方程求得，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
令，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴B点的纵坐标为，
把代入，
得，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的性质、抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系，把求二次函数 (是常数，) 与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
【变式4】（2022·贵州遵义·统考二模）已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图像如图所示，m，是关于x的一元二次方程的两根，则下列结论正确的有______．（填序号即可）．
①
②
③存在实数x，使得
④若时，，则
【答案】①②
【分析】①对x赋值为-1即为a-b+c，通过图像观察x=-1时的函数值对应点的位置即可判断；
②通过对称轴和函数图像与x轴的一个交点判断另一个交点的大致位置即为m的范围；
③要使存在实数x，使得，因为a<0，则方程应有两个不相等的实数根，即△>0， 由对称轴x=-2可得b=4a，列式计算后判断△即可；
④根据当x=2时y>0，当x=3时y<0， b=4a，列不等式计算求出a的解集即可．
【详解】①当x=-1时，，
通过函数图像可知，此时函数图像在x轴上方，即a-b+c>0，
故①错误；
②通过函数图像可知，对称轴为x=-2，函数图像与x轴的一个交点n的范围为2根据对称性，另一交点（m，0）与点（n，0）关于x=-2对称，
∵2-（-2）=4，3-（-2）=5，
∴-2-5即：-7③令y=
若存在实数x使函数值大于0，则方程有两个不相等的实数根，
∵
由函数图像可知，，即b=4a
∴，方程有两个相等的实数根，
即函数开口向下且与x轴只有一个交点，
∴不存在实数x，使得，故③错误；
④x=0时，y=c=
∴
由图像可知，当x=2时y>0，当x=3时y<0，
∴
由对称轴x=-2得，
∴b=4a
∴
解得
∴④错误
综上所述，结论正确的有①②，
故答案为：①②
【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的图像性质及通过函数图像求参数的关系是解题的关键．
【变式5】（2022·浙江宁波·校考一模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点在该二次函数上．
①当时，求的值；
②当时，的最小值为，求的取值范围．
【答案】(1)该二次函数的解析式为.
(2)①的值为或；②
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）①把代入，即可求得；②把二次函数解析式化为顶点式，求得函数的最小值为，所以，即．
【详解】（1）设二次函数的解析式为，
把点代入得，
解得，
，
该二次函数的解析式为；
（2）①时，则，
解得，；
故的值为或；
，
当时，函数有最小值，
当时，即时，有最小值，
故的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
核心考点五 二次函数图象与性质综合应用
例1 （2022·青海西宁·统考中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，
根据相似比可知：，
即，
解得：EF=2（3-x），
则△DEF的面积y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+，
故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(，)的抛物线．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．
例2 （2022·山东济南·统考中考真题）抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】D
【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m-1和x=m+1时的函数值，再根据m-1＜m+1，判断出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第二种情况，当M点在y轴的右侧时，第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解．
【详解】抛物线解析式变形为：，
即抛物线对称轴为，
当x=m-1时，有，
当x=m+1时，有，
设(m-1,1)为A点，(m+1,1)为B点，
即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称，
当x=0时，有，
∴C点坐标为，
当x=m时，有，
∴抛物线顶点坐标为，
∵直线l⊥y轴，
∴直线l为，
∵m-1＜m+1，
∴M点在N点左侧，
此时分情况讨论：
第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，
由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有，
∴此时不符合题意；
第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时不符合题意；
第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，
或者 ，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时符合题意；
此时由图可知：，
解得，
综上所述：m的取值范围为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．
例3 （2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 _____．
【答案】＜t＜1##0.6【分析】根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可得y1＝y2＝y3＝m，求出x3的范围，进而求出t的范围．
【详解】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，
由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，
∴2＜x3＜，
∴t＝＝，
∴＜t＜1．
故填：＜t＜1
【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、函数值的取值范围等知识点，熟练掌握各知识点，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
知识点：二次函数的综合
1、函数存在性问题
解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
2、函数动点问题
（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．
（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
【变式1】（2022·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点 、点B与y轴相交于点，下列结论：①；②B点坐标为；③抛物线的顶点坐标为；④直线与抛物线交于点D、E，若，则h的取值范围是；⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，使的周长最小，则Q点坐标为．其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】①代入点的坐标即可求出参数的值；②函数值为0时，可求出与横轴的交点坐标；③代入公式即可求出抛物线的顶点坐标；④把带入后，即可表示出，进而求出h的取值范围；⑤连接交对称轴于点Q，此时的周长最小，再列出方程组即可求出Q点坐标．
【详解】解：①∵抛物线与x轴交于点，与y轴相交于点，
∴可得：，
∴，故①正确；
②∵函数函数值为0，
∴，
∴，
∴时，，
∴B点坐标为，故②正确；
③抛物线的顶点坐标为，故③错误；
④把带入后，，
解得：，
∴h的取值范围是，故④正确；
⑤连接交对称轴于点Q，此时的周长最小，
直线和对称轴联立方程组，
可得，
解得，
∴Q点坐标为，故⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②④⑤，共有4个．
故选：A
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，难度较大，熟练记忆理解二次函数相关性质和充分利用数形结合思想是解题的关键．
【变式2】（2022·山东济南·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴的交点为A，过点A作直线垂直于轴．将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形．点，为图形上任意两点．若对于，，都有，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由抛物线解析式可求出其对称轴为直线，又可用m表示出点M和点N的坐标，且点M和点N关于直线对称，再分类讨论当变化时，轴与点，的相对位置，即可解答．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
点，为图形上任意两点，，，
∴当时，，
当时，，
，为抛物线上关于对称轴对称的两点．
分类讨论当变化时，轴与点，的相对位置：
如图，当轴在点左侧时含点，

经翻折后，得到点，的纵坐标相同，，不符题意；
如图，当轴在点右侧时含点，

经翻折后，点，的纵坐标相同，，不符题意；
如图，当轴在点，之间时不含，，

经翻折后，点在下方，点，重合，在上方，，符合题意．
此时，
解得：．
综上所述，的取值范围为．
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．
【变式3】（2022·安徽合肥·合肥38中校考模拟预测）已知抛物线y＝x＋ax＋a（a为常数，a≠0）．
（1）若a＝2，则此抛物线的对称轴为________
（2）设M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线上的两点，其中x1＜x2，当x1＋x2＞4时，都有y1＜y2，则a的取值范围是________
【答案】
【分析】（1）将a=2代入解析式，然后化为顶点式即可得出结果；
（2）由题意点（x1，0），（x2，0）连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于2，利用二次函数的性质判断即可．
【详解】解：（1）当a＝2时，抛物线的解析式为，
∴此抛物线的对称轴为；
故答案为：①；
（2）抛物线y＝x2＋ax＋a的对称轴直线为，
①当时，y1＜y2恒成立；
②当时，y1>y2；
③当时，
∵抛物线的对称轴为，若对于x1＋x2＞4，都有y1＜y2，
当，且时，抛物线的对称轴为，
∴满足条件的值为，即．
故答案为：②
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式4】（2022·山东淄博·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点和．将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点）．将图象M沿直线翻折，得到图象N．若过点的直线与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，则b的取值范围______．
【答案】或
【分析】把点A、B的坐标代入抛物线解析式，列出关于a、c的方程组，通过解该方程可以求得它们的值．由函数解析式求得顶点坐标，根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．
【详解】∵抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）经过点A（3，﹣4）和B（0，2），
可得：
解得：
∴抛物线的表达式为y=﹣2x2+4x+2．
∵y=﹣2x2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4）；
设点B（0，2）关于x=3的对称点为B’，则点B’（6，2）．
若直线y=kx+b经过点C（9，4）和B'（6，2），可得b=﹣2．
若直线y=kx+b经过点C（9，4）和A（3，﹣4），可得b=﹣8．
直线y=kx+b平行x轴时，b=4．

综上，﹣8＜b＜﹣2或b=4．
故答案为：﹣8＜b＜﹣2或b=4．
【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化．
【变式5】（2022·四川德阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)如图，点为线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值．
(3)动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，同时动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)当时，
(3)存在，或或
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再令，可得，求解即可得点的坐标；
（2）由两点坐标求出直线的解析式，进而设出点的坐标，进而得出结论；
（3）要使点，，，为顶点的四边形是菱形，只需为等腰三角形，所以，或，结合图形得到答案即可．
【详解】（1）解：由题意，将点、代入，
可得 ，解得，
∴，
当时，可有 ，
解得，，
∴；
（2）设直线的解析式为 ，将点、代入，
可得，解得，
∴，
设点，，
∴，
∴当时，有；
（3）如图1，

∵，，
∴，
∴，
作轴于，
∴，
当时，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
由得，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，

当时，作轴于，作轴于，
∴，
可得四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，

当时，
，
∴，
∴，
∴．
综上所述：或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、待定系数法求一次函数和二次函数解析式、等腰三角形的性质和菱形的性质等知识，解题关键是熟练掌握先关知识，运用分类讨论和数形结合的思想分析问题，并画出符合条件的图形．
核心考点六 二次函数图象的变换
例1 （2022·四川巴中·统考中考真题）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
① ；②； ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①②B．①③C．②③④D．①③④
【答案】D
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知c＝-3，故②错误；根据对称轴求出b＜0，进而可得，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确．
【详解】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
∵与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
∵中a＞0，，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
代入（0，3）得：，
解得：a＝－1，
∴，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
例2 （2021·江苏苏州·统考中考真题）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ）
A．或2B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】解：函数向右平移3个单位，得：；
再向上平移1个单位，得：+1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴+1即
解得：或
∵抛物线的对称轴在轴右侧
∴＞0
∴＜0
∴
故选：B．
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
例3 （2020·湖北武汉·中考真题）抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论：
①一元二次方程的根为，；
②若点，在该抛物线上，则；
③对于任意实数，总有；
④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．
其中正确的结论是________（填写序号）．
【答案】①③
【分析】①根据二次函数与一元二次方程的联系即可得；②先点，得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性与增减性即可得；③先求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数图象的平移规律即可得；④先将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．
【详解】抛物线经过，两点
一元二次方程的根为，，则结论①正确
抛物线的对称轴为
时的函数值与时的函数值相等，即为
当时，y随x的增大而减小
又
，则结论②错误
当时，
则抛物线的顶点的纵坐标为，且
将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为
由二次函数图象特征可知，的图象位于x轴的下方，顶点恰好在x轴上
即恒成立
则对于任意实数，总有，即，结论③正确
将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为
函数对应的一元二次方程为，即
因此，若一元二次方程的根为整数，则其根只能是或或
对应的的值只有三个，则结论④错误
综上，结论正确的是①③
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数图象的平移问题、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握并灵活运用二次函数的图象与性质是解题关键．
知识点：抛物线的平移
1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．:
2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
3．注意
二次函数平移遵循“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
知识点、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；

2. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；

3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．

5. 关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
【变式1】（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）已知两条抛物线和的解析式分别是关于与的关系式：：与：．对上述抛物线说法正确的序号是（ ）
①两条抛物线与轴的交点一定不在轴的上方；
②在抛物线、中，可以将其中一条抛物线经过向上或向下平移得到另一条抛物线；
③在抛物线、中，可以将其中一条抛物线经过向左或向右平移得到另一条抛物线；
④两条抛物线的顶点之间的距离为1．
A．①②B．①③④C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】①分别求出两条抛物线与轴交点即可判断；
②根据两条抛物线的对称轴相同，可知一条抛物线经过向上或向下平移得到另一条抛物线；
③根据两条抛物线的对称轴相同，可知两条抛物线不可能左右平移得到；
④配方后，得到顶点坐标，相减即可．
【详解】①抛物线与轴交点为，抛物线与轴交点为，一定不在x轴的上方，故本选项正确；
②由于两抛物线对称轴相同，均为，可知，其中一条抛物线经过向上或向下平移得到另一条抛物线；故本选项正确；
③由于两抛物线对称轴相同，两条抛物线不可能左右平移得到，故本选项错误；
④抛物线的解析式配方得，；抛物线的解析式配方得，，，故本选项正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数与轴，轴的交点的求法，图像的平移，顶点坐标的求法是解本题的关键．
【变式2】（2022·广东佛山·校考三模）已知抛物线与轴交于点，将该抛物线平移，使平移后的抛物线经过点，且与轴交于、两点，其中，点的坐标为．若线段，那么的值为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】利用待定系数法求得平移后的抛物线的解析式，令y＝0，求出该抛物线与x轴的交点，并利用点的坐标表示出线段OA，BC的长，根据已知条件列出关于t的方程，解方程即可求得结论．
【详解】解：令，则，
，
，
设平移后的抛物线解析式为，
平移后的抛物线经过点，且与轴交于，
，
解得：，
平移后的抛物线解析式为，
令，则，
解得：，，
，
．
，
．
当时，解得：，
当时，解得：，
的值为：或．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，抛物线的平移，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
【变式3】（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点，其中点B坐标为，同时抛物线还经过点．
（1）抛物线的解析式为_____________；
（2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接，将抛物线向下平移n个单位，当平分时，则n的值为_____________．
【答案】 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出平移后点E的坐标为，平移后点C的坐标为，再证明，得到，则，据此求解即可．
【详解】解：（1）由题意得，
∴，
∴抛物线解析式为，
故答案为：；
（2）∵原抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线解析式为，
∴平移后点E的坐标为，平移后点C的坐标为，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
【变式4】（2021·四川乐山·统考三模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M＜y＜M，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）判断函数y＝（x＞0）是否为有界函数 ___（填“是”或“否”）；
（2）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，若≤t≤1则m的取值范围是 ___．
【答案】 否 0m或m1
【分析】（1）在x的取值范围内，y（x＞0）的y无最大值，不是有界函数；
（2）先设m＞1，函数向下平移m个单位后，x＝0时，y＝﹣m＜﹣1，此时边界值t＞1，与题意不符，故，判断出函数y＝x2所过的点，结合平移，即可求解．
【详解】解：（1）∵y（x＞0）的y无最大值，
∴y（x＞0）不是有界函数，
故答案为：否；
（2）若m＞1，图象向下平移m个单位后，x＝0时，y＜﹣m＜﹣1，此时函数的边界值t＞1，不合题意，故．
∴函数y＝x2（，，当x＝﹣1时，ymax＝1，当x＝0时，ymin＝0，
∴向下平移m个单位后，ymax＝1﹣m，ymin＝﹣m，
∵边界值t，
∴1﹣m或﹣1﹣m，
∴0m或m1，
故答案为：0m或m1．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，二次函数的性质，结合新定义，弄清函数边界值的定义，熟悉平移变换的性质是解题的关键．
【变式5】（2023·上海静安·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，的余切值为，，点P在抛物线上，且.
(1)求上述抛物线的表达式；
(2)平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①求新抛物线的对称轴；
②点F在新抛物线对称轴上，且，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)①对称轴为直线；②
【分析】（1）先通过解直角三角形求出点A、B的坐标，直接利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①设平移后的解析式为，求出点，再利用待定系数法求函数解析式即可；②过点P作轴于N，则，通过证明，利用相似三角形的性质计算即可．
【详解】（1）∵抛物线（），当时，，
∴，即，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把A、B的坐标代入，得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）①设平移后的解析式为，
∵，
∴P在的中垂线上，
∴，
将坐标代入，得，
∴，
∴新的抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线；
②过点P作轴于N，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象的平移，二次函数与角相等的问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
【新题速递】
1．（2022·江苏无锡·校考一模）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2．（2022·辽宁盘锦·统考二模）如图，直线的解析式为，它与轴和轴分别相交于，两点，点为线段上一动点，过点作直线的平行线，交轴于点，点从原点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，运动时间为秒，以为斜边作等腰直角三角形（，两点分别在两侧）．若和的重合部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据直线，它与轴和轴分别相交于，两点，则；根据点从原点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，运动时间为秒，则，；根据题意可知，；当时，和的重合部分的面积：；当时，和的重合部分的面积：，即可．
【详解】如图：
∵直线，它与轴和轴分别相交于，两点，
∴，
∵点从原点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，运动时间为秒，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
当，；
∴当，；当，．
故选：C．
【点睛】本题考查函数的知识，解题的关键是理解题意，得到函数关系式．
3．（2023·广西玉林·一模）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：；；；；正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用图象信息即可判断；根据时，即可判断；根据是方程的根，结合两根之积，即可判断；根据两根之和，可得，可得，根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故正确，
时，，
，即，故正确，
的图象过点和，
，，
，
，故正确，
，
，
，



，故错误，
，
，
，故正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；决定抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
4．（2022·山东临沂·模拟预测）已知二次函数及一次函数，将二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（如图所示），当直线与新图像有个交点时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出二次函数图像关于x轴翻折后的解析式，求出直线与翻折后抛物线相切时的m值，求出直线经过图像与x轴右侧交点时m的值，进而求解．
【详解】解：抛物线关于x轴翻折后解析式为，
令，整理得，
当时，直线与抛物线相切，
解得，
把代入得，
解得，
∴抛物线与x轴交点坐标为，
把代入得，
解得，
∴满足题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图像与几何变换，解题关键是掌握函数与方程的关系．
5．（2023·上海静安·统考一模）定义：把二次函数与（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标_________．
【答案】
【分析】根据题意，把所给的两个二次函数转化成旋转函数即可．
【详解】
∴
∴解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是学生对二次函数解析式的变形能力，解题的关键是根据题意去变换形式，细心谨慎．
6．（2022·吉林长春·模拟预测）将抛物线（其中a为实数）向上平移3个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 _____．
【答案】##2.5
【分析】根据“上加下减”可得出平移后的抛物线解析式，再利用配方法配方，可表达顶点的纵坐标，再求最大值．
【详解】解：将抛物线（其中a为实数）向上平移3个单位，得 ，
∴，
∴抛物线顶点的纵坐标，
∵，
∴m的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，二次函数图象顶点坐标等内容，题目比较简单．
7．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点、，若，则的值为 __．
【答案】2
【分析】设，，则，是方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系求出，，然后根据以及完全平方公式的变形得出关于m的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设，，则，是方程的两个根，
，，
抛物线与轴正半轴交于点、，
，，
，
，
，
，
，
，
．
解得：（负数不合题意，舍去），
，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线与x轴交点的横坐标与一元二次方程的联系，一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系和已知条件列出关于m的方程是解题的关键．
8．（2022·山东济南·统考模拟预测）如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰好与原点O重合．抛物线的顶点在直线上移动．若抛物线与菱形的边都有公共点，则h的取值范围是___________．
【答案】
【分析】将与联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线上可求得，于是可得到抛物线的解析式为 由图形可知当抛物线经过点A和点O时抛物线与菱形的边均有交点，然后将点B和点O的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．
【详解】解：将与联立得
，解得，
∴点B的坐标为．
∵抛物线的顶点在直线上移动，
∴，
∴抛物线的解析式为，
当抛物线经过点，
则，解得，
当抛物线经过点，
则，解得，
综上所述，h的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与二元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与菱形的边均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点O是解题的关键．
9．（2020·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第九中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线（m、b均为常数）交于点和点B．
(1)求m和b的值；
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
(3)点M是直线AB上的一个动点，点N在点M正下方（即轴），且，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)点M的横坐标的取值范围为或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出点的坐标为，再观察函数图象即可求解；
（3）根据题意确定出且，根据二次函数与不等式的关系求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
将点A的坐标代入直线表达式得：，解得；
故，；
（2）解：由（1）得，直线和抛物线的表达式为：，，
联立上述两个函数表达式并解得，或（不符合题意，舍去），
即点B的坐标为，
从图象看，不等式的解集为或；
（3）解：由题意设点M的坐标为，则点，
∵线段MN与抛物线只有一个公共点，
∴，解得：或，
∴点M的横坐标的取值范围为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查一次函数的性质、二次函数的性质、根据图像的交点坐标解不等式，其中（3），求不等式组的解集是解题的关键．
10．（2021·湖北襄阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），点B（3，﹣1）在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是线段AC上一动点，且不与点A、C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A'MN，设点P的纵坐标为m．当△A'MN在△OAB内部时，求m的取值范围；
(3)将（1）中的抛物线沿着x轴方向平移得到新的抛物线y＝﹣（x﹣h）2+3，当2h＜x＜2h+1时，y有最大值为2，结合函数图象求h的值．
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+2
(2)m＜3
(3)h的值为﹣2或1
【分析】（1）解：设y＝a（x﹣1）2+3，将点B（3，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2+3，
即可求解析式；
（2）求出直线BO的解析式yx，则C（1，），再由折叠的可得A'（1，2m﹣3），则2m﹣3＜3，即可求m＜3；
（3）分三种情况讨论：①若2h+1＜h，即h＜﹣1时，当x＝2h+1时，y有最大值为2，求得h＝2；②若2h≤h≤2h+1，即﹣1≤h≤0时，y有最大值为3，不符合题意舍去；③若h＜2h，即h＞0时，x＝2h时，y有最大值为2，求得h＝1．
(1)
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），
设y＝a（x﹣1）2+3，
将点B（3，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2+3，
∴﹣1＝4a+3，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+2；
(2)
解：由题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，
设直线OB的解析式为y＝kx，
∴﹣1＝3k，
∴k，
∴yx，
∴C（1，），
∵点P的纵坐标为m，
∴P（1，m），
∵P点是AA'的中点，
∴A'（1，2m﹣3），
∵P是线段AC上一动点，
∴m＜3，
∵△A'MN在△OAB内部，
∴2m﹣3＜3，
∴m＜3；
(3)
解：∵y＝﹣（x﹣h）2+3的对称轴为直线x＝h，
①若2h+1＜h，即h＜﹣1时，
∵当2h＜x＜2h+1时，y有最大值为2，
∴当x＝2h+1时，y有最大值为2，
∴﹣（2h+1﹣h）2+3＝2，
解得h＝0或h＝﹣2，
∵h＜﹣1，
∴h＝2；
②若2h≤h≤2h+1，即﹣1≤h≤0时，y有最大值为3，不符合题意舍去；
③若h＜2h，即h＞0时，
∴x＝2h时，y有最大值为2，
∴﹣（2h﹣h）2+3＝2，
解得h＝1或h＝﹣1，
∵h＞0，
∴h＝1，
综上所述：h的值为﹣2或1．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，折叠的性质，分类讨论是解题的关键．
核心考点
核心考点一 二次函数的图象与性质
核心考点二 与二次函数图象有关的判断
核心考点三 与系数a、b、c有关的判断
核心考点四 二次函数与一元二次方程的关系
核心考点五 二次函数图象与性质综合应用
核心考点六 二次函数图象的变换
新题速递
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=–时，
y最小值=
当x=–时，
y最大值=
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大
当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
…
0
1
2
3
4
…
…
8
3
0
0
3
…
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为y轴
ab>0（a与b同号）
对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号）
对称轴在y轴右侧
c
c=0
经过原点
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
b2–4ac
b2–4ac=0
与x轴有唯一交点（顶点）
b2–4ac>0
与x轴有两个交点
b2–4ac<0
与x轴没有交点
表达式
顶点坐标
对称轴
一般式
顶点式
交点式
x
1
n
y
n