最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题10 二次函数的实际应用问题（4大考点）

这是一份最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题10 二次函数的实际应用问题（4大考点），文件包含专题10二次函数的实际应用问题4大考点原卷版docx、专题10二次函数的实际应用问题4大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共88页， 欢迎下载使用。

一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
第三部分 函数
专题10 二次函数的实际应用问题（4大考点）
核心考点一 销售、利润问题
例1 （2021·辽宁沈阳·统考中考真题）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．
【答案】11
【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，
则
，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
例2 （2022·山东聊城·统考中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．
【答案】121
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，
∵1<0，
∴当时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
例3 （2021·江苏扬州·中考真题）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
(1)请直接写出p与x之间的函数关系式：
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．
【答案】(1)
(2)这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大
(3)a的值为2．
【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．
【详解】（1）解：由表格的数据可知：p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，
则，
解得：k=-30，b=1500，
∴p=-30x+1500，
∴所求的函数关系为p=-30x+1500；
（2）解：设日销售利润w=p（x-30）=（-30x+1500）（x-30），
即，
∵-30<0，
∴当x=40时，w有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；
（3）解：日获利=p（x-30-a）=（-30x+1500）（x-30-a），
即，
对称轴为，
①若a＞10，则当x=45时，有最大值，
即=2250-150a＜2430（不合题意）；
②若0＜a≤10，则当x=40+a时，有最大值，
将x=40+a代入，可得，
当=2430时，，
解得=2，=38（舍去），
综上所述，a的值为2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
1、常用公式有：利润=售价-成本价，总利润=单个商品的利润×销售量，利润率=利润/进价×100%，通过公式建立函数模型，把利润问题转化为函数的最值问题，从而使问题得到解决。
2、利用二次函数解决销售利润问题的方法：(1)读懂题意；(2)借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系；(3)确定函数解析式；(4)确定二次函数的最值；(5)检验、解决实际问题。特别需要注意，解答此类型题要抓住关键的词和字，将实际问题转化为求函数最值问题。既要看到销售价格对销售量的影响，也要看到销售价格对单件商品利润产生的影响，两者结合起来，销售价格就会对销售总利润产生影响。在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响。
3、一般情况对于此类问题的解题通法是：(1)审题：仔细审题，理解题意，看是不是二次函数。(2)建模：根据销售利润方面的知识列出等量关系。(3)解模：用含有x的代数式表示相关量，建立二次函数模型。(4)应用：利用二次函数图像与性质解决有关问题。希望同学们认真理解掌握，关于最值问题，同学们一定要多下功夫研究学习，总结出解决这类问题的思路方法，考试中得心应手。
【变式1】（2020·湖北武汉·统考模拟预测）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（ ）
A．180B．220C．190D．200
【答案】D
【分析】由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式，然后根据每天利润=每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
【详解】设y=kx+b，由图象可知，，
解得：，
∴y=﹣2x+60；
设销售利润为p，根据题意得，p=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣2x+60）
=﹣2x2+80x﹣600，
∵a=﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x=﹣=20时，p最大值=200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及求二次函数最值等知识，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用．
【变式2】（2020·河北沧州·统考二模）“星星书店”出售某种笔记本，若每个可获利元，一天可售出个．当一天出售该种文具盒的总利润最大时，的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】先根据题意得出总利润y与x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答．
【详解】∵出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8-x）个，
∴y=（8-x）x，即y=-x2+8x，
∴当时，y取得最大值．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值问题，能根据题意得出y与x的关系式是解答此题的关键．
【变式3】（2022·辽宁沈阳·统考二模）阳光超市里销售的一种水果，每千克的进价为10元，销售过程中发现，每天销量y（kg）与销售单价x（元）之间满足一次函数的关系.若不计其他成本（利润=售价-进价），则该超市销售这种水果每天能够获得的最大利润是_________元．
【答案】400
【分析】设超市销售这种水果每天能够获得的利润是w元，由题意得w=-（x-30）2+400，再根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：设超市销售这种水果每天能够获得的利润是w元，
由题意得，，
∵a=-1＜0，
∴当x=30时，w最大为400元，
故答案为：400．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意得到二次函数的关系式是解题关键．
【变式4】（2022·河北石家庄·校考模拟预测）某市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月，（按天计）的第天（为正整数）的销售价格（元千克）关于的函数关系式为销售量y（千克）与之间的关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式为___________；
（2）若该农产品当月的销售额最大，最大销售额是___________.（销售额=销售量×销售价格）
【答案】
【分析】根据函数图象中的数据，可以得到与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
根据题意和中的结果，可以得到销售额与之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．
【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为，
则，
解得，
即当时，与的函数关系式为；
当时，设与的函数关系式为，
则，
解得，
即当时，与的函数关系式为，
由上可得，与的函数关系式为，
故答案为：；
（2）设当月第天的销售额为元，
当时，，
当时，取得最大值，此时，
当时，，
当时，取得最大值，此时，
由上可得，当时，取得最大值，此时，
故答案为：
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出函数关系式．
【变式5】（2022·贵州遵义·三模）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少 万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款a元，已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值
【答案】(1)
(2)7元/件，最大利润为9万元
(3)
【分析】（1）分和两种情况，根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件”即可得函数关系式，再根据求出的取值范围；
（2）在（1）的基础上，根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；
（3）设该产品的捐款当月的月销售利润为万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得，再根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．
【详解】（1）解：由题意，当 时， ，
当 时， ，
，
，
解得 ，
综上，
（2）解：设该产品的月销售利润为 万元，
①当 时， ，
由一次函数的性质可知，在 内， 随 的增大而增大，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ；
②当 时， ，
由二次函数的性质可知，当 时， 取得最大值，最大值为9，
因为 ，
所以当月销售单价是7元/件时，月销售利润最大，最大利润是9万元
（3）解： 捐款当月的月销售单价不高于7元/件，月销售最大利润是78万元（大于5万元），
，
设该产品捐款当月的月销售利润为 万元，
由题意得： ，
整理得： ，
，
在 内， 随 的增大而增大，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ，
因此有 ，
解得
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
核心考点二 图形面积问题
例1 （2022·新疆·统考中考真题）如图，用一段长为的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______．
【答案】32
【分析】设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，列出围栏面积S关于x的二次函数解析式，化为顶点式，即可求解．
【详解】解：设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，
∴围栏的面积，
∴当时，S取最大值，最大值为32，
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键．
例2 （2021·内蒙古·统考中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为__________．
【答案】4
【分析】根据题意画出函数图像，要使的值最小，需运用对称相关知识求出点E的坐标，然后求的面积即可．
【详解】解：根据题意可求出，
抛物线的对称轴为：，
根据函数对称关系，点B关于的对称点为点A，
连接AD与交于点E，
此时的值最小，
过D点作x轴垂线，垂足为F，
设抛物线对称轴与x轴交点为G，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点C作的垂线，垂足为H，
所以四边形ACHE的面积等于与梯形ACHG的面积和，
即，
则S四边形ACHE-，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查二次函数的交点坐标、对称轴、相似三角形、对称等知识点，根据题意画出图形，可以根据对称求出点E的坐标是解决本题的关键．
例3 （2022·四川巴中·统考中考真题）如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．
①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②是，定值为，理由见解析
【分析】（1）由当时，，可知，是的两根，代入方程可得从而得解；
（2）①把代入抛物线解析式可得D点坐标，再代入抛物线解析式可得C点坐标，
从而得知线段轴，利用配方法可知点F坐标，从而利用求面积；
②设，用待定系数法求出直线与直线的解析式，再令得，，从而得出，的长，从而得到是定值8．
【详解】（1）解：∵当时，，
∴，是的两根，，
∴，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）①把代入得：，
．
又当，，
，
线段轴．
，
，
；
②设，
直线，，
因此可得：
或，
解得：或，
直线，
．
令得，，
，，
．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数法和面积求法是解题的关键．
面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因变量，建立 二次函数 的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的 取值范围 。
【变式1】（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知抛物线：顶点为D，将抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点落在直线l：上，设直线l与y轴的交点为，原抛物线上的点P平移后的对应点为Q，若，则点Q的纵坐标为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【分析】先根据顶点的变化规律写出平移后的抛物线的解析式，即可求得平移的距离，根据，得出Q点的纵坐标为．
【详解】解：∵，
由题意得向上平移后的抛物线解析式为，
∴抛物线向上平移了5个单位，
由题意得，
∵，
∴Q点的纵坐标为．
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于x的方程是解题的关键．
【变式2】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图①，在矩形中，当直角三角板的直角顶点P在上移动时，直角边始终经过点A，设直角三角板的另一直角边与相交于点Q．在运动过程中线段的长度为x，线段的长为y，y与x之间的函数关系如图②所示．则的长为( )
A．B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根据条件先推出，设，，利用对应边成比例列出函数关系式，结合抛物线对称轴即可求出，将顶点坐标代入解析式，从而求出的长．
【详解】解：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，，则，
，
整理得，
对称轴为，则，，
即，将点代入得，
解得，
故选 C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、求二次函数解析式，采用数形结合列出函数关系是解题关键．
【变式3】（2021·吉林长春·统考二模）在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣1，4），B点坐标为（5，4）．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是__．
【答案】
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，根据抛物线运动规律找出抛物线与线段AB有交点的两个临界值．
【详解】解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，c﹣1），对称轴为直线x＝1，
如图，当c﹣1＝4时，c＝5，抛物线顶点落在线段AB上，抛物线与线段AB刚好有一个交点，满足题意，

c减小，图象向下移动，当抛物线经过点B时，抛物线和线段又只有一个交点，如图，

把（5，4）代入y＝x2﹣2x+c得：
4＝25﹣10+c，
解得c＝﹣11，
∴﹣11≤c≤5满足题意．
故答案为：﹣11≤c≤5．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是通过数形结合方法求解．
【变式4】（2021·江苏南通·统考一模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于____________．
【答案】
【分析】先根据全等旋转变换，可得∠B=∠CAE，由BC=AC=，△ABC为等腰直角三角形，可得∠DAE =90°可得AB=2，设BD=AE=x，则AD=（2-x），函数开口向下，函数有最大值．
【详解】解：如图，△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，
∴△BDC≌△AEC，
∴∠B=∠CAE，
∵BC=AC=，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠CAE=∠BAC=45°，
∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理AB=，
设BD=AE=x，则AD=（2-x），
∴，
∵，函数开口向下，函数有最大值，
当x=1时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理，二次函数的性质等知识点，掌握等腰三角形的性质、直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理，二次函数的性质等知识点是解题关键．
【变式5】（2022·宁夏银川·校考二模）已知：如图，在中，，，，为边上的高，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为．解答下列问题：
(1)当t为何值时，；
(2)当中点在上时，求t的值；
(3)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式，并求S最小值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，S的最小值为．
【分析】（1）由，知，根据得，据此列式求解即可；
（2）证得，据此求得，作作交于E，证得，再证，根据相似三角形的性质列比例式求解即可；
（3）过点Q作于点G，证得，据此求得，然后根据可得函数解析式，继而配方可得其最小值．
【详解】（1）解：如图1，
由题意知，，则，
∵，
∴，即，
解得，
即时，；
（2）解：如图2，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，
∴，
作交于E，则，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
（3）解：如图3，过点Q作于点G，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴
，
∵，
∴当时，S取得最小值，最小值为，
∴S与t的函数关系式为：，S的最小值为．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是掌握相似三角形和全等三角形的判定与性质及二次函数最值的求法．
核心考点三 抛物线型问题（拱桥、隧道等）
例1 （2022·四川广安·统考中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．
【答案】##
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米；
故答案为：；
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
例2 （2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是_____m．
【答案】10
【分析】由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将y=0代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可．
【详解】将y=0代入；
整理得：
（x-10）（x+2）=0
解得：x=10或x=-2（舍去）
∴铅球推出的水平距离OA的长是10m．
故答案为：10
【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
例3 （2022·浙江台州·统考中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】(1)①,；②；③
(2)
【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
图1
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
（2）的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
根据题意，建立恰当的坐标系，设抛物线解析式；
准确转化线段的长与点的坐标之间的关系，得到抛物线上点的坐标，代入解析式，求出二次函数的解析式；
应用所求解析式及性质解决问题；
【变式1】（2022·辽宁抚顺·模拟预测）图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽为4m．如果水面宽度为6m，则水面下降 ( )
A．3.5 B．3C．2.5D．2
【答案】C
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，可设此函数解析式为：，利用待定系数法求出解析式，再根据水面宽度为6m时，求出当x=3时，对应y值即可解答．
【详解】解：设此函数解析式为：，；
那么应在此函数解析式上．
则
即得，
那么．
当x=3时，
∴水面下降(-2)-(-4.5)=2.5（米）
故选：C.
【点睛】根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．
【变式2】（2022·山东临沂·统考一模）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：下列结论不正确的是（ ）
A．足球距离地面的最大高度超过20mB．足球飞行路线的对称轴是直线
C．点（10，0）在该抛物线上D．足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降．
【答案】C
【分析】由题意，可得对称轴为，则可得抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，可得，由此即可一一判断．
【详解】解：由题意，可得对称轴为，则可得抛物线经过（0，0），（9，0）
设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，A选项正确，不符合题意；
∴抛物线的对称轴，故B正确，不符合题意；
由二次函数的性质可得，当时，h随t的增大而减小，
∴足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降，D选项正确，不符合题意，
抛物线经过点（9，0），不经过（10，0），
∴点（10，0）不在该抛物线上，C选项错误，符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
【变式3】（2022·河北·校联考一模）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y（x﹣5）2＋6
（1）雕塑高OA的值是____m；
（2）落水点C，D之间的距离是____m．
【答案】 ##1 22
【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；
【详解】解：（1）当x＝0时，y（0﹣5）2+6，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
故答案为：．
（2）当y＝0时，（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
故答案为：22．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；．
【变式4】（2022·浙江台州·统考一模）斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为，第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度，若，则为________．
【答案】
【分析】先求出OA=60，OE=30，设第一次反弹后的抛物线的解析式y=a(x-30)2+h1，得h1=-900a，设第二次反弹后的抛物线的解析式y1=a(x-m)2+h2，得得h2=-625a，即可得答案．
【详解】解：如下图，
∵OB=90，OA=2AB，
∴OA=60，OE=30，
设第一次反弹后的抛物线的解析式y=a(x-30)2+h1，
∵抛物线过原点O，
∴0=a(0-30)2+h1，
解得：h1=-900a，
∵每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），
∴两个抛物线的a是相等的，
设第二次反弹后的抛物线的解析式y1=a(x-m)2+h2，
∵，h1=-900a，
∴BC=-600a，
∵抛物线过A、B两点，
∴
解得

故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数解析式的求法，解题的关键是掌握二次函数的性质．
【变式5】（2022·河北邯郸·校考三模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m．过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB＝0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），运行时间为t（s），在桌面上的落点为D，经测试，得到如下部分数据：
(1)当t＝ s时，乒乓球达到最大高度；猜想y与x之间是否存在二次函数关系，如果存在，求出函数关系式；如果不存在，请说明理由；
(2)桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，求乒乓球从出球口A发出经过多长时间位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数）
(3)乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线：y＝﹣0.5（x﹣p）（x﹣3.5）的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为60°接球，球拍中心线EF长为0.16m，下沿E在x轴上，假设抛物线L，与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），求p的值，并直接写出EF到桌边的距离CE的取值范围．
【答案】(1)0.4；y与x之间存在二次函数关系，
(2)乒乓球从出球口A发出经过0.56s时间位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约0.27m；
(3)2.5；
【分析】（1）先根据当t=0.2和当t=0.6时y的值相同求出抛物线L的对称轴为直线x=0.4，进而可以求出抛物线L的顶点坐标为（0.4，0.45）即可求出当t=0.4时，乒乓球达到最大高度；再利用待定系数法求出抛物线L的解析式，根据表格中的数据可得进而可以求出；
（2）先求出点G的横坐标，进而求出当x=1.4m时，，，由此求解即可；
（3）先求出点D的坐标，然后把点D的坐标代入到抛物线的解析式中即可求出点p，再分别求出当抛物线经过点E和点F时点E的坐标即可得到答案；
（1）
解：∵从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，且当t=0.2和当t=0.6时y的值相同，
∴抛物线L的对称轴为直线，
又∵抛物线开口向下，
∴抛物线L的顶点坐标为（0.4，0.45），
∴当t=0.4s时，乒乓球达到最大高度；
设，
由题意得，
∴，
∴；
由表格中的数据可知，t每增加0.2，则x增加0.5，
∴，
∴，
∴，
∴y与x之间存在二次函数关系，；
（2）
解：∵BC=2.74m，G为BC的中点，
∴，
∴OG=OB+BG=1.4m，
当x=1.4m时，，
∵GH=0.15m，
∴此时乒乓球到球网顶端H的距离约为0.418-0.15≈0.27m，
∴乒乓球从出球口A发出经过0.56s时间位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约0.27m；
（3）
解：对于函数，当时，，
解得或，
∴点D的坐标为（2.5，0），
∵函数经过点D，
∴，
∴；
∴抛物线的解析式为，
对于函数，当时，，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（2.5，0）和（3.5，0），
∵OB=0.03m，BC=2.74m，
∴OC=2.77m，即点C的坐标为（2.77，0），
当抛物线恰好经过点E时，则点E的坐标为（3.5，0），
∴此时CE=3.5-2.77=0.73m；
当抛物线恰好经过点F时，过点F作FM⊥x轴于M，
∴∠FME=90°，
∵∠EFM=60°，
∴∠EFM=30°，
∴，
∴，
∴点F的纵坐标为，
∴，
解得或，
又∵点E在点C右侧，即点E的横坐标大于2.77，故点F的横坐标大于2.77
∴点M的坐标为（3.3，0），
∴CE=CM-ME=3.3-2.77-0.08=0.45m，
∴CE=3.3-2.77=0.53m，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确求出抛物线L和的解析式是解题的关键．
核心考点四 其他问题
例1 （2020·山东淄博·统考中考真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是_____个．
【答案】210
【详解】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．
【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．
根据题意，完成下表：
由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．
故答案为：210．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的最值在x＝﹣时取得．
例2 （2022·四川成都·统考中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据题意，得-45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．
【详解】根据题意，得-45+3m+n=0，，
∴ ，
∴ ，
解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴n＞0，
∴，
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；
∴w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
当时，的取值范围是
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；
∴w=，w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．
例3 （2022·四川攀枝花·统考中考真题）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角的跳台A点以速度沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，，且．忽略空气阻力，请回答下列问题：
(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
【答案】(1)该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m
(2)
(3)他飞行2s后，垂直下降了22.5m
【分析】（1）以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作轴于点D．在中，利用求出即可；
（2）利用勾股定理求出，得到点B坐标，即可求出抛物线的解析式；
（3）将代入（2）的解析式求出y值即可．
【详解】（1）解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．
过点B作轴于点D．
在中，，
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；
（2）解：在中，，
，
由题意抛物线顶点为，经过．
设抛物线的解析式为，
则有，
，
抛物线的解析式为．
（3）解：当时，，
他飞行2s后，垂直下降了22.5m．
【点睛】此题考查了抛物线的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，锐角三角函数的应用，已知自变量求函数值，正确理解题意得到对应的数量关系是解题的关键．
二次函数的其他问题，主要在于应用二次函数的图象与性质，结合其他的知识点，求出二次函数的最值情况即可；
【变式1】（2021·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考二模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）(0°＜x≤90°)近似满足函数关系(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A．18°B．36°C．41°D．58°
【答案】C
【分析】根据题意将函数图像补全完整，根据图像即可求得．
【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，
∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41°，
∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41°时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性，判断出对称轴位置是解题关键．
【变式2】（2021·安徽淮南·统考二模）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3…如此变换进行下去，若点P（21，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣3D．3
【答案】C
【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以得到点A1的坐标，从而可以求得OA1的长度，然后根据题意，即可得到点P（21，m）中m的值和x＝1时对应的函数值互为相反数，从而可以解答本题．
【详解】解：∵y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，
∴点A1（4，0），
∴OA1＝4，
∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝4，
∵点P（21，m）在这种连续变换的图象上，
∴x＝21和x＝1时的函数值互为相反数，
∴﹣m＝﹣1×（1﹣4）＝3，
∴m＝﹣3，
故选：Ｃ．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
【变式3】（2022·湖北黄冈·统考三模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为______．
【答案】40米
【分析】以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，则可知点、 的横坐标，进而可得的长．
【详解】解：如图，以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：
∴，，
设抛物线的解析式为，将代入，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴，，
∴，
故答案为：40米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．解题的关键在于建立二次函数模型．体现了数形结合的思想．
【变式4】（2020·浙江温州·校联考模拟预测）小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部A下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口B流出，已知瓶子上部分的和的圆心分别为D，C，下部分的视图是矩形CGHD，GH＝10cm，GC＝8cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面GH的距离为16cm，且B，D，H三点共线．如果从喷口B流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C．E两点，接洗手液时，当手心O距DH的水平距离为2cm时，手心O距水平台面GH的高度为_____cm．
【答案】11．
【分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．
【详解】如图：
由题意可知：CD＝DE＝10cm，
根据题意，得C（﹣5，8），E（﹣3，14），B（5，16）．
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
因为抛物线经过C、E、B三点，
∴，
解得，
所以抛物线解析式为y＝-x2+x+．
当x＝7时，y＝11，
∴Q（7，11），
所以手心O距水平台面GH的高度为11cm．
故答案为11．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．
【变式5】（2022·河北唐山·统考三模）北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点A作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．
(1)当小张滑到离处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为米，则______，______．
(2)在（1）的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？
(3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．
【答案】(1)，4
(2)8米
(3)跳台滑出点的最小高度为米
【分析】(1)根据题意将点(0,4)和代入C2求出b、c的值即可；
(2)设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意列出方程，解出m即可；
(3)求出山坡的顶点坐标为，根据题意当时，运动员到达坡顶，即，可求得b的值，再由，根据题意可知，再解出c的取值范围即可解答．
【详解】（1）解：由题意可知抛物线过点(0,4)和，
将其分别代入解析式得：，
解得
故答案为：，4；
（2）解：设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（舍去），
故运动员运动的水平距离为8米时，运动员与小山坡的竖直距离为米；
（3）解：抛物线，
故当时，运动员到达坡顶，
即，解得，
，即，
解得：．即跳台滑出点的最小高度为米．
【点睛】本题考查了二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
【新题速递】
1．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）
A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟
【答案】C
【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：由题意知，函数经过点，
则，
解得：，
∴，
∴当时，可食用率最高，
∴最佳加工时间为3.75分钟，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键．
2．（2022·辽宁大连·统考三模）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2mB．6mC．8mD．10m
【答案】D
【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可．
【详解】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
∴令y=0，则=0，
整理得：x2-8x-20=0，
解得：x1=10，x2=-2（舍去），
∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
3．（2022·浙江温州·统考二模）已知抛物线与轴交于A，B两点，P为抛物线顶点，且当时，y随的增大而减小，若△ABP为等边三角形，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将抛物线表达式分别转化为两点式和顶点式，得到A（-1，0）、B（5，0）及顶点P（2，-9a）；过点P作与点H，结合等边三角形的性质，可知，，利用勾股定理计算PH的值，再由计算a值即可．
【详解】解：∵，
令，解得，，
即A（-1，0）、B（5，0）；
∵，
∴其顶点坐标为（2，-9a），对称轴为，
∵当时，y随的增大而减小，
∴抛物线开口向上，即，
∵△ABP为等边三角形，
∴，
如图，过点P作与点H，则，
在中，，
又∵，即（），
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与实际问题（图形问题）、等边三角形的性质以及勾股定理的知识，解题关键是准确作出图形并运用数形结合的思想分析问题．
4．（2022·安徽亳州·统考二模）已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个．顶点分别在菱形的四边上，则矩形PMNQ的最大面积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】连接AC，BD，得到ΔABC为等边三角形，设AP＝a，AE＝CFa，
从而求出EF=6-a，求出PQ=,即可得出S与a的函数关系式,即可得到答案.
【详解】解：如图：
连接AC，BD交于点O，AC分别交PQ，MN于点E，F．
∵菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠ABD＝30°，
∴AC＝AB＝6．
∵矩形MNQP，
∴PQ∥BD，PM＝EF，PQ⊥AC．
∴∠APE＝∠ABD＝30°，
设AP＝a，AE＝CFa，
∴EF＝PM＝6﹣a．
由勾股定理得：PE．
∴PQ＝2PEa．
∴S矩形PMNQ＝PM•PQa×（6﹣a）（﹣a2+6a）
（a﹣3）2+9．
∵0，
∴当a＝3时，矩形面积有最大值9．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质以及二次函数的性质，正确利用a表示出矩形PMNQ的面积是关键．
5．（2021·四川绵阳·统考三模）2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（ ）
A．250B．300C．200D．550
【答案】D
【分析】根据单日利润=单日的销售量×每瓶的利润－每日其他费用即可列出函数关系式，然后利用函数的最值问题即可求解 ．
【详解】解：根据题意，得

∴，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向下，有最大值，
又∵，
∴当时，，
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键．
6．（2022·广西钦州·统考二模）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．要使菜园的面积最大，则平行于墙面的边长为______．
【答案】15m
【分析】设平行于墙面的长为xm，根据矩形面积公式得出函数解析式，由x的取值范围结合函数性质即可得出函数最值时的x的值．
【详解】解：设平行于墙面的长为xm，则垂直于墙面的长为m，
菜园面积
＝
＝（0＜x≤18），
∴当x＝15 m时，S最大为m2．
故答案为：15m．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式，由自变量取值范围结合函数性质是解题的关键．
7．（2022·广西河池·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，D为线段OB上一点．过点D作x轴的垂线与抛物线交于点E，与直线BC相交于点F，则点E到直线BC距离d的最大值为_________．
【答案】
【分析】由抛物线的解析数求出点和点的坐标，从而求得直线的表达式，将向上平移于至与抛物线只有一个交点时，过点作于，直线的表达式为，根据抛物线与直线只有一个交点时，即，即可求得的值，则可求得，要求点E到直线BC距离d的最大值，即求的长度，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：当时，，
点的坐标为，
当时，即，
解得，，
点，点，
设直线的表达式为：，且过点和，
得，解得，
，
将向上平移于至与抛物线只有一个交点时，过点作于，如图所示，
要求点E到直线BC距离d的最大值，即求的长度，
则可设直线的表达式为：，
，
，
，
则，即，
由于只有一个交点，则，
解得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与抛物线的综合应用，根据题意，点E到直线BC距离d的最大值即可转化为求的长度，利用数形结合思想根据直线平移的性质及勾股定理的应用是解题的关键．
8．（2022·湖北黄冈·校联考模拟预测）矩形ABCD中，点P从点A出发，沿AB边以每秒1个单位的速度向B点运动，至B点停止；同时点Q也从A点出发，以同样的速度沿A-D-C-B的路径运动，至B点停止，在此过程中△APQ的面积y与运动时间t的函数关系图象如图所示，则m的值为________
【答案】24
【分析】根据△APQ的面积y与运动时间t的函数关系图象先算出矩形ABCD中AD边的长，然后根据最后运动时间为20s时，△APQ的面积为0，得出此时点Q运动到了点B上，得出，从而求出DC的长度，即可求出m的值．
【详解】当点Q在AD上时，△APQ的面积y与运动时间t的函数关系式为：，
根据函数图象可知，当点Q运动到D上时，，即，
解得，（不合题意舍去）
∴，
∵根据函数图象可知，Q点运动到B点用的时间为20s，
∴，
∴，
∴点P从A点运动到B点用的时间为：，
∴，
∴此时的面积为：，
即．
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了动点图象问题，涉及矩形的性质，三角形面积的计算，解决本题的关键是弄清楚不同时段，图象和图形的对应关系．
9．（2021·广东佛山·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上位于直线下方一动点，当时，点的坐标为__________．
【答案】(2，-3)
【分析】作点C关于x轴的对称点，连接B，则∠ABC=∠AB，从而得B∥CP，利用待定系数法，先求出直线B的解析式，再求出直线CP的解析式，进而即可求解．
【详解】解：作点C关于x轴的对称点，连接B，则∠ABC=∠AB，
∴∠CB=2∠ABC，
∵，
∴=∠CB，
∴B∥CP，
∵抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，
∴C的坐标为：（0，-2），B(4，0)，
∴(0，2)，
设直线B的解析式为：y=kx+b，
把(0，2)，B(4，0)代入y=kx+b，得：，解得：，
∴直线B的解析式为：y=x+2，
∵B∥CP，
∴设直线CP的解析式为：y=x+m，
把C（0，-2）代入y=x+m，得：m=-2，
∴直线CP的解析式为：y=x-2，
∴x-2=，解得：x1=2，x2=0（舍去），
∴P(2，-3)．
故答案是：(2，-3)．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数图像的综合，作点C关于x轴的对称点，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
10．（2021·陕西·三模）如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，点M是上一动点，取的中点为N，连接，则的最小值是________．
【答案】
【分析】如图（见解析），先根据矩形的性质可得，再根据一次函数的性质可设点的坐标为，从而可得，然后利用两点之间的距离公式可得，最后利用二次函数的性质即可得．
【详解】以点为原点，建立平面直角坐标系，如下图所示：
在矩形中，，点是的中点，
，
∴，
直线的函数解析式为，
设点的坐标为，
点是上一动点，
，
点是的中点，
，
由两点之间的距离公式得：，
由二次函数的性质得：在内，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为36，
因此，的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形与坐标、二次函数的性质等知识点，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
11．（2022·辽宁大连·校考模拟预测）新冠肺炎疫情后期，我县某药店进了一批口罩，成本价为元/个，投入市场销售，其销售单价不低于成本，按物价局规定销售利润率不高于．经一段时间调查，发现每天销售量（个）与销售单价（元/个）之间存在一次函数关系，且有两天数据为：销售价定为元，每天销售个；销售价定为元，每天销售个．
(1)直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)如果该药店销售口罩每天获得元的利润，那么这种口罩的销售单价应定为多少元？
(3)设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)元
(3)元，元
【分析】（1）设与之间的函数关系式为，用待定系数法可得与之间的函数关系式为，根据销售单价不低于成本，按物价局规定销售利润率不高于80%，可得；
（2）根据题意得：，即可解得答案；
（3）由题意得：，整理计算，再利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）设与之间的函数关系式为，将销售价定为元，每天销售个；销售价定为元，每天销售个代入得：
，解得，
与的函数关系式为，
销售单价不低于成本，按物价局规定销售利润率不高于，
，
解得，
；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：如果每天获得元的利润，销售单价应定为元；
（3）由题意得：
，
抛物线开口向下，有最大值，
时，最大值是，
答：销售单价定为元时，每天的利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查一元二次方程及二次函数的应用，解题关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系是．
12．（2022·山东泰安·校考二模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点点B（4，0），交y轴于点，点是线段上一点（与点O、B不重合），过点M作轴，交于点P，交抛物线于点Q，连接，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若，求的长；
(3)若在的延长线上有一点D，使与互相平分，求此时M、D的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）证明，则，即，即可求解；
（3）根据中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，点，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：设直线的表达式为：，
则，
解得：，
故直线的表达式为：，
∵），
∴，，
∴，
∵轴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，
解得，（舍去）
∴；
（3）解：设，
∵与互相平分，
∴，
解得或（舍去） ，
∴，．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、相似三角形的判定与性质、中点的坐标公式等，综合性很强，难度适宜．
13．（2022·湖北武汉·校考一模）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售量为y件．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
(3)若在销售过程中每一件商品有a（a > 1）元的其他费用，商家发现当售价每件不低于57元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)当销售定价为55或56元时，每个月的利润最大，最大为2400元；
(3)1＜a<4
【分析】（1）由题意得：y=（210-10x）（50+x-40），即可求解；
（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y=-10（x-5.5）2+2402.5，即可求解；
（3）由题意得：y=（210-10x）（50+x-40-a）=-10（x-21）（x+10-a），函数的对称轴为：x=（21-10+a），即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
y=210-10x（0＜x≤15且x为整数）；
（2）解：w=（210-10x）（50+x-40）
=-10x2+110x+2100
=-10（x-5.5）2+2402.5，（0＜x≤15且x为整数）
∵a=-10＜0，
∴当x=5.5时，w有最大值2402.5，
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x=5时，50+x=55，w=2400（元），
当x=6时，50+x=56，w=2400（元），
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；
（3）解：由题意得：w=（210-10x）（50+x-40-a）=-10（x-21）（x+10-a），
函数的对称轴为：x=（21-10+a），
售价每件不低于57元时，即x≥57-50=7，(且x是整数)
即临界点为：x=（21-10+a）=7.5，解得：a=4，
a的取值范围为：1＜a<4．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=-时取得．
14．（2022·山东青岛·校考二模）如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为，树高为，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
(3)求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．
【答案】(1)
(2)小球能飞过这棵树，理由见解析
(3)小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为
【分析】（1）根据最高点的坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求解；
（2）把分别代入和，即可得到答案；
（3）根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：小球到达的最高的点坐标为，
设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）当时，，，
，
小球能飞过这棵树；
（3）小球在飞行的过程中离斜坡的高度
，
小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
15．（2022·贵州遵义·校考一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
(1)请直接写出p与x之间的函数关系式：
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．
【答案】(1)
(2)这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大
(3)a的值为2．
【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．
【详解】（1）解：由表格的数据可知：p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，
则，
解得：k=-30，b=1500，
∴p=-30x+1500，
∴所求的函数关系为p=-30x+1500；
（2）解：设日销售利润w=p（x-30）=（-30x+1500）（x-30），
即，
∵-30<0，
∴当x=40时，w有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；
（3）解：日获利=p（x-30-a）=（-30x+1500）（x-30-a），
即，
对称轴为，
①若a＞10，则当x=45时，有最大值，
即=2250-150a＜2430（不合题意）；
②若0＜a≤10，则当x=40+a时，有最大值，
将x=40+a代入，可得，
当=2430时，，
解得=2，=38（舍去），
综上所述，a的值为2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
16．（2022·重庆铜梁·统考一模）如图1，二次函数（）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，点P是直线上方抛物线上一点，轴交于点D，交x轴于点E，求的最大值；
(3)在（2）的条件下，当取最大值时，点M在该抛物线的对称轴上，满足的周长最小，点N为该坐标平面内一点，是否存在以点A，B，M，N为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或．
【分析】（1）先由点的坐标求得的长，然后结合的大小求得的值，即可得到点的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）过点作轴交于点，然后结合得到四边形为平行四边形，进而得到，然后求得直线的解析式，设点的坐标，进而得到点和点的坐标，从而求得和的长，再利用二次函数的性质求得最大值；
（3）求出直线的解析式为，得出，分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案．
（1）
因为二次函数解析式为，
点的坐标为，
，
，
，
点的坐标为，
由抛物线经过点，设抛物线的解析式为，
将点代入解析式为，
，
抛物线的解析式为．
（2）
过点作轴交于点，
，
四边形为平行四边形，
，
，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
轴，
点和点的纵坐标相等，即，
，
点的坐标为，，
，
，
当时，的最大值为；
（3）
由（2）可得点的坐标为，
抛物线的解析式为．
抛物线的对称轴为，
连接交抛物线的对称轴于点，则的周长最小，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
又，
存在以点，，，为顶点的平行四边形，
若以为平行四边形的一边，
，
或，
若以为平行四边形的一条对角线，
．
综上所述，存在以点，，，为顶点的平行四边形，点的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的解析式轴对称的性质，一次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟知函数图象上点的坐标特征，并会用含由未知数的式子表示函数图象上点的坐标是解题的关键．
核心考点
核心考点一 销售、利润问题
核心考点二 图形面积问题
核心考点三 抛物线型问题（拱桥、隧道等）
核心考点四 其他问题
新题速递
销售价格x(元/千克)
30
35
40
45
50
日销售量p(千克)
600
450
300
150
0
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
t（s）
0
0.2
0.4
0.6
0.8
．．．
x（m）
0
0.5
1
1.5
2
．．．
y（m）
0.25
0.4
0.45
0.4
0.25
．．．
服务驿站序号
在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1
n﹣1
2
（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3
2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4
3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5
4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
…
…
n
0
消毒液
每瓶售价（元）
每瓶成本（元）
每日其他费用（元）
每日最大产销量（瓶）
30
18
1200＋0.02x2
250
销售价格x(元/千克)
30
35
40
45
50
日销售量p(千克)
600
450
300
150
0