最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题14 全等三角形（5大考点）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
第四部分 三角形
专题14 全等三角形（5大考点）
核心考点一 全等三角形的判定
例1 （2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ）
A．24B．22C．20D．18
例2 （2022·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为_________
例3 （2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
知识点、全等三角形的判定
一、全等三角形判定1——“边边边”
定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.

二、全等三角形判定2——“边角边”
定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△.
注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
三、全等三角形判定3——“角边角”
定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.

四、全等三角形判定4——“角角边”
定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
3.三角形证全等思路
五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”
定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【变式1】（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在中，，，，AE平分∠BAC，且于点E，点D为的中点，连接，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
【变式2】（2022·重庆长寿·统考模拟预测）如图，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，点D在边BC上，且CD＝3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A'恰好落在边OC上，则OE的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2022·河南郑州·河南省实验中学校考模拟预测）如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，正方形的对角线交于点O，连接．已知，则________．
【变式4】（2021·四川眉山·统考三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②G为BC的中点；③CF∥AG；④，其中正确结论的序号是 _______．
【变式5】（2023·陕西西安·统考一模）如图①，在中，，是的中点，为内一点，连接并延长到，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)如图②，探索当与满足什么数量关系时，，并说明理由．
核心考点二 全等三角形的性质
例1 （2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
例2 （2021·山东日照·统考中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，与全等．
例3 （2022·江苏常州·统考中考真题）在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”．
(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
(2)如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长；
(3)在四边形中，EH//FG．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值．
知识点、全等三角形的性质
①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等；
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
【变式1】（2022·重庆·校联考一模）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，设△ABC的面积为S，△CEF的面积为S1，△ADF的面积为S2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021·辽宁沈阳·统考一模）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学校考模拟预测）如图，△ABC中，AB=5，AC=4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH=2，则△ABG的面积为________．
【变式4】（2022·广东深圳·模拟预测）如图，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC＝1，则图中三个阴影部分的面积和为___________．
【变式5】（2022·广东梅州·统考一模）如图，在四边形中，，，，点A，，依次在同一直线上．
(1)求证：；
(2)当，时，求的长．
核心考点三 全等三角形中的倍长中线模型
例1 （2021·浙江湖州·统考二模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（ ）．
A．2B．C．D．3
例2 （2021·河南周口·统考二模）如图，在中，，，为边的中点，若，则的长度为______．
例3 （2021·山东东营·统考中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是________．
（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．
延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍，这样做的目的是构造一对对顶角，相等的全等三角形能够把已知的边或角转移到同一个三角形当中进行求解相关的边或角相等。
也就是说倍长中线的模型是当题目当中出现中线或中点时，可尝试利用倍长中线法来构造全等三角形，证明线段间的数量关系。该类型经常会与中位线定理一起进行综合使用，所以在做遇到中线的题型时，我们考虑的方向主要有被长中线定理以及三角形的中位线定理，看在实际的运用当中符合哪种类型再做选择。
【变式1】（2022·浙江·九年级自主招生）如图，在中，，D是的中点，则的长是（ ）
A．3B．C．5D．前三个答案都不对
【变式2】（2021秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，中，AD为中线，，，，则AC长（ ）
A．2.5B．2C．1D．1.5
【变式3】（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD上一点，BE=AC．若∠C=70°，∠DAC=50°，则∠EBD的度数为__________________．
【变式4】（2022·湖北荆州·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，E，F分别为，的中点，．若，，则的长为________．
【变式5】（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：已知，如图1，中，若，，点D为边中点，求边上的中线的取值范围．
经过小组合作交流，找到了解决方法：“倍长中线法”．
(1)请按照上面的思维框图，完成证明．
【探究应用】
(2)已知：如图2，中，是边上的中线，E在边上，连接交于F，且．求证：；
【拓展延伸】
(3)如图3，若，，，是边上的中线，E是上一点，连接交于点F，且，求的长．
核心考点四 全等三角形中的旋转模型
例1 （四川遂宁·中考真题）已知如图，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF=EF，②BF=，③AF=，④S△MEF=中正确的是
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
例2 （2021·四川绵阳·统考中考真题）如图，、都是等腰直角三角形，，，，．将绕点逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，则______．
例3 （2021·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【问题发现】
小明研究了时，如图1，求出了___________，___________；
小红研究了时，如图2，求出了___________，___________；
【类比探究】
他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)．
（2）求出时的值和的度数．
模型 不共顶点旋转模型
【模型特征】此模型是通过将三角形绕对称中心旋转180°后，再进行平移而得到，注意运用线段的和差找出相等线段.
共顶点旋转模型(手拉手模型)
【模型特征】此模型可看成是将两个三角形（或正方形等图形）绕着某一个公共顶点旋转一定的角度所构成的.在旋转过程中，两个三角形无重叠或有重叠，运用角的和差得到等角.
【变式1】（2022·山东日照·校考二模）如图，O是正内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（ ）
A．点O与的距离为4B．
C．S四边形AOBO′D．
【变式2】（2021·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到，使得点恰好落在上，则线段的长为（ ）
A．B．5C．D．
【变式3】（2022·湖北黄冈·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P的坐标是（0，3），把线段AP绕点P逆时针旋转90°后得到线段PQ，则点Q的坐标是__________．
【变式4】（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，若点M是AB的中点，点D在直线CB上，将MD绕点M顺时针旋转90°得到MN，连接AN，则AN+MN的最小值为 _____．
【变式5】（·吉林长春·统考二模）如图1，在等腰Rt中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值．
核心考点五 全等三角形的综合问题
例1 （2021·广西河池·统考中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，，，则AF的长是（ ）
A．B．C．D．
例2 （2022·海南·统考中考真题）如图，正方形中，点E、F分别在边上，，则___________；若的面积等于1，则的值是___________．
例3 （2021·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知四边形是正方形，点在边的延长线上，连接交于点，过点作，垂足为点，的延长线交于点，交的延长线于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形都与全等，
随着素质教育不断深入，新课程标准的全面实施，关于三角形全等问题的中考题，已不在是课本上的封闭的单一的证明题型一统天下了，出现了许多新题型，这类题更能考查同学们的灵活运用知识的能力和创新精神及实践能力；
全等三角形的综合问题主要灵活运用全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的辅助线添加方法：倍长中线模型、旋转模型、垂线模型等，再结合其他知识点综合运用，尤其是近几年常考的类比探究题型，要循序渐进、由简入难，不断深入探究才能解决问题.
【变式1】（2023·重庆·校考模拟预测）如图，正方形的边长为，点、分别为边、上的点，点分别为边、上的点，线段与的夹角为则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）如图，在正方形纸片中，点为正方形边上的一点不与点，点重合，将正方形纸片折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，折痕为，连接、，交于点下列结论：①是等腰三角形；②；③平分；④；⑤，其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2022·内蒙古包头·包钢第三中学校考三模）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，若，四边形的面积为40．则______．
【变式4】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在正方形中,点G为边上的动点,点H为边上的动点,且满足,连接,分别交正方形的对角线于F，E两点,则下列结论中正确的有___________．（填序号即可）．
① ② ③ ④
【变式5】（2023·山东泰安·校考模拟预测）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：
(1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
(2)如图3，在中，D是上一点，
，求点C到边的距离．
(3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若
，求 的值．
【新题速递】
1．（2022·贵州·模拟预测）在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江温州·统考模拟预测）如图，直线上有三个正方形，，，若，的边长分别为和，则正方形的面积为（ ）
A．B．C．D．无法确定
3．（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）如图，在中，，平分交AC于D，是的垂直平分线，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）如图，是的中线，交的延长线于点，，，则的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至点，若，，则线段的长度为（ ）
A．2B．C．D．
6．（2022·新疆乌鲁木齐·校考三模）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当最小时，的面积是（ ）
A．2B．1C．6D．7
7．（2022·山东济南·统考一模）如图，中，，，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线，在射线上任取一点D，连接．若，则的长为（ ）
A．10B．11C．12D．6
8．（2022·广东揭阳·校考二模）如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·湖南衡阳·校考一模）如图所示，点O在一块直角三角板上（其中），于点M，于点N，若，则_______度．
10．（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）已知，，，直线l过直角顶点A，分别过点B、C向直线l作垂线，垂足分别为E、F，，，则______．
11．（2020·山东德州·统考三模）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E＝30°，且AB＝CE，则∠BAE的度数为_____．
12．（2022·贵州铜仁·模拟预测）已知，，若平面上存在点使，当时，则 ______ ．
13．（2022·广东东莞·校联考一模）正方形的边长为，E为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，则______．
14．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考三模）如图，正方形的边长是，点，分别是，边上的点，且满足，，连接，交于点，交于点，则四边形的面积为______．
15．（2022·广东东莞·校考一模）如图，是菱形的对角线，．
(1)请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为E，交于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）条件下，连接，求的度数．
16．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
17．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考一模）如图，ABCD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
(1)求证：AP平分∠CAB；
(2)若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．
18．（2023·上海长宁·统考一模）已知：如图，在中，点在边上，且，边的垂直平分线交边于点，交于点．
(1)求证：；
(2)如果的面积为，且，，求的面积．
19．（2023·山东济南·一模）如图1，在中，，D，E两点分别在上，且，将绕点A顺时针旋转，记旋转角为．
(1)问题发现 当时，线段的数量关系是 ；
(2)拓展探究 当时，（1）中的结论有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)问题解决 设，旋转至A，B，E三点共线时，直接写出线段的长．
20．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，．
(1)操作发现
如图②，固定，使绕点C旋转，当点D恰好落在边上时，
①求线段与的位置关系；
②设的面积为，的面积为，求与的数量关系．
(2)猜想论证
当绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想．
核心考点
核心考点一 全等三角形的判定
核心考点二 全等三角形的性质
核心考点三 全等三角形中的倍长中线模型
核心考点四 全等三角形中的旋转模型
核心考点五 全等三角形综合问题
新题速递
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS