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最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题22 尺规作图（5大考点）
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这是一份最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题22 尺规作图（5大考点），文件包含专题22尺规作图5大考点原卷版docx、专题22尺规作图5大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共90页， 欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
第六部分 图形的变化
专题22 尺规作图（5大考点）
核心考点一 尺规作图—作线段
例1 （2022·江苏南通·统考中考真题）【阅读材料】
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形是菱形．
例2 （2022·广西贵港·中考真题）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作，使．
例3 （2020·湖北咸宁·中考真题）如图，在中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，在上截取，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在内找一点P，使（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）
作一条线段等于已知线段。先用直尺画一条射线，再用圆规量取已知线段长度，再在画出的直线段上量取等长线段即可。这种是最简单的尺规作图，但是要学会用准确的语言表述作图的基本步骤。
【变式1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式2】（2023·福建福州·统考一模）如图，P为外一点，M为中点．
(1)过点P作的一条切线，且Q为切点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，求证：点M在上．
【变式3】（2022·河南安阳·模拟预测）阅读材料：
我们曾经解决过如下问题：“如图，点，分别在直线同侧，如何在直线上找到一个点，使得最小？”
我们可以经过如下步骤解决这个问题：
①画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，，根据题目需要，作点关于直线的对称点，将转化为，“化曲为直”寻找的最小值；
②设计画图步骤；
③回答结论并验证．
借鉴阅读材料中解决问题的三个步骤完成以下尺规作图：
已知三条线段，，，求作，使其边上的高，中线，．
(1)请先画草图画出一个即可，并叙述简要的作图思路即实现目标图的大致作图步骤；
(2)完成尺规作图不要求写作法，作出一个满足条件的三角形即可．
核心考点二 尺规作图—作角（角平分线）
例1 （2022·宁夏·中考真题）如图，四边形中，ABDC，，于点．
(1)用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接．求证：四边形是菱形．
例2 （2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：AD＝AE．
例3 （2022·黑龙江绥化·统考中考真题）已知：．
(1)尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积．
1、作角：作一个角等于已知角。它的基本原理是利用全等三角形的判定和性质，作射线O' A';以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA,OB于点C,D;以点O'为圆心，以OC为半径作弧，交O'A'于点C';以点C'为圆心，以CD为半径作弧，交O'B'于点D';.经过点D'作射线O'B'，则角 A'O'B'就是所求的角。
2、作角平分线：作已知角的角平分线。作出△ABC的角平分线BD，用圆规在BA、BC边上分别截取等长的两线段BD、BE；分别以点D、点E为圆心，以相同半径画弧，两弧交点为O；连接BO；射线BO便是角ABC的平分线。这样做的原理，实际上是利用了三角形全等的一个判定定理（边边边定理）。
【变式1】（2023·广东云浮·校考一模）如图，在中，D是边上的一点，．
(1)尺规作图：作平分，交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：．
【变式2】（2023·山西忻州·统考一模）如图，平分，E，F分别是射线，上的点，连接交于点N．
(1)尺规作图：作平分，并交于点P；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的情况下，若，，连接．试判断四边形的形状，并加以证明．
【变式3】（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图1和图2所示，在平行四边形中，点M为对角线上的一点，点N为边上的一点，且点A和点N关于直线对称．
(1)请用尺规作图的方法在图1中确定点M，N的位置（保留作图痕迹，不用写出作法）；
(2)如图2所示，若，，．
①求B，M两点之间的距离；
②连接，请直接写出和的长为多少，不用说明理由．
核心考点三 尺规作图—三角形（等腰三角形）
例1 （2021·江苏南京·统考中考真题）如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求：
（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
例2 （广西贵港·中考真题）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知，请根据“”基本事实作出，使.
例3 （山东青岛·统考中考真题）已知： ∠α，直线及上两点 A， B．
求作： Rt△ABC ，使点 C 在直线的上方，且∠ABC=90°， ∠BAC=∠α．
【变式1】（2022·吉林·统考二模）如图，点D为线段BC中点，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点A．连接AB，AC，过点D作，，垂足分别为E，F，求证．
【变式2】（2022·福建福州·福州三牧中学校考一模）如图，已知，OP是的平分线，点A是OM上一点，于点E交OP于点D，的平分线AG与OP交于点F．
(1)作点A关于OP对称点B（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)写出一个的值，使得对于射线OM上任意的点A总有（点A不与点O重合），并证明．
【变式3】（2022·浙江温州·温州市第二实验中学校考二模）如图，在的网格中，小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，格点如图所示，请按要求在网格中画格点三角形．
(1)在图1中画等腰，使与面积相等但不全等．
(2)在图2中画，使与面积相等，且满足．
核心考点四 尺规作图—作圆
例1 （2022·福建·统考中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
(1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．
例2 （2021·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知锐角中，．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则________．（如需画草图，请使用图2）
例3 （2022·甘肃武威·统考中考真题）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系．
作圆：过不在同一直线上的三点作圆。连接三个不在一条直线的点 可以确定一个且只有一个三角形因为是三角形的外接圆圆心到三个点的距离等于半径所以随便取两条边做两条边的垂直平分线两条不平行的直线可以确定唯一的一个点 ，以此点为圆心，到三角形任意一顶点为半径画圆，这个圆就是此三角形的外接圆。
【变式1】（2023·山东青岛·统考一模）已知：．求作：的外接圆内的点P，使，．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
【变式2】（2023·山东·统考一模）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，，，在上，作经过，两点且与相切．
【变式3】12．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知中，，．
(1)求作：，使得圆心O落在AB边上，且经过A、C两点；（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）
(2)在（1）所作的图形中，若与AB相交于D，连接CD，
①求证：直线BC是的切线；
②求的值．
核心考点五 格点作图题
例1 （2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
(1)在图1中画一条线段垂直．
(2)在图2中画一条线段平分．
例2 （2022·贵州六盘水·统考中考真题）“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点的距离相等．
(1)利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在图中格点处标出三个符合条件的停车位，，；
(3)建立平面直角坐标系，设，，停车位，请写出与之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点是否在停车带上．
格点作图问题作为中考的新宠儿，自从登上中考试卷之后，迅速的在初中各年级考试当中铺开，并且难度有逐年加大的趋势.
格点作图的基本技巧
（一）水平r竖直方向上画任意有理长度
诀窍：利用相似和比例线段相关知识，综合使用“A型相似”或者“X型相似”.
（二）任意点关于任意有理网格线的对称点
诀窍：两线相交可定点，故作直线关于网格线的对称来确定对称点，而直线的对称又通过特殊点关于网格线对称进行表述.
（三）任意点关于任意有理网格线的垂线或者平行线
诀窍：对称点相连即可得平行r垂直
（四）平移：任意点进行水平r竖直方向上任意有理长度的平移
诀窍：两线相交可定点. 根据(三)可作过点A的平行线，同时结合过点A的蓝色直线平移便可得到A`. 蓝色直线的平移转化成特殊点的平移.
（五）任意线段取任意有理等分点
诀窍：由(四)可知，可作任意点关于任意有理长度在水平或者竖直方向的平移，所以取线段AB的三等分点构建X型相似即可. 点A往下平移1个单位长度变成，点B往上平移两个单位长度变成.
【变式1】（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，在6×7的网格图中，每个小正方形的边长为1， 的顶点均为格点
(1)在图①中，借助网格和无刻度的直尺画出的高；
(2)在图②中，连接点B与格点D．点P是的中点，点Q为上的一动点，当的周长最小时，请利用网格和无刻度的直尺确定点P、Q的位置，并画出．
【变式2】（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹，不要求写出作法．
(1)在图1中的线段上找一点D，连结，使；
(2)在图2中的线段上找一点E，连结，使．
【变式3】15．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示.
(1)在图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段；连接交于F，则______
(2)在图2中，在线段上画点Q，连接，使得
(3)在图3中，分别在线段，线段上画M，N连接，，使得最小.
【新题速递】
1．（2023·河南周口·校考一模）如图，在平行四边形中，以点A为圆心，长为半径作弧交于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点F，若，，则的周长为（ ）
A．11B．12C．13D．14
2．（2023·广东惠州·校考一模）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线交于点F，交于点G，连结．若，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
3．（2023·广东深圳·统考一模）如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于，；②分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交OA于点I．若测得，则点E到的距离为（ ）
A．B．3C．D．
4．（2022·山东枣庄·校考一模）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，已知与，分别以，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H．下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·河南南阳·校联考一模）如图，在平行四边形中，．①以点B为圆心，适当长为半径作弧分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点Q；③作射线交于点P，交的延长线于点E，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·广西桂林·统考一模）如图，在中，，以点B为圆心，以合适长度为半径作弧，分别交于N，M两点，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则CD的长度为( )
A．B．C．D．2
8．（2022·广东·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则___________°．
10．（2023·广东深圳·二模）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交于点D和点E，若，，则的周长为______．
11．（2023·广东深圳·统考一模）如图所示，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交、于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点，若，．则的长为_______．
12．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，中，，以点B为圆心，的长为半径画弧交于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接交AC于点D，若，则是___________°．
13．（2023·河北·统考模拟预测）如图，，以为圆心，为半径作弧交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，为上一动点，连接，．
(1)的度数是________．
(2)阴影部分周长的最小值为________．
14．（2023·广东云浮·校考一模）如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F，作射线，交于点G，若，则的长为 _____．
15．（2022·江西新余·新余市第一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，以点为圆心，任意长为半径画弧，交正半轴于点，交轴正半轴于点，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接，若，则点P的坐标_______．
16．（2023·河南商丘·校考一模）如图，为半圆O的直径，点C为⊙O上一点，连接，且，按以下步骤操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧交于点M，交于点N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线交⊙O于点D，交于点E，若，则的长为 _____．
17．（2023·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，连接．
(1)尺规作图：在第一象限作点B，使得，；（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注点B）
(2)求线段的解析式；
(3)若反比例函数的图象经过点A．点B是否在反比例函数的函数图象上？说明理由．
18．（2022·贵州遵义·统考一模）小明学习菱形时，对矩形进行了画图探究，其作法和图形如下：
①连接；
②分别以点，为圆心，大于长的一半为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，交于点，交于点；
③连接，．
(1)根据以上作法，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
19．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，矩形内接于⊙O．请用直尺（不带刻度）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
(1)在图1中，作出圆心O；
(2)在如图2中， 点E是边的中点，连接， 作出的角平分线．
20．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上．
(1)在图①中画出一个以为边的，使顶点D，E在格点上．
(2)在图②中画出一条恰好平分周长的直线l（至少经过两个格点）．
(3)如图③，中，于点M，若于点N，请仅用无刻度的直尺在图③中作出符合题意的点N．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
21．（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中画的中点D；
(2)在图（1）中的⊙O上画一点E，连接BE，使∠ABE＝45°；
(3)如图（2），延长BA至格点F处，连接CF．
①直接写出∠F的度数；
②P为CF上一点，连接BP，将PB绕点B顺时针旋转90°得到QB，画出线段QB．
22．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用．
(1)作图（保留作图痕迹）：
已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点，
①作线段OP的中垂线MN交OP于点Q；
②以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F；
③连接PE和PF；
试说明PE是圆O切线的理由．
(2)计算：
若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度．
核心考点
核心考点一 尺规作图—作线段
核心考点二 尺规作图—作角（角平分线）
核心考点三 尺规作图—作三角形（等腰三角形）
核心考点四 尺规作图—作圆
核心考点五 格点作图题
新题速递
老师的问题：
已知：如图，．
求作：菱形，使点C，D分别在上．
小明的作法：
（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点D；
（2）以B为圆心，长为半经画弧，交于点C；
（3）连接．
四边形就是所求作的菱形，
原文
释义
甲乙丙为定直角．
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；
乙与己及庚相连作线．
如图2，为直角．
以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，；
以点为圆心，以长为半径画弧与交于点；
再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点；
作射线，．
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
第六部分 图形的变化
专题22 尺规作图（5大考点）
核心考点一 尺规作图—作线段
例1 （2022·江苏南通·统考中考真题）【阅读材料】
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形是菱形．
例2 （2022·广西贵港·中考真题）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作，使．
例3 （2020·湖北咸宁·中考真题）如图，在中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，在上截取，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在内找一点P，使（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）
作一条线段等于已知线段。先用直尺画一条射线，再用圆规量取已知线段长度，再在画出的直线段上量取等长线段即可。这种是最简单的尺规作图，但是要学会用准确的语言表述作图的基本步骤。
【变式1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式2】（2023·福建福州·统考一模）如图，P为外一点，M为中点．
(1)过点P作的一条切线，且Q为切点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，求证：点M在上．
【变式3】（2022·河南安阳·模拟预测）阅读材料：
我们曾经解决过如下问题：“如图，点，分别在直线同侧，如何在直线上找到一个点，使得最小？”
我们可以经过如下步骤解决这个问题：
①画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，，根据题目需要，作点关于直线的对称点，将转化为，“化曲为直”寻找的最小值；
②设计画图步骤；
③回答结论并验证．
借鉴阅读材料中解决问题的三个步骤完成以下尺规作图：
已知三条线段，，，求作，使其边上的高，中线，．
(1)请先画草图画出一个即可，并叙述简要的作图思路即实现目标图的大致作图步骤；
(2)完成尺规作图不要求写作法，作出一个满足条件的三角形即可．
核心考点二 尺规作图—作角（角平分线）
例1 （2022·宁夏·中考真题）如图，四边形中，ABDC，，于点．
(1)用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接．求证：四边形是菱形．
例2 （2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：AD＝AE．
例3 （2022·黑龙江绥化·统考中考真题）已知：．
(1)尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积．
1、作角：作一个角等于已知角。它的基本原理是利用全等三角形的判定和性质，作射线O' A';以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA,OB于点C,D;以点O'为圆心，以OC为半径作弧，交O'A'于点C';以点C'为圆心，以CD为半径作弧，交O'B'于点D';.经过点D'作射线O'B'，则角 A'O'B'就是所求的角。
2、作角平分线：作已知角的角平分线。作出△ABC的角平分线BD，用圆规在BA、BC边上分别截取等长的两线段BD、BE；分别以点D、点E为圆心，以相同半径画弧，两弧交点为O；连接BO；射线BO便是角ABC的平分线。这样做的原理，实际上是利用了三角形全等的一个判定定理（边边边定理）。
【变式1】（2023·广东云浮·校考一模）如图，在中，D是边上的一点，．
(1)尺规作图：作平分，交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：．
【变式2】（2023·山西忻州·统考一模）如图，平分，E，F分别是射线，上的点，连接交于点N．
(1)尺规作图：作平分，并交于点P；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的情况下，若，，连接．试判断四边形的形状，并加以证明．
【变式3】（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图1和图2所示，在平行四边形中，点M为对角线上的一点，点N为边上的一点，且点A和点N关于直线对称．
(1)请用尺规作图的方法在图1中确定点M，N的位置（保留作图痕迹，不用写出作法）；
(2)如图2所示，若，，．
①求B，M两点之间的距离；
②连接，请直接写出和的长为多少，不用说明理由．
核心考点三 尺规作图—三角形（等腰三角形）
例1 （2021·江苏南京·统考中考真题）如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求：
（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
例2 （广西贵港·中考真题）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知，请根据“”基本事实作出，使.
例3 （山东青岛·统考中考真题）已知： ∠α，直线及上两点 A， B．
求作： Rt△ABC ，使点 C 在直线的上方，且∠ABC=90°， ∠BAC=∠α．
【变式1】（2022·吉林·统考二模）如图，点D为线段BC中点，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点A．连接AB，AC，过点D作，，垂足分别为E，F，求证．
【变式2】（2022·福建福州·福州三牧中学校考一模）如图，已知，OP是的平分线，点A是OM上一点，于点E交OP于点D，的平分线AG与OP交于点F．
(1)作点A关于OP对称点B（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)写出一个的值，使得对于射线OM上任意的点A总有（点A不与点O重合），并证明．
【变式3】（2022·浙江温州·温州市第二实验中学校考二模）如图，在的网格中，小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，格点如图所示，请按要求在网格中画格点三角形．
(1)在图1中画等腰，使与面积相等但不全等．
(2)在图2中画，使与面积相等，且满足．
核心考点四 尺规作图—作圆
例1 （2022·福建·统考中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
(1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．
例2 （2021·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知锐角中，．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则________．（如需画草图，请使用图2）
例3 （2022·甘肃武威·统考中考真题）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系．
作圆：过不在同一直线上的三点作圆。连接三个不在一条直线的点 可以确定一个且只有一个三角形因为是三角形的外接圆圆心到三个点的距离等于半径所以随便取两条边做两条边的垂直平分线两条不平行的直线可以确定唯一的一个点 ，以此点为圆心，到三角形任意一顶点为半径画圆，这个圆就是此三角形的外接圆。
【变式1】（2023·山东青岛·统考一模）已知：．求作：的外接圆内的点P，使，．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
【变式2】（2023·山东·统考一模）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，，，在上，作经过，两点且与相切．
【变式3】12．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知中，，．
(1)求作：，使得圆心O落在AB边上，且经过A、C两点；（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）
(2)在（1）所作的图形中，若与AB相交于D，连接CD，
①求证：直线BC是的切线；
②求的值．
核心考点五 格点作图题
例1 （2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
(1)在图1中画一条线段垂直．
(2)在图2中画一条线段平分．
例2 （2022·贵州六盘水·统考中考真题）“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点的距离相等．
(1)利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在图中格点处标出三个符合条件的停车位，，；
(3)建立平面直角坐标系，设，，停车位，请写出与之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点是否在停车带上．
格点作图问题作为中考的新宠儿，自从登上中考试卷之后，迅速的在初中各年级考试当中铺开，并且难度有逐年加大的趋势.
格点作图的基本技巧
（一）水平r竖直方向上画任意有理长度
诀窍：利用相似和比例线段相关知识，综合使用“A型相似”或者“X型相似”.
（二）任意点关于任意有理网格线的对称点
诀窍：两线相交可定点，故作直线关于网格线的对称来确定对称点，而直线的对称又通过特殊点关于网格线对称进行表述.
（三）任意点关于任意有理网格线的垂线或者平行线
诀窍：对称点相连即可得平行r垂直
（四）平移：任意点进行水平r竖直方向上任意有理长度的平移
诀窍：两线相交可定点. 根据(三)可作过点A的平行线，同时结合过点A的蓝色直线平移便可得到A`. 蓝色直线的平移转化成特殊点的平移.
（五）任意线段取任意有理等分点
诀窍：由(四)可知，可作任意点关于任意有理长度在水平或者竖直方向的平移，所以取线段AB的三等分点构建X型相似即可. 点A往下平移1个单位长度变成，点B往上平移两个单位长度变成.
【变式1】（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，在6×7的网格图中，每个小正方形的边长为1， 的顶点均为格点
(1)在图①中，借助网格和无刻度的直尺画出的高；
(2)在图②中，连接点B与格点D．点P是的中点，点Q为上的一动点，当的周长最小时，请利用网格和无刻度的直尺确定点P、Q的位置，并画出．
【变式2】（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹，不要求写出作法．
(1)在图1中的线段上找一点D，连结，使；
(2)在图2中的线段上找一点E，连结，使．
【变式3】15．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示.
(1)在图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段；连接交于F，则______
(2)在图2中，在线段上画点Q，连接，使得
(3)在图3中，分别在线段，线段上画M，N连接，，使得最小.
【新题速递】
1．（2023·河南周口·校考一模）如图，在平行四边形中，以点A为圆心，长为半径作弧交于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点F，若，，则的周长为（ ）
A．11B．12C．13D．14
2．（2023·广东惠州·校考一模）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线交于点F，交于点G，连结．若，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
3．（2023·广东深圳·统考一模）如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于，；②分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交OA于点I．若测得，则点E到的距离为（ ）
A．B．3C．D．
4．（2022·山东枣庄·校考一模）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，已知与，分别以，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H．下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·河南南阳·校联考一模）如图，在平行四边形中，．①以点B为圆心，适当长为半径作弧分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点Q；③作射线交于点P，交的延长线于点E，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·广西桂林·统考一模）如图，在中，，以点B为圆心，以合适长度为半径作弧，分别交于N，M两点，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则CD的长度为( )
A．B．C．D．2
8．（2022·广东·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则___________°．
10．（2023·广东深圳·二模）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交于点D和点E，若，，则的周长为______．
11．（2023·广东深圳·统考一模）如图所示，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交、于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点，若，．则的长为_______．
12．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，中，，以点B为圆心，的长为半径画弧交于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接交AC于点D，若，则是___________°．
13．（2023·河北·统考模拟预测）如图，，以为圆心，为半径作弧交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，为上一动点，连接，．
(1)的度数是________．
(2)阴影部分周长的最小值为________．
14．（2023·广东云浮·校考一模）如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F，作射线，交于点G，若，则的长为 _____．
15．（2022·江西新余·新余市第一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，以点为圆心，任意长为半径画弧，交正半轴于点，交轴正半轴于点，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接，若，则点P的坐标_______．
16．（2023·河南商丘·校考一模）如图，为半圆O的直径，点C为⊙O上一点，连接，且，按以下步骤操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧交于点M，交于点N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线交⊙O于点D，交于点E，若，则的长为 _____．
17．（2023·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，连接．
(1)尺规作图：在第一象限作点B，使得，；（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注点B）
(2)求线段的解析式；
(3)若反比例函数的图象经过点A．点B是否在反比例函数的函数图象上？说明理由．
18．（2022·贵州遵义·统考一模）小明学习菱形时，对矩形进行了画图探究，其作法和图形如下：
①连接；
②分别以点，为圆心，大于长的一半为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，交于点，交于点；
③连接，．
(1)根据以上作法，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
19．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，矩形内接于⊙O．请用直尺（不带刻度）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
(1)在图1中，作出圆心O；
(2)在如图2中， 点E是边的中点，连接， 作出的角平分线．
20．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上．
(1)在图①中画出一个以为边的，使顶点D，E在格点上．
(2)在图②中画出一条恰好平分周长的直线l（至少经过两个格点）．
(3)如图③，中，于点M，若于点N，请仅用无刻度的直尺在图③中作出符合题意的点N．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
21．（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中画的中点D；
(2)在图（1）中的⊙O上画一点E，连接BE，使∠ABE＝45°；
(3)如图（2），延长BA至格点F处，连接CF．
①直接写出∠F的度数；
②P为CF上一点，连接BP，将PB绕点B顺时针旋转90°得到QB，画出线段QB．
22．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用．
(1)作图（保留作图痕迹）：
已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点，
①作线段OP的中垂线MN交OP于点Q；
②以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F；
③连接PE和PF；
试说明PE是圆O切线的理由．
(2)计算：
若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度．
核心考点
核心考点一 尺规作图—作线段
核心考点二 尺规作图—作角（角平分线）
核心考点三 尺规作图—作三角形（等腰三角形）
核心考点四 尺规作图—作圆
核心考点五 格点作图题
新题速递
老师的问题：
已知：如图，．
求作：菱形，使点C，D分别在上．
小明的作法：
（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点D；
（2）以B为圆心，长为半经画弧，交于点C；
（3）连接．
四边形就是所求作的菱形，
原文
释义
甲乙丙为定直角．
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；
乙与己及庚相连作线．
如图2，为直角．
以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，；
以点为圆心，以长为半径画弧与交于点；
再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点；
作射线，．
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