最新中考数学重难点与压轴题型训练（讲义） 专题16 反比例函数与几何图形综合问题（重点突围）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题16 反比例函数与几何图形综合问题
【中考考向导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc9800" 【直击中考】 PAGEREF _Tc9800 \h 1
\l "_Tc8711" 【考向一 反比例函数中K值的几何意义】 PAGEREF _Tc8711 \h 1
\l "_Tc23173" 【考向二 反比例函数与三角形的综合问题】 PAGEREF _Tc23173 \h 8
\l "_Tc22344" 【考向三 反比例函数与矩形的综合问题】 PAGEREF _Tc22344 \h 15
\l "_Tc12793" 【考向四 反比例函数与菱形的综合问题】 PAGEREF _Tc12793 \h 22
\l "_Tc9197" 【考向五 反比例函数与正方形的综合问题】 PAGEREF _Tc9197 \h 32
\l "_Tc10541" 【考向六 反比例函数与圆的综合问题】 PAGEREF _Tc10541 \h 42
【直击中考】
【考向一 反比例函数中K值的几何意义】
例题：（2022·辽宁盘锦·校考一模）如图，点、为反比例函数图象上的点，过点、分别作轴，轴，垂足分别为、，连接、、，线段交于点，点恰好为的中点，当的面积为时，的值为____________．
【答案】
【分析】设点的坐标为，则点，，，，根据三角形的面积公式可得出，由此即可求出值．
【详解】
解：设点的坐标为，则点，，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点的坐标，利用点的横坐标表示出、点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点的坐标是关键．
【变式训练】
1．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，若反比例函数的图像经过点A，轴于B，且的面积为3，则k的值为______．
【答案】
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，结合图像的分布计算即可．
【详解】设，
则，，
∵的面积为3，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据三角形面积确定反比例函数比例系数k，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2023·广东深圳·校考一模）如图，已知A是y轴负半轴上一点，点B在反比例函数的图像上，交x轴于点C，，，的面积为，则_______．
【答案】
【分析】过点B作轴于点D，根据题意结合图形及含30度角的直角三角形的性质得出，再由三角形面积求解即可．
【详解】解：过点B作轴于点D，如图所示．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查反比例函数与三角形面积及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．
3．（2022·黑龙江绥化·校考二模）如图，在中，平分，，反比例函数图象经过点、两点，点在轴上，若的面积为9，则的值为 ___________．
【答案】
【分析】先利用面积关系得到，利用k的几何意义得到，再利用得到对应边的关系进一步转化即可得到k得值．
【详解】解：过点作，，过点作，
平分，
，
，
，
的面积为9，
，，
，
，
由反比例函数的性质可知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是能作出辅助线构造出相似三角形，能利用面积关系建立方程进行求解．
4．（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为，则的值为______．
【答案】6
【分析】根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而得出，由系数的几何意义可得答案．
【详解】解：如图，过点作轴于，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解反比例函数系数的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质．
5．（2023·重庆黔江·校联考模拟预测）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图像依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，若四边形的面积为5，则______．
【答案】8
【分析】根据反比例函数中的几何意义：、、，由图形可知，根据四边形的面积为5，得到，从而得到答案．
【详解】解：：；：，点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，
、、，
四边形的面积为5，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，根据题中图像，数形结合得到图形面积关系是解决问题的关键．
6．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图像交于点，反比例函数（是非零常数，）的图像交于点，连接．若四边形的面积为3，则__________．
【答案】
【分析】根据反比例函数中的几何意义：反比例函数图像上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于，数形结合可以得到，根据图像均在第一象限可知，再由四边形的面积为3，得到，即可得到答案．
【详解】解：矩形OABC与反比例函数（是非零常数，）的图像交于点，
由反比例函数中的几何意义知，，
矩形OABC与反比例函数（是非零常数，）的图像交于点，
由反比例函数中的几何意义知，，
四边形的面积为3，
由图可知，，
即，解得，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键．
【考向二 反比例函数与三角形的综合问题】
例题：（2022·江西抚州·校考二模）如图，在等腰三角形AOB中，AO=AB，点O是平面直角坐标系原点，点A在反比例函数的图象上，已知OA=5，OB=6．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)过点A作AP垂直OA，交反比例函数的图象于点P，交x轴于点C．
①求直线AC的解析式；
②求点P的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=(x＞0)；
(2)①直线AC的解析式为y=-x+；②点P的坐标为（，）．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出点A的坐标即可解决问题；
（2）①利用相似三角形的判定和性质求得CD，即可求得C的坐标，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
②解析式联立成方程组，解方程组即可求得点P的坐标．
（1）
解：作AD⊥OB于D，
∵AO=AB，OA=5，OB=6．
∴OD=BD=3，
∴AD==4，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入y= (x＞0)，可得k=12，
∴反比例函数的解析式为y=(x＞0)；
（2）
解：①∵AC⊥OA，
∴△OAC是直角三角形，
∵AD⊥OC，
∴∠OAD+∠DAC=90°，∠OAD+∠DOA =90°，
∴∠DAC=∠DOA，
∴Rt△DAC∽Rt△DOA，
∴，
∴AD2=OD•CD，即16=3•CD，
∴CD=，
∴OC=OD+CD=，
∴C（，0），
∴设直线AC的解析式为y=ax+b，
把A、C的坐标代入得，，
解得，
∴直线AC的解析式为y=-x+；
②解得或，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求得A的坐标．
【变式训练】
1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，反比例函数y＝的图像经过点B．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)坐标平面内有一点D，若以A，O，B，D为顶点的四边形是菱形，请直接写出D的坐标．
【答案】(1)y＝
(2)（1，﹣）或（﹣1，）或（3，）．
【分析】（1 ）过点B作BE⊥x轴于点E，根据等边三角形的性质可得出点B的坐标，代入解析式可得出反比例函数的解析式；
（2 ）由题意可知△ABO是等边三角形，根据菱形的性质可知，需要分三种情况：当OA为对角线，当OB为对角线，当AB为对角线，利用平行四边形的性质可直接得出点D的坐标．
（1）
过点B作BE⊥x轴于点E，如图，
∵△ABO是等边三角形，A（2，0），
∴OA＝OB＝AB＝2，∠BOA＝∠BAO＝60°，
∴OE＝AE＝1，BE＝，
∴B（1，），
∵反比例函数的图像经过点B（1，）．
∴k＝．
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）
若以A，O，B，D为顶点的四边形是菱形，需要分三种情况：
①当OA为对角线，有xO+xA＝xB+xD，yO+yA＝yB+yD，
∵O（0，0），A（2，0），B（1，），
∴0+2＝1+xD，0+0＝+yD，
∴xD＝1，yD＝﹣．
∴D（1，﹣）．
②当OB为对角线，有xO+xB＝xA+xD，yB+yO＝yD+yA，
∵O（0，0），A（2，0），B（1，），
∴0+1＝2+xD，+0＝0+yD，
∴xD＝﹣1，yD＝．
∴D（﹣1，）．
③当AB为对角线，有xA+xB＝xO+xD，yA+yB＝yO+yD，
∵O（0，0），A（2，0），B（1，），
∴2+1＝0+xD，0+＝0+yD，
∴xD＝3，yD＝．
∴D（3，）．
综上，若以A，O，B，D为顶点的四边形是菱形，点D的坐标为（1，﹣）或（﹣1，）或（3，）．
【点睛】本题属于反比例函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，菱形的性质与判定，分类讨论思想等知识，解题关键是进行正确的分类讨论，并根据平行四边形的性质得出方程．
2．（2022·江苏苏州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△ACD是等边三角形，边OA，AC在x轴上，点B，D在第一象限．反比例函数y=(x>0)的图像经过边OB的中点M与边AD的中点N，已知等边△OAB的边长为4．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求等边△ACD的边长．
【答案】(1)反比例函数的表达式为y=；
(2)等边△ACD的边长为．
【分析】（1）根据等边三角形的性质以及M是OB的中点，通过作垂线构造直角三角形可求出点M的坐标，进而确定k的值；
（2）设AD=CD=AC=4a，同理求得点N的坐标为（a+4，a），代入y=，解方程求解即可．
（1）
解：∵等边△OAB，
∴AB=BO=AO=4，∠ABO=∠BOA=∠OAB=60°，
∵点M是OB的中点，
∴OM=BM=2，
过点M作MF⊥OA，垂足为F，
在Rt△OFM中，∠OMF=90°-60°=30°，OM=2，
∴OF=1，FM=，
∴点M的坐标为（1，），代入y=得：k=，
∴反比例函数的表达式为y=；
（2）
解：过点N作NE⊥OA，垂足为E，
∵等边△ADC，
∴AD=CD=AC，∠ADC=∠DCA=∠CAD=60°，
∴设AD=CD=AC=4a，
∵点N是AD的中点，
∴AN=DN=2a，
同理，得：AE=a，NE=a，
∴OE=a+4，
∴点N的坐标为（a+4，a），代入y=得：
a (a+4)=，
整理得：a2+4a-1=0，
解得：a=或(负值，舍去)，
∴等边△ACD的边长为．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、反比例函数的图象和性质，正确求出点的坐标和函数的关系式是解决问题的关键．
3．（2022·四川雅安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．
(1)求m的值和点D的坐标；
(2)求DF所在直线的表达式；
(3)若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．
【答案】(1)
(2)直线的解析式为：
(3)
【分析】（1）如图，过作于 利用等腰直角三角形的性质可得从而可得m的值，再由平移的性质可得D的纵坐标，利用反比例函数的性质可得D的坐标；
（2）由 可得等腰直角三角形向右平移了6个单位，则 再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（3）先联立两个函数解析式求解G的坐标，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，过作于
为等腰直角三角形，

即
由平移的性质可得：
即
（2）由
等腰直角三角形向右平移了6个单位，

设为
解得：
∴直线的解析式为：
（3）如图，延长FD交反比例函数于G，连结
，
解得： 经检验符合题意；


【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，坐标与图形，反比例函数的图象与性质，函数的交点坐标问题，一元二次方程的解法，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练是求解G的坐标是解本题的关键．
【考向三 反比例函数与矩形的综合问题】
例题：（2022春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像和矩形都在第一象限，平行于轴，且，，点A的坐标为．
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点A、恰好同时落在反比例函数的图像上，请求出矩形的平移距离和的值．
【答案】(1)B（1，3），C（3，3），D（3，4）
(2)平移的距离为，
【分析】（1）根据矩形性质得出AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，即可得出答案；
（2）设矩形平移后A的坐标是（1，4−x），C的坐标是（3，3−x），得出k＝1（4−x）＝3（3−x），求出x，即可得出矩形平移后A、C的坐标 A（1，），C（3，），从而求得平移距离与．
（1）
解：∵四边形ABCD是矩形，x轴，且AB＝1，AD＝2，点A的坐标为（1，4），
∴AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，
∴B（1，3），C（3，3），D（3，4）；
（2）
解：设矩形平移后A的坐标是（1，4−x），C的坐标是（3，3−x），
∵A、C落在反比例函数的图像上，
∴k＝1（4−x）＝3（3−x），解得x＝，
即矩形平移后A（1，），C（3，），
∴平移的距离＝，．
【点睛】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式、矩形的性质及坐标与图形的变化−平移，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）如图，矩形ABCD的两边BC＝4，CD＝6，E是CD的中点，反比例函数y＝的图象经过点E，与AB交于点F．
（1）若点B点的坐标为（﹣6，0），求k的值；
（2）连接AE，若AF＝AE，求反比例函数的表达式．
【答案】（1）k＝﹣6；（2）y＝﹣．
【分析】（1）根据点B坐标为（﹣6，0），BC＝4，CD＝6，E是CD的中点，即可求出点E的坐标，进而求得k；
（2）根据AF＝AE，结合（1）利用勾股定理可得AE＝5，进而得BF＝1，设点E（a，3），得点F（a﹣4，1），利用列方程即可求得a，进而求得反比例函数的表达式．
【详解】解：（1）点B坐标为（﹣6，0），
∴OB＝6，
∵BC＝4，
∴OC＝2，
∵CD＝6，E是CD的中点，
∴DE＝CE＝3，
∴E（﹣2，3），
∵反比例函数y＝的图象经过点E，
∴k＝﹣6；
（2）如图，

连接AE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝4，
∵DE＝CD＝3，
根据勾股定理，得AE＝＝5，
∵AF＝AE＝5，
∴BF＝AB-AF＝1，
设点E点的坐标为（a，3）
则点F的坐标为（a﹣4，1），
∵E，F两点在函数y＝的图象上，
∴a﹣4＝3a，
解得a＝﹣2，
∴E（﹣2，3）
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣．
【点睛】本题考查反比例函数的解析式，熟练使用是解题的关键
2．（2023春·辽宁大连·九年级专题练习）已知、为双曲线上两点，且其横坐标分别为，，分别过、作轴、轴的垂线，垂足分别为、，交点为．
(1)若矩形的面积为，求的值；
(2)随着a的取值的不同，两点不断运动，判断能否为边的中点，同时为中点？请说明理由；
(3)矩形能否成为正方形？若能，求出此时的值及正方形的边长，若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)能，理由见解析
(3)能，，正方形的边长为，祥见解析
【分析】（1）用含的代数式表示、，因为矩形的面积，得出含的方程即可；
（2）当为边的中点时，即，计算验证此时是否为中点即可；
（3）当矩形为正方形，即，用含的代数式表示、建立含方程，求解检验即可．
【详解】（1）解：因为、横坐标分别为，，
所以，，
由矩形的面积为得：
即，
解得：．
（2）解：若为边的中点，根据题意有：，
解得，，
则的坐标为，此时的横坐标为，
则纵坐标为，即，
而，即是中点，
故当时为边的中点同时是中点．
（3）解：若矩形为正方形，则，
因为，，
，
整理得：，
，（舍去），
故时矩形为正方形，
正方形边长为．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，关键要掌握用代数的方法解决几何问题技巧，把几何问题转化为方程求解问题．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为，分别落在x轴和y轴上，将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，与相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交于点G．
(1)求k的值．
(2)连接，则图中是否存在与相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由．
(3)点M在直线上，N是平面内一点，当四边形是正方形时，请直接写出点N的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，，，，；证明见解析
(3)或
【分析】（1）根据矩形及旋转的性质得出，再由相似三角形的判定和性质得出点F的坐标为，代入解析式求解即可；
（2）根据题意得出相似三角形，再由相似三角形的判定证明即可；
（3）由（2）及正方形的判定得当时，四边形是正方形，分两种情况分析：当点M在点F上方时，当点M在点F下方时，分别利用全等三角形的判定和性质确定点M的坐标，再根据正方形的性质即可求出点N的坐标．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点B的坐标为，
∴，，．
∵是旋转得到的，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴点F的坐标为．
∵的图象经过点F，
∴，
解得．
（2），，，．
选．
证明：∵点G在AB上，
∴点G的横坐标为8，
∴点G的坐标为，
∴．
∵，，，
∴，，
∴，，
∴．
∵，
∴．
（3）由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，四边形是正方形，
当点M在点F上方时，如图所示：过点M作轴，交于点L，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点，
∵，，
，
∵点G的坐标为，
∴设点，
∴，，
解得：，
；
当点M在点F下方时，如图所示：过点M作轴，交延长线于点L，
同理可得，
∴，
∴，
∴点，
∵，，
，
∵点G的坐标为，
∴设点，
∴，，
解得：，
，
综上可得：点N的坐标为或．
【点睛】题目主要考查正方形的性质及反比例函数的确定，相似三角形及全等三角形的判定和性质，坐标与图形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
【考向四 反比例函数与菱形的综合问题】
例题：（2022·江苏常州·常州实验初中校考二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求的值及AB所在直线的函数表达式；
（2）将这个菱形沿轴正方向平移，当顶点D落在反比例函数图象上时，求菱形平移的距离．
【答案】（1），；（2）菱形ABCD平移的距离为．
【分析】（1）根据点D的坐标为（4，3），即可得出DE的长以及DO的长，即可得出A点坐标，进而求出k的值；
（2）根据D′F′的长度即可得出D′点的纵坐标，进而利用反比例函数的性质求出OF′的长，即可得出答案．
【详解】（1）作DE⊥BO，DF⊥轴于点F，
∵点D的坐标为（4,3）
∴FO=4，DF=3
∴DO=5
∴AD=5
∴A点坐标为：（4,8）
∴
∴
由菱形的性质得到B（0,5）
设直线AB的方程为：，则解得
AB所在直线的函数表达式：
（2）∵将菱形ABCD向右平移，当点D落在反比例函数的图像上
∴DF=3，
∴点的纵坐标为3
∴
∴
∴
∴菱形ABCD平移的距离为：
【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及菱形的性质，根据已知得出A点坐标是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求该反比例函数的解析式及的值；
(2)判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)点在该反比例函数的图象上，理由见解答
【分析】（1）因为点在双曲线上，所以代入点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点在双曲线上，代入即可求出的值；
（2）先求出点的坐标，判断即可得出结论．
【详解】（1）解：将点代入中，得，
反比例函数的解析式为，
将点代入中，
得；
（2）解：因为四边形是菱形，，，
，，
，
由（1）知双曲线的解析式为；
，
点在双曲线上．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用表示出点的坐标．
2．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是，反比例函数的图像经过点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点D在边上，且，过点D作轴，交反比例函数的图像于点E，求点E的坐标．
【答案】(1)；
(2)（，）；
【分析】（1）过点B作BF⊥y轴，垂足为F，设点A为（0，m），根据菱形的性质和勾股定理求出，然后求出点C的坐标，即可求出解析式；
（2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，先证明△ODG∽△OCH，求出，，然后得到点D的纵坐标，再求出点E的坐标即可．
【详解】（1）解：根据题意，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，如图：
∵四边形是菱形，
设点A为（0，m），
∴，
∵点B为，
∴，，
在直角△ABF中，由勾股定理，则
，即，
解得：，
∴，
∴点C的坐标为，
把点C代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，如图，
∵，
∴，
∵DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴，
∵点C的坐标为，
∴，，
∴，
∴，，
∴点D的纵坐标为，
∵轴，
∴点E的纵坐标为，
∴，解得，
∴点E的坐标为（，）；
【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，从而进行解题．
3．（2022·广东广州·统考二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点，连接OA、OD、OC、AC，四边形OACD为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)设点P是直线AB上一动点，且，求点P的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为y＝x＋1；反比例函数的解析式为y＝；
(2)点P的坐标为（−3，−2）或（5，6）．
【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得k1和k2值；
（2）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为（a，a＋1），根据条件可得到关于a的方程，可求得P点坐标．
（1）
解：如图，连接AD，交x轴于点E，
∵四边形AODC是菱形，
∴AD⊥OA，AE＝DE，EC＝OE，
∵D（1，−2），
∴OE＝1，ED＝2，
∴AE＝DE＝2，EC＝OE＝1，
∴A（1，2），
将A（1，2）代入直线y＝k1x＋1可得k1＋1＝2，
解得k1＝1，
将A（1，2）代入反比例函数y＝可得2＝，
解得：k2＝2；
∴一次函数的解析式为y＝x＋1；反比例函数的解析式为y＝；
（2）
∵OC＝2OE＝2，AD＝2DE＝4，
∴S菱形OACD＝OC•AD＝4，
∵S△OAP＝S菱形OACD，
∴S△OAP＝2，
设P点坐标为（a，a＋1），AB与y轴相交于F，
则F（0，1），
∴OF＝1，
∵S△OAF×1×1＝，
当P在A的左侧时，S△FOP＝（-a）•OF＝-a＝S△OAP−S△OAF＝2−＝，
∴a＝−3，a＋1＝−2，
∴P（−3，−2），
当P在A的右侧时，S△FOP＝a•OF＝a＝S△OAP＋S△OAF＝2＋＝，
∴a＝5，a＋1＝6，
∴P（5，6），
综上所述，点P的坐标为（−3，−2）或（5，6）．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：菱形的性质，待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握反比例函数性质是解本题的关键．
4．（2022春·湖北恩施·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（2，m），直线CD：y1＝ax＋b与双曲线：y2＝交于C，P两点．
(1)求双曲线y2的函数关系式及m的值；
(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
(3)若BA的延长线与双曲线y2＝交于另一点E，连接CE，DE，请直接写出△CDE的面积．
【答案】(1)y2＝；m=2
(2)点B在双曲线上，理由见解析
(3)2
【分析】（1）连接AC，BD相交于点E，先求出E（2，），从而求出点D（0，），B（4， ），则有，计算求解的值，从而求出点C的坐标，进而可求出反比例函数解析式；
（2）根据（1）求出点B的坐标即可得到答案；
（3）求出直线AB的解析式，从而求出点E的坐标，即可得到．
【详解】（1）解：连接AC，BD相交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BE，AE＝CE，AC⊥BD，
∵A（2，0），C（2，m），
∴E（2，），轴，
∴BD⊥y轴，
∴点D（0，），B（4， ），
∵点C（2，m），D（0，），P（4，1）在直线CD上，
∴，
解得：m=2，a=，b=1，
∴点C（2，2），
∵点C在双曲线y2＝上，
∴k＝2×2＝4，
∴双曲线的函数关系式为y2＝，；
（2）解：由（1）知，m＝2，B（4，），
∴B（4，1），
由（1）知双曲线的解析式为y2＝；
∵4×1＝4，
∴点B在双曲线上；
（3）解：设直线AB的解析式为，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为，
联立 得，
解得或，
∴点E的坐标为（-2，-2），
由（1）得点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（0，1），
∴E、C关于原点对称，即CE经过点O，OD=1，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，一次函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求函数解析式．
【考向五 反比例函数与正方形的综合问题】
例题：（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=(x>0)的图象经过点C，OA=2，OB=4．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A′B′C′D′，当点D′在反比例函数的图象上时，请求出点B′的坐标，并判断点B′是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=；
(2)B′（6，4），点B′在该反比例函数的图象上．理由见解析
【分析】（1）通过证明△AOB≌△BMC求出C的坐标，代入y=，利用待定系数法求出k；
（2）证明△AOB≌△DEA，求得D（6，2），根据平移的性质得到D′的纵坐标为2，再根据平移的性质得B′（6，4），即可判断点B′在该反比例函数的图象上．
【详解】（1）解：过点C作CM⊥y轴于M，
由正方形的性质可知AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠CBM，
∴∠BAO=∠CBM，
在△AOB和△BMC中，
，
∴△AOB≌△BMC（AAS），
∴OA=BM=2，OB=CM=4，
∴OM=2+4=6，
∴C（4，6），
∵反比例函数y=的图象经过正方形顶点C，
∴k=4×6=24．
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）解：点B′在该反比例函数的图象上．理由如下：
过点D作DE⊥x轴于E，
同(1)可证△AOB≌△DEA（AAS），
∴DE=OA=2，AE=OB=4，
∴OE=2+4=6，
∴D（6，2），
∵将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A′B′C′D′，
∴D′的纵坐标为2，
∴2=，解得x=12，
∴D′（12，2），
∵12-6=6，
即将正方形ABCD沿x轴向右平移6个长度单位得到正方形A′B′C′D′，
∵OB=4，
∴B（0，4），
∴根据平移的性质得：B′（6，4），
∵6×4=24=k．
∴点B′在该反比例函数的图象上．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，掌握待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·湖北恩施·九年级专题练习）如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标是（2，2），顶点A、C在坐标轴上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象分别交BC、BA于E、F，连接OE、CF交于M，△OEC的面积等于1．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求四边形OAFM的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的面积可得点E的坐标，再根据点E的坐标可得反比例函数的解析式；
（2）首先求出点F的坐标，根据利用待定系数法求出OE和CF的关系式，联立方程组可得点M的坐标，再根据三角形的面积公式可得答案．
【详解】（1）解：由题意知C（0，2），OC＝2，
∵△OEC的面积等于1，
即×OC×EC＝1，
∴EC＝1，
∴E（1，2），且在反比例函数y=(k≠0)的图象上，
∴2=，求得k＝2，
∴反比例函数的解析式为；
（2）由F在的图象上，求得F（2，1），
设OE为y＝k1x，
由（1 ）知E（1，2），求得k1＝2，
即OE为y＝2x．
设CF为y＝k2x+b，由（1）知C（0，2），F（2，1），
得，解得：，
即CF为y＝−x+2．
联立得，
解得：，
∴M（，），
∴S△CEM＝×1×(2−)＝，
∴SOAFM＝SOABC−2S△OEC+S△CEM＝2×2−2×1+＝．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，根据三角形的面积求出点E的坐标并得到反比例函数的关系式是解题关键．
2．（2022·山东济南·校考一模）如图，四边形OABC为正方形，反比例函数的图象过AB上一点E，BE=2，．
(1)求k的值．
(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=ax+b过点D及线段AB的中点F，探究直线OF与直线DF的位置关系，并证明．
(3)点P是直线OF上一点，当PD＋PC的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)48
(2)OF⊥DF，见解析
(3)
【分析】（1）设AE=3x，则OE=5x，由勾股定理得AO=4x，则3x+2=4x，求出x即可求点E坐标为（6，8），再由E点坐标即可求k 值；
（2）求出D（8，6），证明△AOF∽△BFD，则∠AOF=∠BFD，可得∠OFD=180°-（∠AFO+∠BFD）=90°，即可得到OF⊥DF；
（3）延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点，证明△AFG≌△BFD（AAS），得到OF为线段DG的垂直平分线，C（8，0），G（0，10），求出直线CG解析式为y=-x+10，直线OF为y=2x，联立，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）证明：∵四边形OABC是正方形，
∴AO=AB，∠OAB=90°，
∵，
设AE=3x，则OE=5x，由勾股定理得AO=4x，
∴3x+2=4x，
∴x=2，
∴AE=3x=6，AO=4x=8，
∴点E坐标为（6，8），
∴k=6×8=48；
（2）解：OF⊥DF，理由如下：
将x=8代入y=得y=6，
∴D（8，6），
∴BD=BC-CD=8-6=2，
∵点F是线段AB的中点，
∴AF=BF=4，
∵，∠OAF=∠FBD=90°，
∴△AOF∽△BFD，
∴∠AOF=∠BFD，
∴∠AFO+∠BFD=∠AFO+∠AOF=90°，
∴∠OFD=180°-（∠AFO+∠BFD）=90°，
∴OF⊥DF；
（3）（3）延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点，
∵四边形OABC为正方形，∠AFG=∠BFD，AF=BF，
∴△AFG≌△BFD（AAS），
∴AG=BD=2，GF=DF，
由（2）得OF⊥DF，
∴OF为线段DG的垂直平分线，
∴PD＋PC的最小值=PG＋PC=CG，
∵OC=OA=8，
∴C（8，0），G（0，10），
设直线CG解析式为y=mx+n，代入C（8，0），G（0，10），
得，解得，
∴
设直线OF为y=ax，代入F（4，8），
∴a=2，
∴y=2x，
联立直线OF、CG得，解得，
∴点P的坐标为(，)．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形相似的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
3．（2022·山东济南·统考一模）如图，四边形AOBC是的正方形，D为BC中点，以O为坐标原点，OA，OB所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，A点坐标（0，4），过点D的反比例函数y＝(k≠0)的图象与边AC交于E点，F是线段OB上的一动点．
备用图
(1)求k的值并直接写出点E的坐标；
(2)若AD平分∠CAF，求出F点的坐标；
(3)若△AFD的面积为S1，△AFO的面积为S2 ．若S1：S2=3：2，判断四边形AEFO的形状．并说明理由．
【答案】(1)k＝8，E（2，4）
(2)（3，0）
(3)四边形AOFE是矩形，理由见解析
【分析】（1）求出点D坐标，进而可得k的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特点求出点E的坐标；
（2）延长AD交x轴于G点，证明△BDG ≌△CDA（AAS），求出OG＝8，然后设OF＝m，则AF＝FG＝8－m，在Rt△OAF中根据勾股定理列方程求出m即可；
（3）设△AFG的面积的为s3，可得s3＝2s1，进而可得s3：s2＝3：1，则FG：FO＝3：1，求出FO，根据矩形的判定定理可得结论．
（1）
解：∵A点坐标（0，4），
∴C点坐标（4，4），
∵D为BC中点，
∴D点坐标（4，2），
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数解析式为y＝，
当y＝时，x＝2，
∴E（2，4）；
（2）
解：延长AD交x轴于G点，如图1，
∵AC∥OB，
∴∠DAC＝∠BGD，
又∵CD＝BD，∠C＝∠DBG＝90°，
∴△BDG ≌△CDA（AAS），
∴BG＝AC＝4，
∴OG＝OB＋BG＝8，
∵DA平分∠CAF，
∴∠CAD＝∠GAF，
∴∠GAF＝∠DGB，
∴AF＝FG，
设OF＝m，则AF＝FG＝8－m，
∵OA2＋OF2＝AF2，
∴42＋m2＝（8－m）2，
∴m＝3
∴F点的坐标为（3，0）；
（3）
解：四边形AEFO是矩形．
理由：如图1，设△AFG的面积的为s3，
∵AD＝DG，
∴s3＝2s1，
∵S1：S2＝3：2，
∴s3：s2＝3：1，
∴FG：FO＝3：1，
∵OG＝8，
∴FO＝OG＝2，
∵AE＝2，
∴FO＝AE，
又∵FO∥AE，
∴四边形AEFO是平行四边形，
∵∠AOF＝90°，
∴四边形AEFO是矩形．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定以及矩形的判定等知识，通过作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
4．（2022春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点、在第二象限内．
(1)点的坐标_________；
(2)将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(﹣3，1)
(2)，
(3)存在，或或
【分析】对于（1），先求出OA=6，OG=7，DG=3，再判断△DGA≌△AHB，得DG=AH=3，BH=AG=1，即可得出答案；
对于（2），先根据运动表示出点，的坐标，进而求出k，t，即可得出结论；
对于（3），先求出点，的坐标，再分三种情况讨论，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出解，即可得出结论．
【详解】（1）过点B，D作BH⊥x轴，DG⊥x轴交于点H，G，
∵点A（-6，0），D（-7，3），
∴OA=6，OG=7，DG=3，
∴AG=OG-OA=1．
∵∠DAG+∠BAH=90°，∠DAG+∠GDA=90°，
∴∠GDA=∠BAH．
又∠DGA=∠AHB=90°，AD=AB，
∴△DGA≌△AHB，
∴DG=AH=3，BH=AG=1，
∴点B的坐标是（-3，1）；
（2）由（1），得点B（-3，1），D（-7，3），
∴运动t秒时，点，．
设反比例函数的关系式为，
∵点，在反比例函数图象上，
∴，
解得，k=6，
∴反比例函数的关系式为；
（3）存在，理由：由（2）知，点，，，
∴，，反比例函数关系式为，
设点Q，点P（0，s）．
以点PQ四个点为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当PQ与是对角线时，
∴，，
解得，，
∴，；
②当与是对角线时，
∴，，
解得，，
∴，；
③当与是对角线时，
∴，，
解得，，
∴，．
综上所述：或或．
【点睛】这是一道关于反比例函数的综合题目，主要考查了待定系数法，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【考向六 反比例函数与圆的综合问题】
例题：（2022春·广东佛山·九年级佛山市华英学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，P(-4，n)是反比例函数图象上的一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B，过点A、B作直线．
(1)求直线AB的表达式；
(2)点M是反比例函数图象上的一点，连接线段MA，交⊙P于点Q，若，求点M坐标；
(3)直线AB经过平移后，与⊙P相切，直接写出平移后的直线表达式．
【答案】(1)；
(2)点；
(3)两条切线的表达式为和.
【分析】（1）先求出点P的坐标，再证明线段AB是⊙P直径，过P作轴于N，可证△ANP∽△AOB，根据相似三角形的性质可求出点B坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）由题意得△AOK为等腰直角三角形，求出直线AK的表达式为，联立反比例函数解析式解方程即可求解；
（3）如图，过点P作，交x轴于点E，交⊙P于点F和点H，分别过点F和点H作FH的垂线m，n，则垂线m，n即为⊙P的切线，过点F作，交AB于点，由勾股定理得出AB的长，再证明△FPG∽△AOB，根据相似三角形的性质求出FG的长度，根据平移的性质即可求解．
（1）
证明：把代入得，
∴，
∵点O在⊙P上，且
∴线段AB是⊙P直径，
过P作轴于N，
∵，，
∴△ANP∽△AOB，
∴，
∴，即，
设直线AB为，
把，代入得；
（2）
如图，
∵，
∴，
∴△AOK为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴直线AK的表达式为，
由，得，
解得，（舍去），
∴点；
（3）
两条切线的表达式为和，
如图，过点P作，交x轴于点E，交⊙P于点F和点H，分别过点F和点H作FH的垂线m，n，则垂线m，n即为⊙P的切线，过点F作，交AB于点，
勾股定理得，
∵P是AB中点，
∴，
∵，，
∴△FPG∽△AOB，
∴，
∴，
则直线m由直线AB往上平移个单位得到，
∴直线m的表达式为，
直线n由直线AB往下移个单位得到，
∴直线n的表达式为，
∴两条切线的表达式为和.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的综合，切线的性质，相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理直线平移的特点等，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·四川眉山·统考中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线，且与的外接圆相切，与双曲线在第二象限内的图象交于、两点．
（1）求点，的坐标和的半径；
（2）求直线所对应的函数表达式；
（3）求的面积．
【答案】（1）A（-8，0），B（0，6），5；（2）y=x+；（3）
【分析】（1）令y=0代入，令x=0代入，即可得到A、B的坐标，进而得到圆的半径；
（2）过点A作AG⊥MN于点G，得AG=5，由∠AMG=∠OAB，得，进而即可求解；
（3）联立，可得C的坐标，进而即可求解．
【详解】解：（1）令y=0代入，得，解得：x=-8，即：A（-8，0），
令x=0代入，得，即：B（0，6），
∴AB=,
∴的半径为：5；
（2）过点A作AG⊥MN于点G，
∵直线，且与的外接圆相切，
∴AG=5，∠AMG=∠OAB，
∴sin∠AMG=sin∠OAB，即：，
∴，解得：AM=，即：OM=+8=，
∴M（-，0），
同理：BN=，ON=6+=，N（0，），
设直线所对应的函数表达式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线所对应的函数表达式为：y=x+；
（3）联立，得：=，解得：，，
∴C（-3，10），
∴的面积==．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数综合，熟练掌锐角三角函数的定义，圆的切线的性质定理，是解题的关键．
2．（2021·广东深圳·深圳市罗湖区翠园初级中学校考一模）如图，点P在反比例函数y＝(x＜0)上，PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA＝PB，OA、OB的长是方程t2－16t＋48＝0的两个实数根，且OA＞OB，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D．
（1）求k的值；
（2）当圆心M在y轴上时，请判断四边形PAMB的形状，并说明理由；
（3）当圆心M在y轴上时，设点Q是圆M上一动点，则P、Q两点之间的距离达到最大值时，求点Q的坐标．
【答案】（1）；（2）四边形PAMB是菱形，理由见解析；（3）Q（，）．
【分析】（1）解方程求出OA、OB的长，进而可得点A、B的坐标，设出P点坐标，根据PA＝PB列方程求解即可；
（2）易求PA＝PB＝20，设⊙M的半径为r，根据勾股定理列方程求出r的值，得出MA＝MB＝20，即可证明四边形PAMB是菱形；
（3）连接PM并延长，交⊙M于点Q，此时点P、Q之间的距离达到最大值，过点P作PE⊥y轴于点E，过点Q作QF⊥y轴于点F，首先求出PM的长，然后利用三角函数分别求出FQ和MF的长即可解决问题．
【详解】解：（1）解方程t2－16t＋48＝0得：t＝4或t＝12，
∵OA、OB的长是方程t2－16t＋48＝0的两个实数根，且OA＞OB，
∴OA＝12，OB＝4，即点A、B的坐标为（−12，0）、（0，4），
∵PA⊥x轴于点A，
∴设P点坐标为，
由PA＝PB得：，
解得：；
（2）四边形PAMB是菱形；
理由：连接AM，
由（1）可得P点坐标为，
∴PA＝PB＝20，
设△ABC的外接圆⊙M的半径为r，
∵圆心M在y轴上，OA＝12，OB＝4，
∴OM＝r－4，
在Rt△AOM中，OA2+OM2＝AM2，即，
解得：r＝20，
∴MA＝MB＝20，
∴PA＝PB＝MA＝MB，
∴四边形PAMB是菱形；
（3）连接PM并延长，交⊙M于点Q，此时点P、Q之间的距离达到最大值，过点P作PE⊥y轴于点E，过点Q作QF⊥y轴于点F，
当圆心M在y轴上时，由（1）（2）可知PE＝12，OE＝20，OM＝20－4＝16，MQ＝20，
∴ME＝16+20＝36，
∴PM＝，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴OF＝OM＋MF＝，
∴点Q的坐标为（，）．
【点睛】本题为反比例函数综合题，涉及到解一元二次方程、圆的基本知识、勾股定理、两点间距离公式、菱形的判定、解直角三角形等知识，明确第（3）问中PQ过圆心M时，点P、Q之间的距离达到最大值，是本题解题的关键．