最新中考数学重难点与压轴题型训练（讲义） 专题18 二次函数中线段、周长、面积最值问题（重点突围）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题18 二次函数中线段、周长、面积最值问题
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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1534" 【直击中考】 PAGEREF _Tc1534 \h 1
\l "_Tc31237" 【考向一 二次函数中求线段和最值问题】 PAGEREF _Tc31237 \h 1
\l "_Tc21931" 【考向二 二次函数中求三角形周长最值问题】 PAGEREF _Tc21931 \h 13
\l "_Tc8952" 【考向三 二次函数中求三角形面积最值问题】 PAGEREF _Tc8952 \h 18
【直击中考】
【考向一 二次函数中求线段和最值问题】
例题：（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如已知二次函数的图象过点和点，且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是．
(1)求抛物线的解析式；
(2)写出这个二次函数图象的对称轴、顶点坐标：
(3)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值．
【答案】(1)
(2)二次函数图象的对称轴为直线、顶点坐标为
(3)
【分析】（1）将点和点，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）将解析式化为顶点式即可求解；
（3）根据二次函数图象的对称性得出的最小值为的长，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点和点，
∴
解得：
∴；
（2）解：，
∴二次函数图象的对称轴为直线、顶点坐标为
（3）解：令中，，则，
∴，
∵，关于对称轴对称，
则，
连接，交对称轴于点，则此时取最小值，
∵,，
∴，
此时．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·安徽合肥·九年级校考期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线BC于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段的最大值；
(3)当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)最大值为
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出，利用待定系数法求出的解析式为：，根据直线轴，可知点P、E的横坐标相等，设为m，且，可得，，即可得，问题得解；
（3）过C点作于点F，先证明四边形是矩形，即有，在等腰中，有，根据点P、E的横坐标相等，设为m，且，即有，，可得，再根据，，可得，解方程即可求解．
【详解】（1）将、代入中，
可得：，
解得：，
即抛物线解析式为：；
（2）当时，，
∴，
设的解析式为：，
又∵，
∴，
解得：，
即的解析式为：，
∵直线轴，
∴点P、E的横坐标相等，
设为m，且，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
即最大值为；
（3）过C点作于点F，如图，
∵，
∴，
∵，直线轴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴在等腰中，有，
∵直线轴，
∴点P、E的横坐标相等，
设为m，且，
∴，，
∴，
∵，，
∴，且，
解得，或者（舍去），
当时，，
∴，
即点坐标为：．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解抛物线解析式，等腰三角形的性质，二次函数的图象与性质以及解一元二次方程等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
2．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
(3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)有，最小值为
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）在中，，，根据，有，即可得，问题得解；
（3）先求出，即，即有，则的最小值是的最小值，即点D到AC的垂线段DN的长，问题随之得解．
【详解】（1）把点，代入抛物线中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2），
理由是：如图1，
令，则，即，
∵，，
∴，，，
在中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）在M，N移动的过程中，有最小值是，理由如下：
由（2）知：，
∴，即，
∴，
∴的最小值是的最小值，即D、M、N三点共线时，点D到AC的垂线段DN的长，如图2，
抛物线解析式为：；
∴对称轴是：，即，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴在M，N移动的过程中，有最小值是．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性质，解直角三角形以及垂线段最短等知识．题目难度不大，细心作答即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线的图象与直线有唯一交点．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)若点拋物线与轴的交点分别为点、，抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．
(3)直线与轴交于点，点是轴上一动点，请你写出使是等腰三角形的所有点的横坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或或
【分析】（1）将点代入，可求抛物线的解析式；将点代入，然后根据抛物线与直线由唯一交点，求出，即可求直线的解析式；
（2）根据抛物线的对称轴可知M、N点关于对称轴对称，则当A、P、N三点共线时，有最小值，最小值为的长；
（3）设，分别求出，，，再由等腰三角形三边关系，分类讨论即可．
【详解】（1）将点代入，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
将点代入，
∴，
∴，
∵抛物线的图象与直线有唯一交点，
∴有两个相等实数根时，
∴，
解得，
∴直线解析式为；
（2）存在点P，使的值最小，理由如下，连接，，．
当时，，
解得或，
∴，，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵M、N点关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴当A、P、N三点共线时，有最小值，最小值为的长．
∵，
∴，
∴的最小值为；
（3）当时，，
∴，
设，
∴，
当时，，
解得或（舍）；
当时，，
解得或；
当时，，
解得；
综上所述：Q点横坐标为或或或．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的定义，轴对称的性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用抛物线的对称性求最小值的方法是解题的关键．
4．（2022·山东济南·校考一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线过点A．
(1)求出抛物线解析式的一般式；
(2)抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点D的坐标；
(3)若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)3．
【分析】（1）利用函数求解的坐标，再把的坐标代入二次函数解析式可得答案，
（2）过点作轴交于，得到，利用二次函数的性质可得答案，
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，证明，从而得到，从而可得答案．
【详解】（1）解：令，解得：，
∴点，∴，
∴，∴，
即．
（2）解：令，化简可得：
解得或，
如图，过点作轴交于，
设，，则，
∴，
所以：①当时，
；
②当时，
；
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，
此时点坐标为．
（3）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点．
∵，，
∴，，
∴，
设 则
∴ ，
∴，
∵、关于轴对称，∴，
∴，此时最小．
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是3．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最大值，同时考查利用轴对称求线段和的最小值，同时考查锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
【考向二 二次函数中求三角形周长最值问题】
例题：（2020·贵州遵义·统考一模）已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使以、、为顶点的三角形为直角三形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或 或或
【分析】（1）把 三点坐标代入，得到关于 的方程组即可；
（2）因为长度确定，所以的周长最小，等同于 最小，问题转化为：在直线取一点使得到两定点的距离之和最小（“将军饮马”模型），所以在同一条直线，在利用待定系数法求出直线的解析式即可确定点坐标；
（3）分别讨论直角顶点在、、的情况，计算即可，见详解．
【详解】（1）解：把、、三点分别代入得：
，
解得，
．
（2）解： 与关于直线对称，点在直线上，
当点在线段与直线的交点时，最短，
的周长 = ，的长度确定，
当最小时，的周长最小，
由以上可知：当点在线段与直线的交点时，的周长最小，
设线段所在直线方程为：，把、代入得：
解得：
直线的解析式为：
直线为：，
将代入得：，即点坐标为，
（3）解：要使以、、为顶点的三角形为直角三形，只要考虑直角顶点分别为、、情况， 如图1所示：
（a）直角顶点为时，过点作交直线于点，设直线与轴交点为，
则 ，根据相似三角形对应边成比例性质得：
其中： ，，，
计算可得： ，
故点坐标为：
（b）直角顶点为时，过点作交直线于点，过点作轴垂线，
垂足为点，，
由相似性质定理可得：
其中： ，，，计算可得： ，则，
故点坐标为：
（c）直角顶点为时，点为以线段为直径的圆与直线 的交点，过点作 垂足为点 如图2所示：
在与中有：
，，


其中：， ， ，
代入数据整理得： 即，
或，即或，
点坐标为或 ．
故答案为：或 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数表达式求解，动点+最值问题，以及相似和圆的知识，综合性较大，其中第（3）问的关键是要分情况讨论各种直角顶点存在性和计算结果，特别是直角顶点为点时就用到“直径所对圆周角是直角”这一原理和“一线三等角”模型．
【变式训练】
1．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，抛物线与轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2)存在，点的坐标为
(3)存在，最大值为
【分析】（1）根据题意可知，将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）设，过点作轴交于点，连接、、，根据，将表示成二次函数，再根据二次函数的性质，即可求得的最大值．
【详解】（1）解：将，代入中，
可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
如图，
∵、两点关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与的交点即为点，此时周长最小，连接、，
∵点是抛物线与轴的交点，
∴的坐标为，
又∵，
∴直线解析式为：，
∴点坐标即为，
解得：，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
如图，设，过点作轴交于点，连接、、，
∵，
若有最大值，则就最大，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．
【考向三 二次函数中求三角形面积最值问题】
例题：（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由得，结合对称轴建立方程组求解即可；
（2）如图，由（1）求出即，即设是第三象限内抛物线上的动点，根据，用坐标表示三角形面积即可求解．
【详解】（1）解：，
，
对称轴为，
，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）如图，抛物线与x轴交于点，
对称轴为，
即，
抛物线解析式为：，
,即，
设是第三象限内抛物线上的动点，
则且，
，
开口向下，
当时有最大值，
面积的最大值为．
【点睛】本题考查了代入法求二次函数解析式、二次函数的图像和性质求三角形最大面积；解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．
【变式训练】
1．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为．直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为．
(1)求抛物线和直线l的解析式；
(2)直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．当t为何值时，四边形是平行四边形？
(3)在（2）的条件下，设的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
【答案】(1)；
(2)
(3)，
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据平行四边形的性质可得，，得到关于的方程，求解即可；
（3）由题意可得，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点、点代入抛物线解析式可得，解得，
即抛物线为．
设直线l的解析式为，
将点、点代入得解得，
即直线l的解析式为；
（2）解：由题意可得，抛物线的对称轴为，顶点，
则，所以，
点，，点．
连接，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
化简可得：，解得，（舍去），
即，四边形是平行四边形；
（3）连接、，如图：
由题意可得：
，
∴，
∵，开口向下，对称轴为，
∴当时，面积最大，为．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与几何的应用，二次函数的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，正确求得解析式．
2．（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)存在，点P的坐标为，8
【分析】(1)运用待定系数法计算即可．
(2)判定，是对称点，确定直线的解析式，计算当时的函数值即可确定坐标．
(3)设，过点P作于点E，根据，构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可．
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，解得，∴该抛物线的解析式为．
（2）存在，点．理由如下：∵抛物线与x轴交于，两点，∴，是对称点，且，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，
当时，，故点．
（3）如图，设，过点P作于点E，
∵抛物线与x轴交于，两点，且，
∴，，，，
∴，
，
故当时，取得最大值，且为8，此时．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键．