最新高考理数考点一遍过讲义 考点10 函数模型及其应用

这是一份最新高考理数考点一遍过讲义 考点10 函数模型及其应用，共24页。学案主要包含了常见的函数模型，几类函数模型的增长差异，函数模型的应用等内容，欢迎下载使用。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题10 函数模型及其应用
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
一、常见的函数模型
二、几类函数模型的增长差异
三、函数模型的应用
解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：
（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.
用框图表示如下：
数学问题
实际问题
建模
审题、转化、抽象
问题 解决 解模 运算
实际问题结论
数学问题答案
还原
结合实际意义
考向一 二次函数模型的应用
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
典例1 山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.
（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式；
（2）李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【解析】（1）由题意得，y与x之间的函数关系式为：y=(10+0.5x)(2000−6x) =−3x2+940x+20000(1≤x≤110).
（2）由题意得，(−3x2+940x+20000)−(10×2000+340x)=22500，
化简得，x2−200x+7500=0，
解得x1=50，x2=150（不合题意，舍去）.
因此，李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放50天后出售.
（3）设利润为W，则由（2）得，W=(−3x2+940x+20000)−(10×2000+340x)
=−3x2+600x=−3(x−100)2+30000，
因此当x=100时，Wmax=30000.
又因为100∈(0,110)，
所以李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润，为30000元.
1．根据调查，某地区有300万从事传统农业的农民，人均年收入6000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作.据估计，如果有x(x>0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为6000a(1≤a≤3)元．
（1）在建立加工企业后，多少农民进入企业工作，能够使剩下从事传统农业农民的总收入最大，并求出最大值；
（2）为了保证传统农业的顺利进行，限制农民进入加工企业的人数不能超过总人数的，当地政府如何引导农民，即x取何值时，能使300万农民的年总收入最大．
考向二 指数函数、对数函数模型的应用
（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.
（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.
典例2 一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林面积为.
（1）求p%的值;
（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
（3）今后最多还能砍伐多少年?
【解析】（1）由题意得,即,
解得 .
（2）设经过m年，森林面积变为,
则,即，解得m=5,
故到今年为止,已砍伐了5年.
（3）设从今年开始,以后还可砍伐n年,则n年后的森林面积为,
令,即,,,解得n≤15,
故今后最多还能砍伐15年.
典例3 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系为．已知后消除了的污染物，试求：
（1）后还剩百分之几的污染物．
（2）污染物减少所需要的时间．（参考数据：，，）
【解析】（1）由，可知时，，
当时，，
所以，
当时，，
所以个小时后还剩的污染物．
（2）当时，有，
解得，
所以污染物减少所需要的时间为个小时．
2．在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：ml/L，记作[H+]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：ml/L，记作[OH−]）的乘积等于常数10−14.已知pH值的定义为pH=−lg[H+]，健康人体血液pH值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的可以为
（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．5 B．7
C．9 D．10
3．从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度f(t)(单位：米)与生长年限t（单位：年，tN*）满足如下的逻辑斯蒂函数：，其中e为自然对数的底数.设该树栽下的时刻为0.
（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位）
（2）在第几年内，该树长高最快？
考向三 分段函数模型的应用
（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．
（2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．
（3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．
典例4 某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A在上市20天内全部售完.据统计，线上日销售量ft、线下日销售量gt（单位：件）与上市时间tt∈ N∗天的关系满足：ft= 10t, 1≤t≤10，−10t+200, 10（1）设该公司产品A的日销售利润为F(t)，写出F(t)的函数解析式；
（2）产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？
【解析】（1）由题意可得：
当1≤t≤10时，日销售量为10t+−t2+20t=−t2+30t，日销售利润为：40−t2+30t；
当10当15综上可得：F(t)=40⋅(−t2+30t)， 1≤t≤10，40⋅(−t2+10t+200)， 10（2）当1≤t≤10时，由40(−t2+30t)≥5000，解得5≤t≤10；
当10当15故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于5000元.
4．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为f(x)（单位：元）．
（Ⅰ）求f(x)的函数关系式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
考向四 函数模型的比较
根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型.
典例5 某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量（单位：万件）与月份的关系. 模拟函数；模拟函数.
（1）已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？
（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.
【解析】（1）若用模拟函数1：，
则有，解得，
即，
当时，．
若用模拟函数2：，
则有，解得，
即，
当时，．
所以选用模拟函数1较好．
（2）因为模拟函数1：是单调增函数，所以当时，生产量远大于他的最高限量；
模拟函数2：也是单调增函数，但生产量，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数2：好．
当时，，
所以预测6月份的产量为万件.
5．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58，为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型f(x)=ax2+bx+c，乙选择了模型y=p⋅qx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115.
（1）你认为谁选择的模型较好？(需说明理由)
（2）至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你选择的较好模型解决上述问题．
1．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
现有如下4个模拟函数：
①y=0.6x-0.2；②y=x2-55x+8；③y=lg2x；④y=2x-3.02．
请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律，应选
A．①B．②
C．③D．④
2．国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为；超过280万元的部分按征税．现有一家公司的实际缴税比例为，则该公司的年收入是
A．万元 B．万元
C．万元 D．万元
3．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( )(参考数据：，，)
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
4．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100°C，水温y(°C)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(°C)与时间t(min)近似满足函数的关系式为y=8012t−a10+b（a,b为常数），通常这种热饮在40°C时，口感最佳，某天室温为20°C时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为
A．35min B．30min
C．25min D．20min
5．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加1元，日均销售量就减少40桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为
A．元 B．元
C．元 D．元
6．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：
若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为
A．1500元B．1550元
C．1750元D．1800元
7．衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发而体积变小,若它的体积随时间的变化规律是（为自然对数的底数），其中为初始值.若，则的值约为 ____________.(运算结果保留整数，参考数据：
8．某种产品的产销量情况如图所示，其中：l1表示产品各年年产量的变化规律；l2表示产品各年的销售量变化情况.有下叙述：
（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；
（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；
（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；
（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.
你认为较合理的是 （把你认为合理结论的序号都填上）.
9．美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y=kxa(x>0)，其图象如图所示.
（1）试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式；
（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？
（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所得的利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入−研发耗费资金）
10．某电动小汽车生产企业，年利润（出厂价投入成本）年销售量.已知上年度生产电动小汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万/辆，年销售量为辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车，提高产品档次，计划增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应提高的比例为.同时年销售量增加的比例为.
（1）写出本年度预计的年利润（万元）与投入成本增加的比例的函数关系式；
（2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？
11．习总书记在十九大报告中，提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自然和谐共生，加快生态文明体制改革，建设美丽中国”. 目前我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.十九大后，某行业计划从 2018 年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为 .
（1）设年后（2018 年记为第 1 年）年产能为 2017 年的倍，请用表示；
（2）若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过 2017 的 25%？
参考数据：,.
12．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：θ=m•2t+21−t (t≥0,且m>0)．
（1）如果m=2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；
（2）若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
13．某小型机械厂有工人共名，工人年薪4万元/人，据悉该厂每年生产台机器，除工人工资外，还需投入成本为(万元)，且每台机器售价为万元.通过市场分析，该厂生产的机器能全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量的函数解析式；
（2）问：年产量为多少台时，该厂所获利润最大？
14．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即：设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f (x) 75恒成立;③恒成立．
（1）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;
（2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．
1．（2019年高考北京理数）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
变式拓展
1．【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）由题意，如果有x(x>0)万人进入企业工作，设从事传统农业的所有农民的总收入为y万元，
则y=6000(1+x%)(300−x)=−60(x2−200x−30000)(0则图象的对称轴为x=100，抛物线开口向下，
即当x=100时，y取得最大值为y=2400000(万元)．
即由100万人进入企业工作，能够使剩下从事传统农业的所有农民的总收入最大，最大为2400000万元．
（2）设300万农民的总收入为f(x)，0则f(x)=−60(x2−200x−30000)+6000ax=−60x2+6000(2+a)x+1800000=−60[x−50(2+a)]2+1800000+150000(2+a)2，
易知图象的对称轴为x=50(2+a)=100+50a，
①当1≤a<2时，100+50a<200，当x=100+50a时，f(x)取得最大值；
②当2≤a≤3时，100+50a≥200，当x=200时，f(x)取得最大值．
综上，当1≤a<2时，x=100+50a，能使300万农民的年总收入最大；当2≤a≤3时，x=200，能使300万农民的年总收入最大.
2．【答案】B
【解析】由题意可知，pH=−lg[H+]∈(7.35,7.45)，且[H+]⋅[OH−]=10−14，
所以，
因为7.35<−lg[H+]<7.45，所以，
lg6=lg2+lg3=0.778,lg9=2lg3=0.954,lg8=3lg2=0.903，
分析比较可知lg7∈(0.7,0.9)，所以可以为7.
故选B．
3．【答案】（1）8年；（2）第四年内或第五年内.
【解析】（1）令，解得，
即需要经过8年，该树的高度才能超过5米.
（2）当N*时，.
设，则，.
令，则.
上式当且仅当时，取得最大值，
此时，，即，解得.
由于要求为正整数，故树木长高最快的可能值为4或5，
又，，
所以，该树在第四年内或第五年内长高最快．
4．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．
【解析】（Ⅰ）由已知f(x)=15W(x)−20x−10x=15W(x)−30x
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.
当0≤x≤2时，f(x)max=f(2)=465；
当2当且仅当251+x=1+x，即x=4时等号成立．
因为465<480，所以当x=4时，f(x)max=480．
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．
5．【答案】（1）应将y=2x+50作为模拟函数，理由见解析；（2）11个月.
【解析】（1）由题意，把x=1，2，3代入f(x)得：a+b+c=524a+2b+c=549a+3b+c=58，
解得a=1，b=−1，c=52，
所以f(x)=x2−x+52，
所以f(4)=42−4+52=64<66，f(5)=52−5+52=72<82，
f(6)=62−6+52=82<115；
把x=1，2，3代入y=g(x)=p⋅qx+r，得：pq+r=52pq2+r=54pq3+r=58，
解得p=1，q=2，r=50，
所以g(x)=2x+50，
所以g(4)=24+50=66，g(5)=25+50=82，g(6)=26+50=114<115.
∵g(4)、g(5)、g(6)更接近真实值，
∴应将y=2x+50作为模拟函数．
（2）令2x+50>2000，解得x>lg21950≈10.9，
∴至少经过11个月，患该传染病的人数将会超过2000人．
专题冲关
1．【答案】C
【解析】根据表中数据，画出图象如下：
通过图象可以看出，y=lg2x能比较近似地反映这些数据的规律．
故选C．
2．【答案】D
【解析】设该公司的年收入为a万元，则280p%+（a﹣280）（p+2）%=a（p+0.25）%，
解得a==320．
故选D．
3．【答案】B
【解析】若年是第一年，则第年科研费为，
由，可得，得，
即年后，到年科研经费超过万元.
故选B．
4．【答案】C
【解析】由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一段线段，
当t≥5时，函数的解析式为，
将点（5，100）和点（15，60）代入解析式，得，
解得a＝5,b=20，
故函数的解析式为，t≥5．
令y=40，解得t=25,
∴最少需要的时间为25min．
故选C．
5．【答案】D
【解析】设定价在进价的基础上增加x元，日销售利润为y元，则y=x[480﹣40（x﹣1）]﹣200，
由于x＞0，且520﹣40x＞0，所以0＜x＜13.
即y=﹣40x2+520x﹣200，0＜x＜13．
所以，当时，y取最大值．
∴销售单价应定为元.
故选D.
6．【答案】A
【解析】设此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，
由题设可知：y=0,01300，
因为y=50>25，所以x>1300，
所以0.1×x−1300+25=50，解得x=1550，
故此人购物实际所付金额为1550−50=1500（元）.
故选A．
7．【答案】11
【解析】由题意，设一个樟脑丸的体积变为时，需要经过的时间为，
则，即，所以，
所以.
8．【答案】（2），（3）
【解析】产品产量、销售量均以直线上升，但表示年产量的直线l1斜率大，上升快，l2斜率小，上升慢，所以随着x的增加，两者差距加大，出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重.
9．【答案】（1），y=x(x>0)；（2）详见解析；（3）x=4千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元.
【解析】（1）由已知易得生产A芯片的毛收入为；
将(1,1)，(4,2)代入y=kxa，得k=1,k×4a=2, ∴k=1,a=12,
所以，生产B芯片的毛收入y=x(x>0).
（2）由x4>x，得x>16；
由x4=x，得x=16；
由x4所以，当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入大；
当投入资金等于16千万元时，生产A、B芯片的毛收入相等；
当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入大.
（3）公司投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，则投入(40−x)千万元资金生产A芯片，公司所获利润f(x)=40−x4+x−2= −14(x−2)2+9，
故当x=2，即x=4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元.
10．【答案】（1）（）；每辆车投入成本增加的比例为时，本年度的年利润最大，且最大年利润是万元.
【解析】（1）由题意，得（），
即（）.
（2）.
∴当时，取得最大值，为，
∴每辆车投入成本增加的比例为时，本年度的年利润最大，且最大年利润是万元.
11．【答案】（1）；（2）至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.
【解析】（1）依题意得：，则，则.
（2）设年后年产能不超过2017年的25%，则，即，
即，，
则，，
∵，且，
∴的最小值为14.
答：至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.
12．【答案】（1）1分钟；（2）[12,+∞).
【解析】（1）若m=2，则θ=m•2t+21−t=22t+12t，
当θ=5时，2t+12t=52，
令2t=x≥1，则x+1x=52，
即2x2−5x+2=0，解得x=2或x=12 (舍去)，
此时t=1.
所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
（2）物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，
亦m•2t+22t≥2恒成立，亦即m≥212t−122t恒成立．
令12t=y，则0由于y−y2≤14，所以m≥12.
因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是[12,+∞).
13．【答案】（1）；（2）当年产量为100台时，该厂在生产中获利最大，最大利润为850万元.
【解析】（1）依题意有.
（2）当时，
此时时，取得最大值，为万元；
当时，，
当且仅当时，即时，取得最大值，为万元．
综上可知，当年产量为100台时，该厂在生产中获利最大，最大利润为850万元．
14．【答案】（1）函数模型不符合公司要求，详见解析；（2）[1，2].
【解析】（1）对于函数模型，
当x∈[25, 1600]时， f (x)是单调递增函数，
则f (x) ≤f (1600) ≤75，显然恒成立，
若函数恒成立，即，解得x≥60，
∴不恒成立，
综上所述，函数模型满足基本要求①②，但是不满足③，
故函数模型不符合公司要求．
（2）当x∈[25，1600]时，单调递增，
∴最大值，∴，
设恒成立，∴恒成立，即，
∵，当且仅当x=25时取等号，∴a2≤2+2=4，
∵a≥1，∴1≤a≤2，
故a的取值范围为[1，2].
直通高考
1．【答案】①130；②15
【解析】①时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付元.
②设顾客一次购买水果的促销前总价为元，
当元时，李明得到的金额为，符合要求；
当元时，有恒成立，
即，
因为，所以的最大值为.
综上，①130；②15.
【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
函数模型
函数解析式
一次函数模型
(为常数，)
反比例函数模型
(为常数且)
二次函数模型
（均为常数，）
指数函数模型
（均为常数，，，）
对数函数模型
（为常数，）
幂函数模型
（为常数，）
函数
性质
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
先慢后快，指数爆炸
先快后慢，增长平缓
介于指数函数与对数函数之间,相对平稳
图象的变化
随x的增大，图象与轴接近平行
随x的增大，图象与轴接近平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个，当时，有
x
1.99
2.8
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
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