最新高考理数考点一遍过讲义 考点14 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式

这是一份最新高考理数考点一遍过讲义 考点14 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式，共23页。学案主要包含了角的有关概念，弧度制，任意角的三角函数，同角三角函数的基本关系式，三角函数的诱导公式等内容，欢迎下载使用。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题14 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系
与诱导公式
1．任意角的概念、弧度制
（1）了解任意角的概念.
（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.
2．三角函数
（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图象，了解三角函数的周期性.
（3）理解同角三角函数的基本关系式：，.
一、角的有关概念
1．定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
2．分类
（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
（2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．
（3）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合．
3．象限角与轴线角
第一象限角的集合为；
第二象限角的集合为；
第三象限角的集合为；
第四象限角的集合为
终边与轴非负半轴重合的角的集合为；
终边与轴非正半轴重合的角的集合为；
终边与轴重合的角的集合为；
终边与轴非负半轴重合的角的集合为；
终边与轴非正半轴重合的角的集合为；
终边与轴重合的角的集合为；
终边与坐标轴重合的角的集合为．
二、弧度制
1．1弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
规定：是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．
2．弧度制
用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．
3．弧度与角度的换算
．
4．弧长公式
，其中的单位是弧度，与的单位要统一.
角度制下的弧长公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.
5．扇形的面积公式
.
角度制下的扇形面积公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.
三、任意角的三角函数
1．定义
设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是．
注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是.
2．三角函数值在各象限内的符号
三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3．三角函数线
设角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作垂直于轴于．由三角函数的定义知，点的坐标为，即，其中单位圆与轴的正半轴交于点，单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点，则．我们把有向线段分别叫做的余弦线、正弦线、正切线．
各象限内的三角函数线如下：
4．特殊角的三角函数值
补充：
四、同角三角函数的基本关系式
1．平方关系
．
2．商的关系
．
3．同角三角函数基本关系式的变形
（1）平方关系的变形：；
（2）商的关系的变形：；
（3）．
五、三角函数的诱导公式
考向一 三角函数的定义
1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．
2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．
3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(，，)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.
典例1 已知角的终边上有一点P（，m），且m，求与的值.
【解析】由已知有，得m=0，或.
当m=0时，；
当时，；
当时，.
【名师点睛】任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．
1．已知角的终边经过点，则的值为
A．±2B．2
C．﹣2D．﹣4
考向二 象限角和终边相同的角的判断及表示方法
1．已知θ所在的象限，求或nθ（nN*）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或nθ（nN*）所在的象限．
2．象限角的判定有两种方法：
一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；
二是先将此角化为k·360°＋α（0°≤α<360°，kZ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．
3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.
典例2 已知, ,试确定角α是第几象限的角.
【解析】因为>0,<0，所以是第二象限的角，
所以.
由知,所以,
故角α是第四象限的角.
【名师点睛】角与所在象限的对应关系：
若角是第一象限角，则是第一象限角或第三象限角；
若角是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角；
若角是第三象限角，则是第二象限角或第四象限角；
若角是第四象限角，则是第二象限角或第四象限角．
2．若sinx＜0，且sin（csx）＞0，则角是
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
考向三 同角三角函数基本关系式的应用
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”后求解.
典例3 已知0<α<π，sin(π−α)+cs(π+α)=m.
（1）当m=1时，求α的值；
（2）当m=55时，求tanα的值.
【解析】（1）由已知得sinα−csα=1，∴1−2sinαcsα=1，∴sinαcsα=0，
又0<α<π，∴csα=0，∴α=π2.
（2）当m=55时，sinα−csα=55.①
方法1：1−2sinαcsα=15，∴sinαcsα=25>0，∴0<α<π2，
∵(sinα+csα)2=1+2sinαcsα=95，∴sinα+csα=355.②
由①②可得sinα=255，csα=55，∴tanα=2.
方法2：sin2α−2sinαcsα+cs2α=15=15(sin2α+cs2α)，
∴2sin2α−5sinαcsα+2cs2α=0，∴2tan2α−5tanα+2=0，
∴tanα=2或tanα=12，
又1>sinα−csα=55>0，∴π4<α<π2，∴tanα>1，
∴tanα=2.
3．已知，则
A．B．
C．D．
考向四 诱导公式的应用
1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．
2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．
3．利用诱导公式化简三角函数式的思路：
（1）分析结构特点，选择恰当公式；
（2）利用公式化成单角三角函数；
（3）整理得最简形式．
利用诱导公式化简三角函数式的要求：
（1）化简过程是恒等变形；
（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．
常见的互余关系有与，与，与等；
常见的互补关系有与，与等.
典例4 已知,且，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴.
∵，∴，则.
∵，∴.故选A．
典例5 （1）化简：；
（2）化简：.
【解析】（1）=
.
（2）原式.
4．已知，，则
A．B．
C．D．
考向五 同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角形中的应用
与三角形相结合时，诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：,，等，于是可得，等．
典例6 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=23，，tanA=34，则sinA=______，b=________.
【答案】，4+3
【解析】由,得，
,
由正弦定理.
5．在中，“”是“为钝角三角形”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1．与终边相同的角是
A．B．
C．D．
2．设集合，，则
A．B．
C．D．
3．已知扇形面积为，半径是l，则扇形的圆心角是
A． B．
C． D．
4．函数的值域是
A．B．
C．D．
5．若，则
A． B．
C． D．
6．若，，则
A．2 B．
C．3 D．
7．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则
A． B．
C． D．
8．已知 ，则
A．B．
C．D．
9．若，，则的值为
A． B．
C． D．
10．已知点在终边上，则______．
11．在平面直角坐标系中,P点的坐标为,Q是第三象限内一点,|OQ|=1,且,则Q点的横坐标为_________.
12．已知的终边与单位圆交于点,点关于直线对称后的点为,点关于轴对称后的点为,设角的终边为射线.
（1）与的关系为_________;
（2）若,则________.
13． 在中，，且cs A＝－ cs（π－B），则C等于 ．
14．已知角的终边经过点，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
15．已知中，.
（1）试判断三角形的形状；
（2）求的值.
16．已知向量与互相平行，其中θ.
（1）求sinθ和csθ的值；
（2）若sin（θ－φ）＝，0<φ<，求csφ的值．
1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）已知α∈(0，)，2sin2α=cs2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
2．（2017年高考北京卷理数）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
3．（2018年高考全国Ⅱ理数）已知，，则__________．
4．（2018年高考浙江卷）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（1）求sin（α+π）的值；
（2）若角β满足sin（α+β）=，求csβ的值．
变式拓展
1．【答案】C
【解析】∵已知角的终边经过点，
∴，则.
故选C．
【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．求解时，直接利用任意角的三角函数的定义求得的值．
2．【答案】D
【解析】∵﹣1≤csx≤1，且sin（csx）＞0，
∴0＜csx≤1，
又sinx＜0，
∴角x为第四象限角，
故选D．
【名师点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．求解时，根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．
3．【答案】A
【解析】因为，所以
.
故选A.
【名师点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数式的化简等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合诱导公式和三角函数的性质化简三角函数式即可.
4．【答案】C
【解析】因为，
由诱导公式可得，，
又因为，所以.
故选C.
【名师点睛】本题考查了诱导公式，解题的关键是在于诱导公式的掌握，易错点为没有注意角的范围，属于较为基础题.求解时，先由诱导公式对原式进行化简，从而可得，再利用角的平方关系可得结果.
5．【答案】A
【解析】由，且B必为锐角，
可得或，即角或角为钝角；
反之，当，时，
，而=，所以不成立，
所以“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件，
故选A.
【名师点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查了三角形形状的判定，考查诱导公式等，属于综合题．求解时，先由诱导公式将正弦化为余弦，利用余弦的三角函数线比较大小即可得到角或角为钝角，再举反例说明必要性不成立即可.
专题冲关
1．【答案】D
【解析】终边相同的角相差了的整数倍，
设与角的终边相同的角是，则，，
当时，．
故选D．
【名师点睛】本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．属于基本知识的考查．终边相同的角相差了的整数倍，由，，令，即可得解．
2．【答案】C
【解析】∵，
∴当时，时，时，时，
又，
∴．
故选C．
【名师点睛】本题考查了交集及其运算，考查了赋值思想，是基础题．求解时，分别取，得到内的值，与取交集得答案．
3．【答案】C
【解析】设扇形的圆心角是，则，解得，故选C．
4．【答案】C
【解析】由题意可知：角的终边不能落在坐标轴上，
当角终边在第一象限时，
当角终边在第二象限时，
当角终边在第三象限时，
当角终边在第四象限时，
因此函数的值域为，故选C.
【名师点睛】本题考查了三角函数的正负性、分类讨论思想、数学运算能力.因为角的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角终边在第一、第二、第三、第四象限时，根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域.
5．【答案】C
【解析】由得α是第一、三象限角，若α是第三象限角，则A，B错；由知，C正确；α取时，，D错．
6．【答案】A
【解析】因为，所以即，选A．
7．【答案】B
【解析】由诱导公式可得：，，即，由三角函数的定义可得：，则
.故选B.
8．【答案】C
【解析】根据三角函数的诱导公式和三角函数基本关系式，
可得：，
解得，故选C.
【名师点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
9．【答案】C
【解析】由诱导公式得，
两边平方得，则，
所以，
又因为，所以，
所以，故选C．
10．【答案】
【解析】∵点P（1，2）在角α的终边上，∴，
将原式分子分母同除以，则原式.
故答案为：5．
【名师点睛】此题考查了任意角的三角函数定义,同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．求解时，根据P坐标，利用任意角的三角函数定义求出的值，原式分子分母除以，利用同角三角函数间基本关系化简，把的值代入计算即可求出值．
11．【答案】
【解析】设,则,∴Q点的横坐标为.
12．【答案】（1）;（2）
【解析】（1）由题意可得点为单位圆上的点，并且以射线为终边的角的大小为，
所以 又因为两点关于直线对称，所以
即则.
（2）
故
13．【答案】
【解析】∵
又，.
又即，
故填.
14．【解析】（1）因为角的终边经过点，且，
所以有，求得.
（2）由（1）可得，，
所以
=
=
=．
【名师点睛】本题考查了余弦函数的定义，同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为1的关系和商关系，考查了数学运算能力.
15．【解析】（1）将原式平方得1−2sinAcsA=即2sinAcsA=−，
故csA，
则三角形为钝角三角形.
（2）由（1）csA+sinA=，
解得或，
故tanA=或.
【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查化简求值能力，是中档题.求解时，（1）将原式平方得2sinAcsA<0,得csA即可判断三角形为钝角三角形；（2）结合（1）求得csA+sinA=，求得sinA及csA即可求解.
16．【解析】（1）∵a与b互相平行，
∴sinθ＝2csθ，
代入sin2θ＋cs2θ＝1，可得csθ＝，
又θ∈，∴csθ＝，
∴sinθ＝.
（2）∵0<φ<，0<θ<，∴－<θ－φ<，
又sin（θ－φ）＝，
∴cs（θ－φ）＝＝，
∴csφ＝cs[θ－(θ－φ)]＝csθcs（θ－φ）＋sinθsin（θ－φ）=.
直通高考
1．【答案】B
【解析】，，，又，，又，，故选B．
【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
2．【答案】
【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，（或），
所以.
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.
3．【答案】
【解析】因为，，所以
所以，
因此
【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.
4．【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由角的终边过点得，
所以.
（2）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.
求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.
（1）首先利用三角函数的定义求得，然后利用诱导公式，计算sin（α+π）的值;
（2）根据sin（α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算的值，要注意该值的正负，然后根据，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得csβ的值.
角所在的象限
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
图形
0






0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
不存在
0
不存在
0
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α
（k∈Z）
π+α
−α
π−α
−α
+α
正弦
sin α
−sinα
−sinα
sinα
csα
csα
余弦
cs α
−csα
csα
−csα
sinα
−sinα
正切
tan α
tanα
−tanα
−tanα
口诀
函数名不变，
符号看象限
函数名改变，
符号看象限