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    最新高考理数考点一遍过讲义 考点21 数列的概念与简单表示法

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    最新高考理数考点一遍过讲义 考点21 数列的概念与简单表示法

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    这是一份最新高考理数考点一遍过讲义 考点21 数列的概念与简单表示法,共26页。学案主要包含了数列的相关概念,数列的表示方法,数列的前n项和与通项的关系等内容,欢迎下载使用。
    课本上和老师讲解的例题,一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究,深刻理解,要透过“样板”,学会通过逻辑思维,灵活运用所学知识去分析问题和解决问题,特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法,并能总结出解题的规律。
    2、精练习题
    复习时不要搞“题海战术”,应在老师的指导下,选一些源于课本的变式题,或体现基本概念、基本方法的基本题,通过解题来提高思维能力和解题技巧,加深对所学知识的深入理解。在解题时,要独立思考,一题多思,一题多解,反复玩味,悟出道理。
    3、加强审题的规范性
    每每大考过后,总有同学抱怨没考好,纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否,不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系,确定解题思路 。
    4、重视错题
    “错误是最好的老师”,但更重要的是寻找错因,及时进行总结,三五个字,一两句话都行,言简意赅,切中要害,以利于吸取教训,力求相同的错误不犯第二次。
    专题21 数列的概念与简单表示法
    (1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
    (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数.
    一、数列的相关概念
    1.数列的定义
    按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
    数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.所以,数列的一般形式可以写成简记为.
    2.数列与函数的关系
    数列可以看成定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数,当自变量按照由小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.
    由于数列是特殊的函数,因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集(或其有限子集)这一条件.
    3.数列的分类
    二、数列的表示方法
    (1)列举法:将数列中的每一项按照项的序号逐一写出,一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况.
    (2)解析法:主要有两种表示方法,
    ①通项公式:如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即.
    ②递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项),且任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
    (3)图象法:数列是特殊的函数,可以用图象直观地表示.数列用图象表示时,可以以序号为横坐标,相应的项为纵坐标描点画图.由此可知,数列的图象是无限个或有限个孤立的点.
    三、数列的前n项和与通项的关系
    数列的前n项和通常用表示,记作,则通项.
    若当时求出的也适合时的情形,则用一个式子表示,否则分段表示.
    考向一 已知数列的前几项求通项公式
    1.常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
    具体策略:
    ①分式中分子、分母的特征;
    ②相邻项的变化特征;
    ③拆项后的特征;
    ④各项的符号特征和绝对值特征;
    ⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;
    ⑥对于符号交替出现的情况,可用或处理.
    根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想.
    2.常见的数列的通项公式:
    (1)数列1,2,3,4,…的通项公式为;
    (2)数列2,4,6,8,…的通项公式为;
    (3)数列1,4,9,16,…的通项公式为;
    (4)数列1,2,4,8,…的通项公式为;
    (5)数列1,,,,…的通项公式为;
    (6)数列,,,,…的通项公式为.
    3.根据图形特征求数列的通项公式,首先要观察图形,寻找相邻的两个图形之间的变化,其次要把这些变化同图形的序号联系起来,发现其中的规律,最后归纳猜想出通项公式.
    典例1 根据数列的前几项,写出下面数列的一个通项公式.
    (1);
    (2)8,98,998,9998,…;
    (3);
    (4)1,6,12,20,…;
    (5)
    【解析】(1)符号问题可通过或表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大,故通项公式为.
    (2)各项分别加上2,即得数列:10,100,1000,10000, …,
    故数列的一个通项公式为an=10n−2.
    (3)各项的分母依次为:21,22,23,24, …,
    容易看出第2,3,4项的分子比相应分母小3,
    再由各项的符号规律,把第1项变形为,既符合符号变化的规律,也满足了分子与分母之间的关系,
    故数列的一个通项公式为.
    (4)容易看出第2,3,4项满足规律:项的序号×(项的序号+1).
    而第1项却不满足,因此考虑分段表示,
    即数列的一个通项公式为.
    (5)数列变形为
    所以.
    典例2 如图,图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形,按同样的方式构造图形,则第个图包含的单位正方形的个数是
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【解析】设第个图包含个互不重叠的单位正方形,
    图①、图②、图③、图④分别包括1,5,13和25个互不重叠的单位正方形,
    ,,,
    ,由此类推可得:
    .
    经检验满足条件.故选C.
    【名师点睛】本题解题的关键是研究相邻两项的关系得出递推公式,再由累加法法得出第项的表达式,利用等差数列的求和公式即可得出答案,属于中档题.根据图①、图②、图③、图④分别包括1,5,13,和25个互不重叠的单位正方形,寻找规律,可得第个图包含个互不重叠的单位正方形,求和即可得到答案.
    1.数列的通项公式不可能为
    A.B.
    C.D.
    考向二 利用与的关系求通项公式
    已知求的一般步骤:
    (1)先利用求出;
    (2)用替换中的n得到一个新的关系,利用便可求出当时的表达式;
    (3)对时的结果进行检验,看是否符合时的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分与两段来写.
    利用求通项公式时,务必要注意这一限制条件,所以在求出结果后,要看看这两种情况能否整合在一起.
    典例3 在数列an中,a1=5,a2=4,数列an的前n项和Sn=A⋅2n+B(A,B为常数).
    (1)求实数A,B的值;
    (2)求数列an的通项公式.
    【解析】(1)由题意得S1=2A+B=a1=5,S2=4A+B=a1+a2=9,
    解方程组2A+B=54A+B=9,得A=2B=1,
    ∴A=2,B=1.
    (2)由(1)得Sn=2n+1+1.
    当n≥2时,an=Sn−Sn−1=2n+1−2n=2n,
    又当n=1时,a1=S1=5不满足上式,
    ∴an=5,n=12n,n≥2.
    典例4 已知数列的前项和为,且满足,,.
    (1)求的值;
    (2)求数列的通项公式.
    【解析】(1)∵, ,∴.
    ∴,∴.
    (2)由,得.
    ∴数列是首项为, 公差为的等差数列.
    ∴,∴.
    当时,.
    而适合上式,
    ∴.
    2.已知数列的各项都是正数,其前项和满足,,则数列的通项公式为_______.
    考向三 由递推关系式求通项公式
    递推公式和通项公式是数列的两种表示方法,它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中,一般是通过变换转化成特殊的数列求解.
    已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下:
    (1):常用累加法,即利用恒等式求通项公式.
    (2):常用累乘法,即利用恒等式求通项公式.
    (3)(其中为常数,):先用待定系数法把原递推公式转化为,其中,进而转化为等比数列进行求解.
    (4):两边同时除以,然后可转化为类型3,利用待定系数法进行求解;两边同时除以,然后可转化为类型1,利用累加法进行求解.
    (5):把原递推公式转化为,解法同类型3.
    (6):把原递推公式两边同时取对数,然后可转化为类型3,利用待定系数法进行求解.
    (7):把原递推公式两边同时取倒数,然后可转化为类型3,利用待定系数法进行求解.
    (8):易得,然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可.
    (9):易得,然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可.
    典例5 已知数列{an}中,a1=1,an=n(an+1−an)(n∈).求数列{an}的通项公式.
    【解析】方法一(累乘法)
    ∵an=n(an+1−an),即,
    ∴,,,…,(n≥2).
    以上各式两边分别相乘,得.
    又a1=1,∴an=n(n≥2).
    ∵a1=1也适合上式,∴an=n.
    方法二(迭代法)
    由知,,,,…,
    则an=a1×a2a1×a3a2×a4a3×…×an−1an−2×anan−1=1×21×32×43×…×n−1n−2×nn−1=n.
    典例6 在数列中,,.
    (1)设,求数列的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    【解析】(1)由已知有,∴,
    ∴,


    又当时,,满足上式.
    ∴ () .
    (2)由(1)知,
    ∴,
    而,
    令 ①,
    ∴ ②,
    ①−②得

    ∴.
    ∴.
    3.在数列中,,,,为常数,.
    (1)求的值;
    (2)设,求数列的通项公式.
    考向四 数列的性质
    数列可以看作是一类特殊的函数,所以数列具备函数应有的性质,在高考中常考查数列的单调性、周期性等.
    1.数列的周期性
    先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
    2.数列的单调性
    (1)数列单调性的判断方法:
    ①作差法:数列是递增数列;
    数列是递减数列;
    数列是常数列.
    ②作商法:当时,数列是递增数列;
    数列是递减数列;
    数列是常数列.
    当时,数列是递减数列;
    数列是递增数列;
    数列是常数列.
    (2)数列单调性的应用:
    ①构造函数,确定出函数的单调性,进而可求得数列中的最大项或最小项.
    ②根据可求数列中的最大项;根据可求数列中的最小项.当解不唯一时,比较各解对应的项的大小即可.
    (3)已知数列的单调性求解某个参数的取值范围,一般有两种方法:
    ①利用数列的单调性构建不等式,然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决,也可通过分离参数将其转化为最值问题处理;
    ②利用数列与函数之间的特殊关系,将数列的单调性转化为相应函数的单调性,利用函数的性质求解参数的取值范围,但要注意数列通项中n的取值范围.
    典例7 已知数列,其通项公式为 ,判断数列的单调性.
    【解析】方法一:,
    则 即,
    故数列是递增数列.
    方法二:,
    则 即数列是递增数列.
    (注:这里要确定的符号,否则无法判断与的大小)
    方法三:令,则函数的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为,
    则函数在上单调递增,故数列是递增数列.
    典例8 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a13+a23+a33+⋅⋅⋅+an3=Sn2对任意n∈N∗恒成立.
    (1)证明:2Sn=an2+an;
    (2)求数列{an}的通项公式;
    (3)若bn=2Sn+man,数列{bn}是递增数列,求m的取值范围.
    【解析】(1)由a13+a23+a33+⋅⋅⋅+an3=Sn2,
    得a13+a23+a33+⋅⋅⋅+an−13=Sn−12(n≥2),
    两式相减得an3=Sn2−Sn−12=an(Sn+Sn−1).
    又an>0,
    所以an2=Sn+Sn−1=2Sn−an,即2Sn=an2+an(n≥2),
    当n=1时,a13=S12,得a1=1,也满足2S1=a12+a1,
    所以2Sn=an2+an.
    (2)当n≥2时,,
    得an2−an−12=an+an−1,
    又an>0,所以an−an−1=1,
    所以数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,
    故an=1+(n−1)=n.
    (3)因为an=n,Sn=n(n+1)2,所以bn=n2+(m+1)n.
    所以bn+1−bn=(n+1)2+(m+1)(n+1) −n2−(m+1)n=2n+m+2>0对任意n∈N∗恒成立,
    所以m>−2n−2,得m>−4.
    故m的取值范围是.
    4.已知数列的前项和为,
    (1)求数列的通项公式;
    (2)判断数列的单调性,并证明.
    1.数列,,,,…的一个通项公式是
    A.an=(−1)n+1B.an=(−1)n
    C.an=(−1)n+1D.an=(−1)n
    2.在数列中,,则的值为
    A.B.
    C.D.以上都不对
    3.若数列的前项和,则它的通项公式是
    A.B.
    C.D.
    4.如图,给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项,则这个数列的一个通项公式是
    A. B.
    C. D.
    5.已知数列{}的前n项和为,,(),则
    A.32B.64
    C.128D.256
    6.已知数列满足,则的最小值为
    A.B.
    C.8D.9
    7.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:,即,此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列,则数列的前2019项的和为
    A.672B.673
    C.1346D.2019
    8.若数列满足,则___________.
    9.数列的前项和,若,则的最小值为______.
    10.已知数列满足,则的通项公式为______.
    11.已知{an}是递增数列,且对任意的自然数n(n≥1),都有恒成立,则实数λ的取值范围为__________.
    12.如图所示的数阵中,第64行第2个数字是________.
    13.已知数列{an}的通项公式an=n2−7n−8.
    (1)数列中有多少项为负数?
    (2)数列{an}是否有最小项?若有,求出其最小项.
    14.已知数列的前项和为,且.
    (1)求,;
    (2)求数列的通项公式.
    15.已知数列的前项和满足.
    (1)求,,的值;
    (2)已知数列满足,,求数列的通项公式.
    16.已知正数数列{an}的前n项和为Sn,满足,.
    (1)求数列{an}的通项公式;
    (2)设,若是递增数列,求实数a的取值范围.
    17.已知数列满足,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设为数列的前项和,求数列的前项和.
    1.(2018新课标全国Ⅰ理科)记为数列的前项和,若,则_________.
    2.(2015江苏)数列{an}满足a1=1且an+1−an=n+1(n∈N∗),则数列的前10项和为 .
    3.(2015新课标全国Ⅰ理科)为数列{}的前n项和.已知an>0,an2+2an=4Sn+3.
    (1)求{an}的通项公式;
    (2)设.求数列{bn}的前n项和.
    变式拓展
    1.【答案】B
    【解析】对于A,当为奇数,,当为偶数,,正确;
    对于B,当为奇数,,当为偶数,,不正确;
    对于C,当为奇数,,当为偶数,,正确;
    对于D,当为奇数,,当为偶数,,正确.
    故选B.
    【名师点睛】本题考查数列的通项公式,考查分类讨论与计算能力,属于基础题.对分为奇数、偶数讨论即可判断.
    2.【答案】
    【解析】因为数列的各项都是正数,其前项和满足,,所以
    当时,,;
    当时,,即,即,所以数列是等差数列,又,因此,,因此,又也满足,所以,.
    故答案为.
    【名师点睛】本题主要考查由递推公式求数列的通项公式,灵活处理递推公式即可,属于常考题型.求解时,先由递推公式求出,再由时,,整理,求出,进而可求出结果.
    3.【解析】(1)将代入,得,
    由,,得.
    (2)由,得,
    即.
    当时,,
    因为,所以.
    因为也适合上式,
    所以.
    【名师点睛】本题考查了由递推关系求通项,常用方法有:累加法,累乘法,构造等比数列法,取倒数法,取对数法等等,本题考查的是累加法,注意新数列的首项与原数列首项的关系.
    4.【解析】(1)
    .
    数列是等比数列,

    ,即数列的通项公式为.
    (2)数列是递减数列.
    证明如下:设,

    是递减数列,即数列是递减数列.
    【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及的知识点有:根据数列的递推公式判断其为等比数列,等比数列的求和公式,判断并证明数列的单调性,属于中档题目.
    (1)根据题中所给的条件,写出之后两式相减,得到,从而得到数列是等比数列,利用求和公式求得;
    (2)将进行化简,之后应用单调性的定义证明数列是递减数列.
    专题冲关
    1.【答案】C
    【解析】对于选项A,当n=2时,a2=,不满足题意,所以A不正确;
    对于选项B,当n=1时,a1=,不满足题意,所以B不正确;
    对于选项D,当n=2时,a2=,不满足题意,所以D不正确;
    当n=1,2,3,4时,an=(−1)n+1均满足题意,C正确.
    2.【答案】B
    【解析】由题得,
    所以数列的周期为3,又2019=3×673,所以.
    故选B.
    【名师点睛】本题主要考查数列的递推公式和数列的周期性,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.先通过列举找到数列的周期,再根据周期求解.
    3.【答案】B
    【解析】当时,,当n=1时,,满足上式,所以数列的通项公式为.故选B.
    4.【答案】D
    【解析】由题意知,根据累加法得
    =,故选D.
    5.【答案】B
    【解析】由,得,又,∴,即,
    且,即数列{1}是以1为首项,以2为公比的等比数列,
    则,即.
    ∴.
    故选B.
    【名师点睛】本题考查了数列递推式,考查利用构造法求数列的通项公式,属于中档题.求解时,由已知数列递推式构造等比数列{1},求其通项公式得到,再由求解.
    6.【答案】C
    【解析】由知:,,…,,相加得:,,又,所以时,单调递减,时,单调递增,因为,所以的最小值为,故选.
    【名师点睛】本题考查数列通项公式以及数列单调性,考查基本分析求解能力,属中档题.先根据叠加法求,再利用数列单调性求最小值.
    7.【答案】C
    【解析】由数列各项除以2的余数,
    可得为,
    所以是周期为3的周期数列,一个周期中的三项和为,
    因为,
    所以数列的前2019项的和为,
    故选C.
    【名师点睛】本题主要考查了由递推关系求数列各项的和,属于中档题.利用递推关系求数列中的项或求数列的和:(1)项的序号较小时,逐步递推求出即可;(2)项的序数较大时,考虑证明数列是等差、等比数列,或者是周期数列.
    8.【答案】
    【解析】由已知得,,所以,,,,,,.
    9.【答案】−12
    【解析】当,当n=1,满足上式,故=2n,
    =,对称轴为n=,故n=2或3 时,最小值为−12.
    故答案为−12.
    【名师点睛】本题考查由求数列通项,考查数列最值,考查计算能力,是基础题,注意n为正整数,是易错题.求解时,先由求得,再利用二次函数求的最小值.
    10.【答案】
    【解析】当时,由,得;
    当时,由,可得,
    两式相减得,,故.
    故答案为:.
    【名师点睛】本题考查数列的递推关系式的应用,数列通项公式的求法,意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和分析推理能力.
    11.【答案】(−3,+∞)
    【解析】由{an}为递增数列,得an+1−an=(n+1)2+λ(n+1)−n2−λn=2n+1+λ>0恒成立,即λ>−2n−1在n≥1时恒成立,令f(n)=−2n−1,n∈,则f(n)max=−3.
    只需λ>f(n)max=−3即可.故实数λ的取值范围为(−3,+∞).
    12.【答案】
    【解析】由题意,从第2行开始,每一行的第2个数字的分母组成一个数列,其中满足,
    则,
    当时,则,
    所以第64行的第2个数字为.
    【名师点睛】本题主要考查了数列的应用问题,其中解答中根据题意把从第2行开始,每一行的第2个数字的分母组成一个数列,求得数列的通项公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
    13.【解析】(1)令an

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