最高考文数考点一遍过（讲义） 考点12 导数的应用

这是一份最高考文数考点一遍过（讲义） 考点12 导数的应用，共36页。学案主要包含了导数与函数的单调性，利用导数研究函数的极值和最值，生活中的优化问题等内容，欢迎下载使用。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题12 导数的应用
1．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.
2．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题.
一、导数与函数的单调性
一般地，在某个区间(a，b)内：
（1）如果，函数f (x)在这个区间内单调递增;
（2）如果，函数f (x)在这个区间内单调递减;
（3）如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数．
注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内，()是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.
（3）函数f (x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a，b)内恒成立，且在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有，不影响函数f (x)在区间内的单调性.
二、利用导数研究函数的极值和最值
1．函数的极值
一般地，对于函数y=f (x)，
（1）若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧，右侧，则称x=a为f (x)的极小值点，叫做函数f (x)的极小值.
（2）若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x=b为f (x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
2．函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3．函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
三、生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.
解决优化问题的基本思路是：
考向一 利用导数研究函数的单调性
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求f ′(x)；
（2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号；
（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
典例1 若，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】①令，则，∴在上单调递增，
∴当时，，即，故A正确，B错误.
②令，则，令，则，
当时，；当时，，∴在上单调递增，
在上单调递减，易知C，D不正确.
故选A．
【名师点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小.
典例2 已知函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
【解析】由题意得：的定义域为，
（1）当时，，则，
当时，；当时，，
的单调递增区间为：.
（2）.
①当时，在上恒成立，
在上单调递增，可知满足题意；
②当时，，
当时，；当时，，
在上单调递减；在上单调递增，不满足题意.
综上所述：.
【名师点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间、根据函数在区间内的单调性求解参数取值范围的问题，关键是能够明确导数和函数单调性之间的关系，根据导函数的符号来确定函数的单调性.
1．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，证明：对任意，.
考向二 利用导数研究函数的极值和最值
1．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数极值的方法：
①确定函数的定义域．
②求导函数．
③求方程的根．
④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
2．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法
（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.
3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
典例3 若函数有极大值和极小值，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，则.
因为有极大值和极小值，所以有两个不等的实数根.
所以，即，解得或.
所以所求的取值范围是.
故选D.
【名师点睛】本题考查函数的极值与导数.三次多项式函数有极大值和极小值的充要条件是其导函数(二次函数)有两个不等的实数根.求解时，三次函数有极大值和极小值，则有两个不等的实数根，答案易求.
典例4 已知函数．
（1）当时，试判断函数的单调性；
（2）若，求证：函数在上的最小值小于．
【解析】（1）由题可得，
设，则，
所以当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以，
因为，
所以，即，
所以函数在上单调递增．
（2）由（1）知在上单调递增，
因为，
所以，
所以存在，使得，即，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，
令，，则恒成立，
所以函数在上单调递减，
所以，
所以，即当时，
故函数在上的最小值小于．
2．已知函数，其中为实常数.
（1）若是的极大值点，求的极小值；
（2）若不等式对任意，恒成立，求b的最小值.
考向三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系
1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.
2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.
典例 5 设函数（，，），若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是
【答案】D
【解析】，因为函数在处取得极值，所以是的一个根，整理可得，所以，对称轴为.
对于A，由图可得，适合题意；
对于B，由图可得，适合题意；
对于C，由图可得，适合题意；
对于D，由图可得，不适合题意，
故选D.
3．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是
A．B．
C．D．
考向四 生活中的优化问题
1．实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.
2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．
典例6 如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，∠CAB=π3，AB⊥BD，BC是以A为圆心，半径为1km的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线，其中P为BC上异于B，C的一点，PQ与AB平行，设∠PAB=θ.
（1）证明：观光专线的总长度随θ的增大而减小；
（2）已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.
【解析】（1）由题意，∠CAP=π3−θ，所以，
又PQ=AB−APcsθ=1−csθ，
所以观光专线的总长度为f(θ)=π3−θ+1−csθ =−θ−csθ+π3+1，0<θ<π3，
因为当0<θ<π3时，f'(θ)=−1+sinθ<0，
所以f(θ)在(0，π3)上单调递减，
即观光专线的总长度随θ的增大而减小.
（2）设翻新道路的单位成本为a(a>0)，
则总成本g(θ)=a(π3−θ+2−2csθ) =a(−θ−2csθ+π3+2)，0<θ<π3，
g'(θ)=a(−1+2sinθ)，
令g'(θ)=0，得sinθ=12，
因为0<θ<π3，所以θ=π6，
当0<θ<π6时，g'(θ)<0；当π6<θ<π3时，g'(θ)>0.
所以，当θ=π6时，g(θ)最小.
答：当θ=π6时，观光专线的修建总成本最低.

4．在四面体ABCD中，若，则四面体ABCD体积的最大值是
A．B．
C．D．
1．已知函数fx=xlnx+3，则fx的单调递减区间为
A．e，+∞ B．0，e
C．0，1和1，e D．−∞，1和1，e
2．设函数，则
A．为的极大值点B．为的极小值点
C．为的极大值点D．为的极小值点
3．已知函数与其导函数的图象如图，则满足的x的取值范围为
A． B．
C． D．
4．设定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导函数f'(x)满足xf'(x)>1，则
A．f(2)−f(1)>ln2 B．f(2)−f(1)C．f(2)−f(1)>1 D．f(2)−f(1)<1
5．若函数fx=exx+2在−2，a上有最小值，则a的取值范围为
A．−1，+∞ B．−1，+∞
C．0，+∞ D．0，+∞
6．已知函数，对任意，，都有，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
7．已知函数，函数g(x)=f(x)−m有两个零点，则实数m的取值范围为
A．(−∞，8e2) B．(8e2，4]
C．(0，8e2) D．(−∞，8e2)∪[4，+∞)
8．已知函数，若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
9．已知函数fx=1ex+alnxa∈R．若函数fx在定义域内不是单调函数，则实数a的取值范围是__________．
10．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为______.
11．底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥，则半径为2的球的内接正四棱锥体积的最大值为__________．
12．已知函数在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）设，求函数在上的最大值．
13．设函数f(x)=m(x−lnx)−1x−lnx，m∈R.
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若m∈(0，1)，且f(x)≤0在区间1，e上恒成立，求m的取值范围.
14．设f(x)=xlnx−32ax2+(3a−1)x.
（1）g(x)=f'(x)在[1，2]上单调，求a的取值范围；
（2）已知f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围.
15．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）证明：当时，.
1．（2018年高考全国Ⅱ卷文数）函数的图像大致为
2．（2018年高考全国Ⅲ卷文数）函数的图像大致为
3．（2017年高考浙江）函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是
4．（2017年高考山东文数）若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质.下列函数中具有M性质的是
A．B．
C．D．
5．（2019年高考浙江）已知，函数．若函数恰有3个零点，则
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
6．（2019年高考江苏）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 ▲ .
7．（2017年高考江苏）已知函数，其中e是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ▲ ．
8．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）已知函数f（x）=2sinx-xcsx-x，f ′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
9．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）已知函数．证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
10．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当011．（2018年高考全国Ⅰ卷文数）已知函数．
（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
变式拓展
1．【解析】（1）的定义域为，.
当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减；
当时，令，解得.
由于在上单调递减，则当时，，故在上单调递增；当时，，故在上单调递减.
（2）不妨假设．
由于，故在上单调递减.
∴等价于，即.
令，则.
于是.
从而在上单调递减，
故，即，
故对任意.
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值、最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题、解决问题的能力.本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分别求出其单调区间和单调性；第二问的求解中则先构造函数，然后再对函数求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙得证.
2．【解析】（1），.
由，得，所以，
此时.
则，
所以在上为减函数，在上为增函数.
所以为极小值点，极小值为.
（2）不等式即为，
所以.
①若，则，.
当，时取等号；
②若，则，.
由（1）可知在上为减函数.
所以当时，.
因为，所以.
于是.
3．【答案】B
【解析】由函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，
所以当时，；时，；时，；
所以当时，，当时，，
当或时，，当时，，
可得选项B符合题意，故选B．
【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值的应用，其中解答中认真审题，导数的性质和函数的极值之间的关系合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．【答案】A
【解析】如图，取AB中点E，连接CE，DE，设，则，
当平面平面ABD时，四面体体积最大，
四面体的体积，则，
当时，，V为增函数，当时，，V为减函数，
则当时，V有最大值．
故选A．
【名师点睛】本题考查四面体的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．求解时，由题意画出图形，取AB中点E，连接CE，DE，设，则，可知当平面平面ABD时，四面体体积最大，写出体积公式，利用导数求得体积最值．
专题冲关
1．【答案】C
【解析】由题得f'(x)=lnx−x⋅1x(lnx)2=lnx−1(lnx)2(x>0，x≠1)，解不等式lnx−1(lnx)2<0得x＜e.
∵x＞0，x≠1，∴0＜x＜1和1＜x＜e.∴函数fx的单调递减区间为0，1和1，e.
故选C.
2．【答案】D
【解析】因为，所以，
由得，
所以，当时，，故单调递增；
当时，，故单调递减，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查导数的极值点，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，进而可得极值点，属于常考题型.求解时，先对函数求导，用导数方法研究其单调性，进而可得出其极值与极值点.
3．【答案】D
【解析】观察图象可得，导函数的图象过点（0，0），（，0），
原函数的图象过点（0，0），（2，0），
观察图象可得满足的x取值范围为，
故选D.
【名师点睛】本题主要考查导数与函数的图象的判定与应用，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.求解时，观察图象可得的图象与原函数的图象，结合图象可得满足的x的取值范围.
4．【答案】A
【解析】由定义在(0，+∞)上的函数fx的导函数f'x满足xf'(x)>1，则f'(x)>1x，即f'(x)−1x>0，
设gx=fx−lnx，x>0，则g'x=f'(x)−1x>0，所以函数gx在(0，+∞)上为单调递增函数，
则g2>g1，即f2−ln2>f1−ln1，所以f2−f1>ln2，故选A．
5．【答案】A
【解析】∵函数fx=exx+2，∴，
当−2当x>−1时，f'(x)>0，即函数fx在(−1，+∞)上为增函数.
∴f(x)min=f(−1).
∵函数fx=exx+2在−2，a上有最小值，∴a>−1.故选A．
6．【答案】D
【解析】由题意可知函数f（x）是（﹣∞，0）上的单调递减函数，且当x＜0时，，
由，可得：2axex+1≥0，即 恒成立，
令g（x）＝xex（x＜0），则g'（x）＝ex（x+1），据此可得函数g（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，
在区间（﹣1，0）上单调递增，函数g（x）的最小值为，则 ，
可得：实数的取值范围是．
故选D．
【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中档题．求解时，由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数的取值范围即可．
7．【答案】C
【解析】当x≥2时，设ℎ(x)=x2+2xex，则ℎ'(x)=(2x+2)ex−(x2+2x)exe2x=−x2−2ex，
易知当x>2时，ℎ'(x)<0，即ℎ(x)是减函数，∴x=2时，ℎ(x)最大=ℎ(2)=8e2，
又x→+∞时，ℎ(x)→0且ℎ(x)>0，而x≤2时，f(x)=x+2是增函数，f(2)=4．
g(x)=f(x)−m有两个零点，即y=f(x)的图象与直线y=m有两个交点，所以0故选C．
8．【答案】A
【解析】∵，则=，令，则，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴当x=时，取得最大值，最大值为，
∴f（x）的大致图象如图：
要使方程恰有两个不同的实数根，即直线y=a与函数y=的图象有两个不同的交点，
∴.
故选A.
【名师点睛】本题考查了利用导数研究方程的根的问题，考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，考查了函数与方程的转化，属于中档题．解答本题时，由方程恰有两个不同实数根，等价于y＝f（x）与y＝a有2个交点，数形结合求出a的取值范围即可．
9．【答案】0，1e
【解析】由于函数不单调，则函数在定义域内有极值点，f'(x)=−e−x+ax=0，a=xex，令函数g(x)=xex，x>0，g'(x)=1−xex，所以函数g(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，g(0)=0，又x>0时，g(x)>0，g(1)=1e，所以a∈ 0，1e.
10．【答案】
【解析】∵为偶函数，∴的图象关于对称，
∴的图象关于对称，∴.
又，∴.
设，则.
又∵，∴，∴，∴在上单调递减.
∵，∴，即.
又∵，∴，∴.
【名师点睛】本小题主要考查函数图象的对称性，考查函数图象变换，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数解不等式，综合性较强，属于中档题.求解本题时，根据为偶函数可得的图象关于对称，由此求得，构造函数，利用导数研究的单调性，将原不等式转化为，由此求得的取值范围.
11．【答案】
【解析】因为正四棱锥内接于球内，且欲使正四棱锥的体积最大，
故球的球心在正四棱锥的高上，如图所示，其中球的球心为点，
设，则，
在中，有，故，
正四棱锥的高为，
正四棱锥的体积为，
令，，
故，即，
对求导得，，
令，即，解得，或（舍），
当，，单调递增，
当，，单调递减，
故当时，.
【名师点睛】本题考查了四棱锥与外接球的位置关系问题，解题的关键是找准外接球的球心，建立出四棱锥的体积函数，通过导数进行求解体积的最值.设出底面正方形的边长，根据内接关系，得出正四棱锥的高，进而得出正四棱锥的体积的函数式，求导得出最值.
12．【解析】（1）由题意，函数，则，
，
而，代入切线方程：，
解得.
（2）由（1）得，知，
令，解得；令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
根据图象的变换可得，当时，函数，
再设，，
则，，
令，解得；令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∵的定义域为，
∴在上的最大值为.
【名师点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；
(2)利用导数求函数的单调区间，以及函数单调性，求解参数；
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．
13．【解析】（1）函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=(x−1)(mx−1)x2，
当m=0时，f'(x)=−x+1x2，函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减；
当m<0时，1m<0<1，函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减；
当0当m=1时，f'(x)=(x−1)2x2≥0，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增；
当m>1时，0<1m<1，函数f(x)在区间(0，1m)上单调递增，在区间(1m，1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增.
（2）若m∈(0，1)，且f(x)≤0在区间1，e上恒成立，等价于在区间1，e上f(x)max≤0.由（1）中的讨论，知
当0即m≤1，从而得0当1e即只需f(1)=m−1≤0f(e)=m(e−1)−1e−1≤0，即m≤1m≤e+1e(e−1)，
由于1e综上，m的取值范围为(0，e+1e(e−1)].
14．【解析】（1）f'(x)=lnx−3ax+3a，则g(x)=lnx−3ax+3a，x∈(0，+∞)，g'(x)=1x−3a，
①g(x)在[1，2]上单调递增，∴1x−3a≥0对x∈[1，2]恒成立，即a≤13x对x∈[1，2]恒成立，得a≤16；
②g(x)在[1，2]上单调递减，∴1x−3a≤0对x∈[1，2]恒成立，即a≥13x对x∈[1，2]恒成立，得a≥13，
由①②可得a的取值范围为−∞，16∪13，+∞.
（2）由（1）知，
①a≤0，f'(x)在(0，+∞)上单调递增，∴x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在x=1处取得极小值，符合题意；
②01，又f'(x)在(0，13a)上单调递增，∴x∈(0，1)时，f'(x)<0，∴x∈1，13a时，f'(x)>0，∴f(x)在(0，1)上单调递减，在1，13a上单调递增，则f(x)在x=1处取得极小值，符合题意；
③a=13时，13a=1，f'(x)在(0，1)上单调递增，∴在(1，+∞)上单调递减，又f'1=0，
∴x∈(0，+∞)时，f'(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意；
④a>13时，0<13a<1，当x∈13a，1时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，∴f(x)在x=1处取得极大值，不符合题意.
综上所述，可得a∈−∞，13.
15．【解析】（1）当时，，
所以，
讨论：①当时，，有；
②当时，由函数为增函数，得，有；
③当时，由函数为增函数，得，有.
综上，函数的增区间为，，减区间为.
（2）当时，有，所以，
所以.
令，则.
令，有.
令，得.
分析知，函数的增区间为，减区间为.
所以.
所以分析知，函数的增区间为，减区间为，
所以，
故当时，.
【名师点睛】本题主要考查利用导数求解函数的单调区间和利用导数证明不等式，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.求解本题时，（1）先求导数，由可得减区间，由可得增区间；（2）不等式的证明转化为最值的求解即可.
直通高考
1．【答案】B
【解析】为奇函数，舍去A；
，∴舍去D；
时，，单调递增，舍去C.
因此选B.
【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性.
2．【答案】D
【解析】函数图象过定点，排除A，B；
令，则，
由得，得或，此时函数单调递增，
由得，得或，此时函数单调递减，排除C.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.
3．【答案】D
【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，
因此选D．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．
4．【答案】A
【解析】对于A，在R上单调递增，故具有性质；
对于B，，令，则，
∴当或时，，当时，，
∴在，上单调递增，在上单调递减，
故不具有性质；
对于C，在R上单调递减，故不具有性质；
对于D，易知在定义域内有增有减，故不具有性质．
故选A.
【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向，它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．
5．【答案】C
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b1−a，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3−12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3−12（a+1）x2﹣b，
，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如图：
∴b1−a＜0且−b＞013(a+1)3−12(a+1)(a+1)2−b＜0，
解得b＜0，1﹣a＞0，b＞−16（a+1）3，
则a>–1，b<0.
故选C．
【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3−12（a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．
6．【答案】
【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.
设点，则.
又，
当时，，
则曲线在点A处的切线为，
即，
将点代入，得，
即，
考察函数，
当时，，当时，，
且，
当时，单调递增，
注意到，
故存在唯一的实数根，
此时，
故点的坐标为.
【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
7．【答案】
【解析】因为，所以函数是奇函数，
因为，
所以函数在上单调递增，
又，即，
所以，即，
解得，
故实数的取值范围为．
【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内．
8．【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）设，则.
当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，故在存在唯一零点.
所以在存在唯一零点.
（2）由题设知，可得a≤0.
由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，所以，当时，.
又当时，ax≤0，故.
因此，a的取值范围是.
【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
9．【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）的定义域为（0，+）.
.
因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，
，故存在唯一，使得.
又当时，，单调递减；当时，，单调递增.
因此，存在唯一的极值点.
（2）由（1）知，又，所以在内存在唯一根.
由得.
又，故是在的唯一根.
综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.
10．【答案】（1）见详解；（2）.
【解析】（1）．
令，得x=0或．
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减．
（2）当时，由（1）知，在单调递减，在单调递增，所以在[0,1]的最小值为，最大值为或.于是
，
所以
当时，可知单调递减，所以的取值范围是．
当时，单调递增，所以的取值范围是．
综上，的取值范围是．
【名师点睛】这是一道常规的导数题目，难度比往年降低了不少.考查函数的单调性，最大值、最小值的计算.
11．【答案】（1）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增；（2）见解析.
【解析】（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．
由题设知，f ′（2）=0，所以a=．
从而f（x）=，f ′（x）=．
当02时，f ′（x）>0．
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）当a≥时，f（x）≥．
设g（x）=，则
当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当时，．
【名师点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.