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最高考文数考点一遍过（讲义） 考点40 随机抽样
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这是一份最高考文数考点一遍过（讲义） 考点40 随机抽样，共28页。学案主要包含了简单随机抽样，系统抽样，分层抽样，三种抽样方法的比较等内容，欢迎下载使用。
课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题40 随机抽样
随机抽样
（1）理解随机抽样的必要性和重要性．
（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．
一、简单随机抽样
1．定义：
设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
2．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．
3．应用范围：总体中的个体数较少．
注意：不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．
二、系统抽样
1．定义：
当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．
2．系统抽样的操作步骤：
第一步编号：先将总体的N个个体编号；
第二步分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k=；
第三步确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
第四步获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号，再加k得到第3个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本．
3．应用范围：总体中的个体数较多．
注意：系统抽样是等距抽样，抽样个体的编号相差的整数倍．
三、分层抽样
1．定义：
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
2．应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
注意：分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．
四、三种抽样方法的比较
考向一 简单随机抽样
应用简单随机抽样应注意的问题：
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是抽签是否方便；
二是号签是否易搅匀．
一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
(3)简单随机抽样需满足：
①被抽取的样本总体的个体数有限；
②逐个抽取；
③是不放回抽取；
④是等可能抽取．
典例1 下面的抽样方法是简单随机抽样的是
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为
2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验
【答案】D
【解析】A、B是系统抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；
C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；
D是简单随机抽样．
故选D.
【名师点睛】抽签法与随机数法的适用情况：抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．
1．总体由编号为01，02，…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为
50 44 66 44 29 67 06 58 03 69 80 34 27 18 83 61 46 42 23
91 67 43 25 74 58 83 11 03 30 20 83 53 12 28 47 73 63 05
A．42B．36
C．22D．14
考向二 系统抽样
用系统抽样法抽取样本，当不为整数时，取，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N－nk)个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．
典例2 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为
A．12B．11
C．14D．13
【答案】A
【解析】由于抽取的样本为42人，所以840人要分成42组，每组的样本容量为20人，
所以在区间共抽24人，在共抽36人，
所以编号落入区间的人数为人.
故选A.
2．滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2，⋯ ，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间1,820的人做问卷A，编号落入区间821,1520的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为
A．23 B．24
C．25 D．26
考向三 分层抽样
与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数．
(2)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数．
进行分层抽样时应注意以下几点：
(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．
(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．
典例3 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于
A．9 B．10
C．12 D．13
【答案】D
【解析】由题意得eq \f(3,60)＝eq \f(n,120＋80＋60)，解得n＝13．
故选D.
【名师点睛】分层抽样分层的原则：分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．
3．某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则
A．990B．1320
C．1430D．1560
考向四 三种抽样方法的综合
(1)简单随机抽样的特点：
总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性；个体间无固定间距．
(2)系统抽样的特点：
适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．
(3)分层抽样的特点：
适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．
典例4 某校150名教职工中，有老年人20名，中年人50名，青年人80名，从中抽取30名作为样本．
①采用随机抽样法：抽签取出30个样本；
②采用系统抽样法：将教职工编号为000，001，…，149，然后平均分组抽取30个样本；
③采用分层抽样法：从老年人、中年人、青年人中抽取30个样本．
下列说法中正确的是
A．无论采用哪种方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等
B．①②两种抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等；③并非如此
C．①③两种抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等；②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率是各不相同的
【答案】A
【解析】三种抽样方法中，每个人被抽到的概率都等于eq \f(30,150)＝eq \f(1,5)，故选A．
4．现要完成下列3项抽样调查：
①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格.
②某中学共有480名教职工，其中一线教师360名，行政人员48名，后勤人员72名.为了解教职工对学校校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.
③某中学报告厅有28排，每排有35个座位，一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请28名听众进行座谈.
较为合理的抽样方法是
A．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
B．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
1．简单随机抽样的结果
A．完全由抽样方式所决定
B．完全由随机性所决定
C．完全由人为因素所决定
D．完全由计算方法所决定
2．为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了位市民，在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是
A．总体是上海市民家庭总数量，样本是位市民家庭的存书量，样本的容量是
B．总体是上海市民家庭的存书量，样本是位市民家庭的存书量，样本的容量是
C．总体是上海市民家庭的存书量，样本是位市民，样本的容量是
D．总体是上海市民家庭总数量，样本是位市民，样本的容量是
3．某产品生产线上，一天内每隔60分钟抽取一件产品，则该抽样方法为①；某中学从30名机器人爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽取方法为②，那么
A．①是系统抽样，②是简单随机抽样 B．①是分层抽样，②是简单随机抽样
C．①是系统抽样，②是分层抽样 D．①是分层抽样，②是系统抽样
4．为了了解参加某次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为
A．2 B．3
C．4 D．5
5．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从编号，并按编号顺序平均分成20组(号，号，…，号)，若按等距的规则从第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签法确定的号码是
A．6B．7
C．5D．4
6．为了解城市居民的环保意识，某调查机构从一社区的120名年轻人、80名中年人、60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n＝
A．13 B．12
C．10 D．9
7．总体由编号为00,01,02，...，48,49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为
附：第6行至第9行的随机数表：
2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950
3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732
2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620
7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125
A．3 B．16
C．38 D．49
8．为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为0001，0002，…，2000的2000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为0003，则第三个样本编号是
A．0083 B．0043
C．0123 D．0163
9．某单位共有老年人180人，中年人540人，青年人人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为的样本，用分层抽样方法抽样进行调查，样本中的中年人为6人，则和的值不可以是下列四个选项中的哪组
A．B．
C．D．
10．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取一部分人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为
A．56 B．28
C．44 D．14
11．随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题，某市创新性的采用“公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心”，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理，计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统（等距）抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有4号、16号和22号，则下面号码中可能被抽到的号码是
A．9B．12
C．15D．28
12．某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是
A．12 B．15
C．20 D．21
13．某市教育主管部门为了全面了解高三学生的学习情况，决定对该市参加2019年高三第一次全国大联考统考（后称统考）的32所学校进行抽样调查；将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法，抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小编号是
A．3 B．1
C．4 D．2
14．有200人参加了一次会议，为了了解这200人参加会议的体会，将这200人随机编号为001,002，003，…，200，用系统抽样的方法(等距离)抽出20人，若编号为006,036,041,176,196的5个人中有1个没有抽到，则这个编号是
A．006B．041
C．176D．196
15．某中学膳食中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：根据表中数据，采用分层抽样的方法抽取的20人中，喜欢吃甜品的男、女生人数分别是
A．1，6B．2，12
C．2，4D．4，16
16．某学校在校艺术节活动中，有24名学生参加了学校组织的唱歌比赛，他们比赛的成绩的茎叶图如图所示，将他们的比赛成绩从低到高编号为1~24，再用系统抽样方法抽出6名同学周末到某音乐学院参观学习，则样本中比赛成绩不超过85分的学生人数为
A．1 B．2
C．3 D．不确定
17．分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法.在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是
A．甲应付钱 B．乙应付钱
C．丙应付钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
18．某班运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人、羽毛球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取容量为的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当抽取样本的容量为时，若采用系统抽样法，则需要剔除一个个体，则样本容量
A．6B．7
C．12D．18
19．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位：厘米）按，，，，分组，绘制成频率分布直方图（如图）．从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为
A．3B．4
C．5D．6
20．将全班同学按学号编号，制作相应的卡片号签，放入同一个箱子里均匀搅拌，从中抽出15个号签，就相应的15名学生对看足球比赛的喜爱程度(很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱)进行调查，使用的是_________法.
21．某班级有名学生，现采取系统抽样的方法在这名学生中抽取名，将这名学生随机编号并分组，若在第三组中抽得的号码为号的学生，则在第八组中抽得的号码为__________的学生．
22．某工厂生产的A、B、C三种不同型号的产品数量之比依次为2:3:5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A、B、C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有16件，则n的值为__________．
23．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽__________人．
24．某班级共有52名学生，现将学生随机编号，用系统抽样法，抽取一个容量为4的样本，已知抽取的号中最小的与最大的和为51，那么在样本中的被抽到的编号依次是________．
25．某校对全校共1800名学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是__________.
26．某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为__________.
27．某县现有高中数学教师500人，统计这500人的学历情况，得到如下饼状图，该县今年计划招聘高中数学新教师，只招聘本科生和研究生，使得招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，且研究生的比例保持不变，则该县今年计划招聘的研究生人数为__________.
28．在某市高三教学质量检测中，全市共有名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试的学生人数为人，非示范性高中参加考试的学生人数为人.现从所有参加考试的学生中随机抽取人，对检测成绩进行数据分析.
（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；
（2）依据人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分.
29．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参加宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率.
30．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．
（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了第7行到第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有．
①若在该样本中，数学成绩优秀率是，求的值：
②在地理成绩及格的学生中，已知，，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．
1．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A．8号学生B．200号学生
C．616号学生D．815号学生
2．（2015四川文科）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是
A．抽签法 B．系统抽样法
C．分层抽样法 D．随机数法
3．（2015北京文科）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为
A． B．
C． D．
4．（2015湖南文科）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为
A．3 B．4
C．5 D．6
5．（2014四川文科）在“世界读书日”前夕，为了了解某地名居民某天的阅读时间，从中抽取了名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，名居民的阅读时间的全体是
A．总体 B．个体
C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本
6．（2014重庆文科）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为
A．100 B．150
C．200 D．250
7．（2014广东文科）为了了解名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为的样本,则分段的间隔为
A． B．
C． D．
8．（2018新课标全国Ⅲ文科）公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
9．（2017江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．
10．（2015福建文科）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男、女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．
11．（2014天津文科）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取 名学生.
12．（2019年高考天津卷文数）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为．享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
13．（2015天津文科节选）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.
（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数.
变式拓展
1．【答案】C
【解析】随机数表第1行的第8列和第9列数字为42，由左至右选取两个数字依次为42，36，03，14，22，则选出的第5个个体的编号为22，故选C．
2．【答案】B
【解析】若采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，则需要分为100组，每组20人，若第一组抽到的号码为9，则以后每组中抽取的号码分别为29,49,69,89,109,⋯，所以抽到的号码构成以9为首项，20为公差的等差数列，此等差数列的通项公式为an=9+20n−1=20n−11.
由题意可知，令1521≤20n−11≤2000,n∈Z.解得76.6≤n≤100.5,n∈Z，所以77≤n≤100,n∈Z，
则编号落入区间1521,2000的有24人，故选B．
3．【答案】B
【解析】根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为和，于是得出样本中男生与女生人数之差为，由此可求出的值.
依题意可得，解得，故选B.
4．【答案】A
【解析】①总体数量较少，抽取样本数量较少，采用简单随机抽样；
②不同岗位员工差异明显，且会影响到统计结果，因此采用分层抽样；
③总体数量较多，且排数与抽取样本个数相同，因此采用系统抽样.
故选A.
专题冲关
1．【答案】B
【解析】根据简单随机抽样的定义，总体中每个个体被抽到的机会相等，因此简单随机抽样的结果只与随机性有关.
选B.
2．【答案】B
【解析】根据题目可知，总体是上海市民家庭的存书量，样本是位市民家庭的存书量，样本的容量是.
故选B项.
3．【答案】A
【解析】∵某产品生产线上每隔60分钟抽取一件产品进行检验，是等距的，∴①为系统抽样；
某中学的30名机器人爱好者中抽取3人了解学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，∴②为简单随机抽样．
故选A．
4．【答案】A
【解析】学生总数不能被容量整除，根据系统抽样的方法，应从总体中随机剔除个体，保证整除．
∵1252=50×25+2，∴应从总体中随机剔除个体的数目是2.
故选A.
5．【答案】A
【解析】根据系统抽样的概念，可知若第1组抽取的号码为，
则第16组抽取的号码为，即，解得.
故选A．
6．【答案】A
【解析】因为60名老年人中抽取了3名，所以抽样比为360=120，所以总的抽样人数为(120+80+60）×120=13.
故选A．
7．【答案】C
【解析】从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，选出来编号在00∼49的前4个个体的编号为33,16,20,38，所以选出来的第4个个体的编号为38.
故选C．
8．【答案】A
【解析】根据系统抽样方法可知，抽样间隔为200050=40，
则抽样的编号为0003+40(n−1).
令n=3，则第三个样本编号是0003+40×(3−1)=0083.
故选A．
9．【答案】B
【解析】某单位共有老年人180人，中年人540人，青年人人，
样本中的中年人为6人，则老年人的人数为，青年人的人数为，
则，
代入选项计算，B不符合.
故选B.
10．【答案】B
【解析】因为在编号[481,720]中共有720-480=240人，又在[481,720]中抽取8人,所以抽样比应为8240，因为单位职工共有840人,所以应抽取的样本容量为8240×840=28.
故选B．
11．【答案】D
【解析】用系统（等距）抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有4号、16号和22号，假设抽取的号码为9，则间距为9-4=5，则这五个数为：4，9，14，19，24，不合题意；假设抽取的号码为12，则这五个数为4，12，16，22，间距分别为8，4，6，再插入一个数也不会等间距，故不合题意；如果抽取的号码为15，则15，16相邻，不可能成立，故舍去；如果抽取的号码为28，则这五个数为：4，10，16，22，28，满足题意.
故选D．
12．【答案】A
【解析】因为分层抽样的抽样为，所以初中生中抽取的男生人数是.故选A.
【名师点睛】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：
(1)；
(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
13．【答案】A
【解析】根据系统抽样法，总体分成8组，组距为，若抽到的最大编号为31，则最小的编号是3．所以A选项是正确的．
14．【答案】B
【解析】由题意，从200人中用系统抽样的方法抽取20人，所以抽样的间隔为，
若在第1组中抽取的数字为006，则抽取的号码满足，其中，
其中当时，抽取的号码为36；当时，抽取的号码为176；当时，抽取的号码为196，所以041这个编号不在抽取的号码中.
故选B．
15．【答案】B
【解析】根据题意，得抽取20人组成样本时的抽样比例是，
∴样本中喜欢吃甜食的男生人数是10×=2，
女生人数是60×=12．故选B．
16．【答案】B
【解析】因为比赛成绩不超过85分的学生有8人，所以样本中比赛成绩不超过85分的学生人数为824×6=2，选B．
17．【答案】B
【解析】依题意：由分层抽样知识可知，，
则甲应付：钱；乙应付：钱；丙应付：钱．故选B.
18．【答案】A
【解析】因为采用系统抽样法和分层抽样法，不用剔除个体，
所以为的正约数，
又因为，
所以为6的倍数，因此，
因为当样本容量为时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，
所以为35的正约数，因此.故选A．
19．【答案】A
【解析】各组频率等于各组矩形的面积，所以，
身高在，，的频率分别为0.3，0.2，0.1，
则身高在，，的频数分别为30，20，10，
分层抽样的比例为.
所以，身高在内的学生中选取的人数为.
故选A．
20．【答案】抽签
【解析】抽签法分为编号、制签、取样三步,这里用了学生的学号作为编号,后面的抽取过程符合抽签法的实施步骤,所以采用的是抽签法.
21．【答案】
【解析】这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为12+（8﹣3）×5＝37．故答案为37．
22．【答案】80
【解析】由题意结合分层抽样的定义有：n×22+3+5=16，解得n=80.
故答案为80．
23．【答案】60
【解析】由题意可得，三乡共有人，从中抽取500人，因此抽样比为，所以北乡共抽取人；南乡共抽取人，所以北乡比南乡多抽人.
故答案为.
24．【答案】6，19，32，45
【解析】设最小的编号为x，由题意可得x＋x＋13×3＝51，x＝6，所以抽到的编号依次是6，19，32，45．
25．【答案】810
【解析】设抽取的女生人数为x，则x+x+20=200，解得x=90，
则抽取的女生人数为90，抽取的男生人数为200−90=110，
据此可知该校的女生人数应是1800×90200=810.
26．【答案】35
【解析】由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7，
抽样比为，故该单位的行政人员人数是735，
故答案为 35．
27．【答案】50
【解析】招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，
则招聘后，该县高中数学教师总人数为，
招聘后研究生的比例保持不变，
该县今年计划招聘的研究生人数为.
28．【解析】（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样，
由题意，从示范性高中抽取人，
从非示范性高中抽取人；
（2）由频率分布直方图估算样本平均分为
故估计本次检测全市学生数学成绩的平均分为.
29．【解析】（1）第组的人数为，
第组的人数为，
第组的人数为，
因为第，，组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽取的人数分别为：第组:；第组:；第组:.
所以应从第，，组中分别抽取人，人，人.
（2）设“第组的志愿者有被抽中”为事件M.
记第组的名志愿者为，，，第组的名志愿者为，，第组的名志愿者为，则从名志愿者中抽取名志愿者有:
，，，，，，，，，，
，，，，，共有种.
其中第组的志愿者被抽中的有种，
则，
答：第组的志愿者有被抽中的概率为.
30．【解析】（1）由题意，根据给定的随机数表，从第8行第7列的数开始向右读，最先检查的3个人的编号依次为，，．
（2）①由题意知，
解得，
．
②，
因为，，所以，的可能情况：，，，，，，，，，，共有10种，
设，时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A，
事件A包括：，，，共有3个基本事件，
则，
故数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为．
直通高考
1．【答案】C
【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，所以，若，解得，不合题意；若，解得，不合题意；若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．
2．【答案】C
【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.
选C.
3．【答案】C
【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为，
设样本中老年教师的人数为，
由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即，解得.
故本题选C.
4．【答案】B
【解析】根据茎叶图中的数据，得成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取(人).故选B.
5．【答案】A
【解析】从5000份中抽取200份，样本的容量是200，抽取的200份是一个样本，每个居民的阅读时间就是一个个体，5000名居民的阅读时间的全体是总体.所以选A.
6．【答案】A
【解析】.故选A.
7．【答案】C
【解析】由题意知,分段间隔为,故选C.
8．【答案】分层抽样
【解析】由于从不同年龄段客户中抽取，故采用分层抽样，
故答案为：分层抽样.
9．【答案】18
【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，
故答案为18．
【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N．
10．【答案】
【解析】由题意得抽样比例为，故应抽取的男生人数为．
11．【答案】60
【解析】分层抽样实质为按比例抽样，
所以应从一年级本科生中抽取名学生.
12．【解析】（1）由已知，老、中、青员工人数之比为，
由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．
（2）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为，共15种．
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
，共11种．
所以，事件M发生的概率．
13．【解析】（1）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为
，.
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随
机抽样
是不放回抽样，抽样过程中，每个个体被抽到的机会(概率)相等
从总体中逐个抽取
—
总体中的个数较少
系统
抽样
将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在各部分抽取
在起始部分抽样时，采用简单随机抽样
总体中的个数比较多
将总体分成几层，分层进行抽取
各层抽样时，采用简单随机抽样或者系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
分层抽样
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
女生
60
20
80
男生
10
10
20
合计
70
30
100
6
9
7
0
1
2
2
5
8
1
3
6
6
7
8
8
9
9
9
9
0
0
1
2
2
3
4
7
人 数
数 学
优 秀
良 好
及 格
地
理
优 秀
7
20
5
良 好
9
18
6
及 格
a
4
b
类别
人数
老年教师
中年教师
青年教师
合计
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题40 随机抽样
随机抽样
（1）理解随机抽样的必要性和重要性．
（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．
一、简单随机抽样
1．定义：
设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
2．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．
3．应用范围：总体中的个体数较少．
注意：不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．
二、系统抽样
1．定义：
当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．
2．系统抽样的操作步骤：
第一步编号：先将总体的N个个体编号；
第二步分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k=；
第三步确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
第四步获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号，再加k得到第3个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本．
3．应用范围：总体中的个体数较多．
注意：系统抽样是等距抽样，抽样个体的编号相差的整数倍．
三、分层抽样
1．定义：
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
2．应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
注意：分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．
四、三种抽样方法的比较
考向一 简单随机抽样
应用简单随机抽样应注意的问题：
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是抽签是否方便；
二是号签是否易搅匀．
一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
(3)简单随机抽样需满足：
①被抽取的样本总体的个体数有限；
②逐个抽取；
③是不放回抽取；
④是等可能抽取．
典例1 下面的抽样方法是简单随机抽样的是
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为
2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验
【答案】D
【解析】A、B是系统抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；
C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；
D是简单随机抽样．
故选D.
【名师点睛】抽签法与随机数法的适用情况：抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．
1．总体由编号为01，02，…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为
50 44 66 44 29 67 06 58 03 69 80 34 27 18 83 61 46 42 23
91 67 43 25 74 58 83 11 03 30 20 83 53 12 28 47 73 63 05
A．42B．36
C．22D．14
考向二 系统抽样
用系统抽样法抽取样本，当不为整数时，取，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N－nk)个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．
典例2 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为
A．12B．11
C．14D．13
【答案】A
【解析】由于抽取的样本为42人，所以840人要分成42组，每组的样本容量为20人，
所以在区间共抽24人，在共抽36人，
所以编号落入区间的人数为人.
故选A.
2．滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2，⋯ ，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间1,820的人做问卷A，编号落入区间821,1520的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为
A．23 B．24
C．25 D．26
考向三 分层抽样
与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数．
(2)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数．
进行分层抽样时应注意以下几点：
(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．
(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．
典例3 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于
A．9 B．10
C．12 D．13
【答案】D
【解析】由题意得eq \f(3,60)＝eq \f(n,120＋80＋60)，解得n＝13．
故选D.
【名师点睛】分层抽样分层的原则：分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．
3．某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则
A．990B．1320
C．1430D．1560
考向四 三种抽样方法的综合
(1)简单随机抽样的特点：
总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性；个体间无固定间距．
(2)系统抽样的特点：
适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．
(3)分层抽样的特点：
适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．
典例4 某校150名教职工中，有老年人20名，中年人50名，青年人80名，从中抽取30名作为样本．
①采用随机抽样法：抽签取出30个样本；
②采用系统抽样法：将教职工编号为000，001，…，149，然后平均分组抽取30个样本；
③采用分层抽样法：从老年人、中年人、青年人中抽取30个样本．
下列说法中正确的是
A．无论采用哪种方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等
B．①②两种抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等；③并非如此
C．①③两种抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等；②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率是各不相同的
【答案】A
【解析】三种抽样方法中，每个人被抽到的概率都等于eq \f(30,150)＝eq \f(1,5)，故选A．
4．现要完成下列3项抽样调查：
①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格.
②某中学共有480名教职工，其中一线教师360名，行政人员48名，后勤人员72名.为了解教职工对学校校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.
③某中学报告厅有28排，每排有35个座位，一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请28名听众进行座谈.
较为合理的抽样方法是
A．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
B．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
1．简单随机抽样的结果
A．完全由抽样方式所决定
B．完全由随机性所决定
C．完全由人为因素所决定
D．完全由计算方法所决定
2．为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了位市民，在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是
A．总体是上海市民家庭总数量，样本是位市民家庭的存书量，样本的容量是
B．总体是上海市民家庭的存书量，样本是位市民家庭的存书量，样本的容量是
C．总体是上海市民家庭的存书量，样本是位市民，样本的容量是
D．总体是上海市民家庭总数量，样本是位市民，样本的容量是
3．某产品生产线上，一天内每隔60分钟抽取一件产品，则该抽样方法为①；某中学从30名机器人爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽取方法为②，那么
A．①是系统抽样，②是简单随机抽样 B．①是分层抽样，②是简单随机抽样
C．①是系统抽样，②是分层抽样 D．①是分层抽样，②是系统抽样
4．为了了解参加某次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为
A．2 B．3
C．4 D．5
5．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从编号，并按编号顺序平均分成20组(号，号，…，号)，若按等距的规则从第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签法确定的号码是
A．6B．7
C．5D．4
6．为了解城市居民的环保意识，某调查机构从一社区的120名年轻人、80名中年人、60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n＝
A．13 B．12
C．10 D．9
7．总体由编号为00,01,02，...，48,49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为
附：第6行至第9行的随机数表：
2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950
3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732
2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620
7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125
A．3 B．16
C．38 D．49
8．为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为0001，0002，…，2000的2000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为0003，则第三个样本编号是
A．0083 B．0043
C．0123 D．0163
9．某单位共有老年人180人，中年人540人，青年人人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为的样本，用分层抽样方法抽样进行调查，样本中的中年人为6人，则和的值不可以是下列四个选项中的哪组
A．B．
C．D．
10．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取一部分人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为
A．56 B．28
C．44 D．14
11．随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题，某市创新性的采用“公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心”，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理，计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统（等距）抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有4号、16号和22号，则下面号码中可能被抽到的号码是
A．9B．12
C．15D．28
12．某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是
A．12 B．15
C．20 D．21
13．某市教育主管部门为了全面了解高三学生的学习情况，决定对该市参加2019年高三第一次全国大联考统考（后称统考）的32所学校进行抽样调查；将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法，抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小编号是
A．3 B．1
C．4 D．2
14．有200人参加了一次会议，为了了解这200人参加会议的体会，将这200人随机编号为001,002，003，…，200，用系统抽样的方法(等距离)抽出20人，若编号为006,036,041,176,196的5个人中有1个没有抽到，则这个编号是
A．006B．041
C．176D．196
15．某中学膳食中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：根据表中数据，采用分层抽样的方法抽取的20人中，喜欢吃甜品的男、女生人数分别是
A．1，6B．2，12
C．2，4D．4，16
16．某学校在校艺术节活动中，有24名学生参加了学校组织的唱歌比赛，他们比赛的成绩的茎叶图如图所示，将他们的比赛成绩从低到高编号为1~24，再用系统抽样方法抽出6名同学周末到某音乐学院参观学习，则样本中比赛成绩不超过85分的学生人数为
A．1 B．2
C．3 D．不确定
17．分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法.在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是
A．甲应付钱 B．乙应付钱
C．丙应付钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
18．某班运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人、羽毛球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取容量为的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当抽取样本的容量为时，若采用系统抽样法，则需要剔除一个个体，则样本容量
A．6B．7
C．12D．18
19．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位：厘米）按，，，，分组，绘制成频率分布直方图（如图）．从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为
A．3B．4
C．5D．6
20．将全班同学按学号编号，制作相应的卡片号签，放入同一个箱子里均匀搅拌，从中抽出15个号签，就相应的15名学生对看足球比赛的喜爱程度(很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱)进行调查，使用的是_________法.
21．某班级有名学生，现采取系统抽样的方法在这名学生中抽取名，将这名学生随机编号并分组，若在第三组中抽得的号码为号的学生，则在第八组中抽得的号码为__________的学生．
22．某工厂生产的A、B、C三种不同型号的产品数量之比依次为2:3:5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A、B、C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有16件，则n的值为__________．
23．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽__________人．
24．某班级共有52名学生，现将学生随机编号，用系统抽样法，抽取一个容量为4的样本，已知抽取的号中最小的与最大的和为51，那么在样本中的被抽到的编号依次是________．
25．某校对全校共1800名学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是__________.
26．某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为__________.
27．某县现有高中数学教师500人，统计这500人的学历情况，得到如下饼状图，该县今年计划招聘高中数学新教师，只招聘本科生和研究生，使得招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，且研究生的比例保持不变，则该县今年计划招聘的研究生人数为__________.
28．在某市高三教学质量检测中，全市共有名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试的学生人数为人，非示范性高中参加考试的学生人数为人.现从所有参加考试的学生中随机抽取人，对检测成绩进行数据分析.
（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；
（2）依据人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分.
29．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参加宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率.
30．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．
（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了第7行到第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有．
①若在该样本中，数学成绩优秀率是，求的值：
②在地理成绩及格的学生中，已知，，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．
1．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A．8号学生B．200号学生
C．616号学生D．815号学生
2．（2015四川文科）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是
A．抽签法 B．系统抽样法
C．分层抽样法 D．随机数法
3．（2015北京文科）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为
A． B．
C． D．
4．（2015湖南文科）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为
A．3 B．4
C．5 D．6
5．（2014四川文科）在“世界读书日”前夕，为了了解某地名居民某天的阅读时间，从中抽取了名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，名居民的阅读时间的全体是
A．总体 B．个体
C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本
6．（2014重庆文科）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为
A．100 B．150
C．200 D．250
7．（2014广东文科）为了了解名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为的样本,则分段的间隔为
A． B．
C． D．
8．（2018新课标全国Ⅲ文科）公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
9．（2017江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．
10．（2015福建文科）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男、女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．
11．（2014天津文科）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取 名学生.
12．（2019年高考天津卷文数）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为．享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
13．（2015天津文科节选）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.
（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数.
变式拓展
1．【答案】C
【解析】随机数表第1行的第8列和第9列数字为42，由左至右选取两个数字依次为42，36，03，14，22，则选出的第5个个体的编号为22，故选C．
2．【答案】B
【解析】若采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，则需要分为100组，每组20人，若第一组抽到的号码为9，则以后每组中抽取的号码分别为29,49,69,89,109,⋯，所以抽到的号码构成以9为首项，20为公差的等差数列，此等差数列的通项公式为an=9+20n−1=20n−11.
由题意可知，令1521≤20n−11≤2000,n∈Z.解得76.6≤n≤100.5,n∈Z，所以77≤n≤100,n∈Z，
则编号落入区间1521,2000的有24人，故选B．
3．【答案】B
【解析】根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为和，于是得出样本中男生与女生人数之差为，由此可求出的值.
依题意可得，解得，故选B.
4．【答案】A
【解析】①总体数量较少，抽取样本数量较少，采用简单随机抽样；
②不同岗位员工差异明显，且会影响到统计结果，因此采用分层抽样；
③总体数量较多，且排数与抽取样本个数相同，因此采用系统抽样.
故选A.
专题冲关
1．【答案】B
【解析】根据简单随机抽样的定义，总体中每个个体被抽到的机会相等，因此简单随机抽样的结果只与随机性有关.
选B.
2．【答案】B
【解析】根据题目可知，总体是上海市民家庭的存书量，样本是位市民家庭的存书量，样本的容量是.
故选B项.
3．【答案】A
【解析】∵某产品生产线上每隔60分钟抽取一件产品进行检验，是等距的，∴①为系统抽样；
某中学的30名机器人爱好者中抽取3人了解学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，∴②为简单随机抽样．
故选A．
4．【答案】A
【解析】学生总数不能被容量整除，根据系统抽样的方法，应从总体中随机剔除个体，保证整除．
∵1252=50×25+2，∴应从总体中随机剔除个体的数目是2.
故选A.
5．【答案】A
【解析】根据系统抽样的概念，可知若第1组抽取的号码为，
则第16组抽取的号码为，即，解得.
故选A．
6．【答案】A
【解析】因为60名老年人中抽取了3名，所以抽样比为360=120，所以总的抽样人数为(120+80+60）×120=13.
故选A．
7．【答案】C
【解析】从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，选出来编号在00∼49的前4个个体的编号为33,16,20,38，所以选出来的第4个个体的编号为38.
故选C．
8．【答案】A
【解析】根据系统抽样方法可知，抽样间隔为200050=40，
则抽样的编号为0003+40(n−1).
令n=3，则第三个样本编号是0003+40×(3−1)=0083.
故选A．
9．【答案】B
【解析】某单位共有老年人180人，中年人540人，青年人人，
样本中的中年人为6人，则老年人的人数为，青年人的人数为，
则，
代入选项计算，B不符合.
故选B.
10．【答案】B
【解析】因为在编号[481,720]中共有720-480=240人，又在[481,720]中抽取8人,所以抽样比应为8240，因为单位职工共有840人,所以应抽取的样本容量为8240×840=28.
故选B．
11．【答案】D
【解析】用系统（等距）抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有4号、16号和22号，假设抽取的号码为9，则间距为9-4=5，则这五个数为：4，9，14，19，24，不合题意；假设抽取的号码为12，则这五个数为4，12，16，22，间距分别为8，4，6，再插入一个数也不会等间距，故不合题意；如果抽取的号码为15，则15，16相邻，不可能成立，故舍去；如果抽取的号码为28，则这五个数为：4，10，16，22，28，满足题意.
故选D．
12．【答案】A
【解析】因为分层抽样的抽样为，所以初中生中抽取的男生人数是.故选A.
【名师点睛】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：
(1)；
(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
13．【答案】A
【解析】根据系统抽样法，总体分成8组，组距为，若抽到的最大编号为31，则最小的编号是3．所以A选项是正确的．
14．【答案】B
【解析】由题意，从200人中用系统抽样的方法抽取20人，所以抽样的间隔为，
若在第1组中抽取的数字为006，则抽取的号码满足，其中，
其中当时，抽取的号码为36；当时，抽取的号码为176；当时，抽取的号码为196，所以041这个编号不在抽取的号码中.
故选B．
15．【答案】B
【解析】根据题意，得抽取20人组成样本时的抽样比例是，
∴样本中喜欢吃甜食的男生人数是10×=2，
女生人数是60×=12．故选B．
16．【答案】B
【解析】因为比赛成绩不超过85分的学生有8人，所以样本中比赛成绩不超过85分的学生人数为824×6=2，选B．
17．【答案】B
【解析】依题意：由分层抽样知识可知，，
则甲应付：钱；乙应付：钱；丙应付：钱．故选B.
18．【答案】A
【解析】因为采用系统抽样法和分层抽样法，不用剔除个体，
所以为的正约数，
又因为，
所以为6的倍数，因此，
因为当样本容量为时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，
所以为35的正约数，因此.故选A．
19．【答案】A
【解析】各组频率等于各组矩形的面积，所以，
身高在，，的频率分别为0.3，0.2，0.1，
则身高在，，的频数分别为30，20，10，
分层抽样的比例为.
所以，身高在内的学生中选取的人数为.
故选A．
20．【答案】抽签
【解析】抽签法分为编号、制签、取样三步,这里用了学生的学号作为编号,后面的抽取过程符合抽签法的实施步骤,所以采用的是抽签法.
21．【答案】
【解析】这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为12+（8﹣3）×5＝37．故答案为37．
22．【答案】80
【解析】由题意结合分层抽样的定义有：n×22+3+5=16，解得n=80.
故答案为80．
23．【答案】60
【解析】由题意可得，三乡共有人，从中抽取500人，因此抽样比为，所以北乡共抽取人；南乡共抽取人，所以北乡比南乡多抽人.
故答案为.
24．【答案】6，19，32，45
【解析】设最小的编号为x，由题意可得x＋x＋13×3＝51，x＝6，所以抽到的编号依次是6，19，32，45．
25．【答案】810
【解析】设抽取的女生人数为x，则x+x+20=200，解得x=90，
则抽取的女生人数为90，抽取的男生人数为200−90=110，
据此可知该校的女生人数应是1800×90200=810.
26．【答案】35
【解析】由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7，
抽样比为，故该单位的行政人员人数是735，
故答案为 35．
27．【答案】50
【解析】招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，
则招聘后，该县高中数学教师总人数为，
招聘后研究生的比例保持不变，
该县今年计划招聘的研究生人数为.
28．【解析】（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样，
由题意，从示范性高中抽取人，
从非示范性高中抽取人；
（2）由频率分布直方图估算样本平均分为
故估计本次检测全市学生数学成绩的平均分为.
29．【解析】（1）第组的人数为，
第组的人数为，
第组的人数为，
因为第，，组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽取的人数分别为：第组:；第组:；第组:.
所以应从第，，组中分别抽取人，人，人.
（2）设“第组的志愿者有被抽中”为事件M.
记第组的名志愿者为，，，第组的名志愿者为，，第组的名志愿者为，则从名志愿者中抽取名志愿者有:
，，，，，，，，，，
，，，，，共有种.
其中第组的志愿者被抽中的有种，
则，
答：第组的志愿者有被抽中的概率为.
30．【解析】（1）由题意，根据给定的随机数表，从第8行第7列的数开始向右读，最先检查的3个人的编号依次为，，．
（2）①由题意知，
解得，
．
②，
因为，，所以，的可能情况：，，，，，，，，，，共有10种，
设，时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A，
事件A包括：，，，共有3个基本事件，
则，
故数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为．
直通高考
1．【答案】C
【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，所以，若，解得，不合题意；若，解得，不合题意；若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．
2．【答案】C
【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.
选C.
3．【答案】C
【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为，
设样本中老年教师的人数为，
由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即，解得.
故本题选C.
4．【答案】B
【解析】根据茎叶图中的数据，得成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取(人).故选B.
5．【答案】A
【解析】从5000份中抽取200份，样本的容量是200，抽取的200份是一个样本，每个居民的阅读时间就是一个个体，5000名居民的阅读时间的全体是总体.所以选A.
6．【答案】A
【解析】.故选A.
7．【答案】C
【解析】由题意知,分段间隔为,故选C.
8．【答案】分层抽样
【解析】由于从不同年龄段客户中抽取，故采用分层抽样，
故答案为：分层抽样.
9．【答案】18
【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，
故答案为18．
【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N．
10．【答案】
【解析】由题意得抽样比例为，故应抽取的男生人数为．
11．【答案】60
【解析】分层抽样实质为按比例抽样，
所以应从一年级本科生中抽取名学生.
12．【解析】（1）由已知，老、中、青员工人数之比为，
由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．
（2）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为，共15种．
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
，共11种．
所以，事件M发生的概率．
13．【解析】（1）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为
，.
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随
机抽样
是不放回抽样，抽样过程中，每个个体被抽到的机会(概率)相等
从总体中逐个抽取
—
总体中的个数较少
系统
抽样
将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在各部分抽取
在起始部分抽样时，采用简单随机抽样
总体中的个数比较多
将总体分成几层，分层进行抽取
各层抽样时，采用简单随机抽样或者系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
分层抽样
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
女生
60
20
80
男生
10
10
20
合计
70
30
100
6
9
7
0
1
2
2
5
8
1
3
6
6
7
8
8
9
9
9
9
0
0
1
2
2
3
4
7
人 数
数 学
优 秀
良 好
及 格
地
理
优 秀
7
20
5
良 好
9
18
6
及 格
a
4
b
类别
人数
老年教师
中年教师
青年教师
合计
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
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