2023-2024学年安徽省合肥市蜀山区八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市蜀山区八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在平面直角坐标系中，点(−2023,2024)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.下列四个图案中，是轴对称图形的( )
A. B. C. D.
3.已知三角形的两条边长分别是4cm，5cm，则该三角形的周长不可能是( )
A. 10cmB. 11cmC. 12cmD. 17cm
4.已知A(−3,y1)，B(2,y2)是一次函数y=kx+b(k<0)图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是( )
A. y1>y2B. y1=y2C. y15.下列命题中，一定是真命题的是( )
A. 三角形的外角大于三角形任何一个内角
B. 两边和一角分别相等的两个三角形全等
C. 线段垂直平分线上的点到线段上任意两点距离相等
D. 有两个内角互余的三角形是直角三角形
6.如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE相交于点F，已知CE=8，AF=3，则DF的长是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
7.对于实数a，b，定义符号min{a,b}，其意义为：当a≥b时，min{a,b}=b，当aA. 0B. 2C. 3D. 5
8.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CF，BE=CD，若∠A=40∘，则∠EDF的度数为( )
A. 75∘
B. 70∘
C. 65∘
D. 60∘
9.某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息.已知甲先出发3分钟.在整个过程中，甲、乙两人之间距离y(米)与甲出发的时间t(分钟)之间的关系如图所示，则下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为2700米；③乙步行的速度为90米/分钟；④甲走完全程用了39分钟；⑤乙用15分钟追上甲.其中正确的结论有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
10.在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，使得△ADE是等腰三角形，若∠B=40∘，∠BAD=20∘，则∠EDC的度数为( )
A. 10∘或40∘B. 10∘或20∘C. 20∘或40∘D. 10∘或20∘或40∘
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.函数y=1 x−3中自变量x的取值范围是______.
12.写出命题“如果a>b，那么a2>b2”的逆命题：______.
13.一次函数y=kx+b(k≠0,k,b为常数)的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b<0的解集为______.
14.如图，△ABC≌△DBE，BD⊥AB，∠C=40∘，∠D=20∘，AC、DE交于点F，则∠AFE的度数是______ ∘.
15.如图，点D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，其中BD⊥CD，BD平分∠ABC，若△ABD的面积为4，则△ABC的面积是______.
16.已知一次函数y=kx−4−k(k≠0).
(1)无论k取何非零的值，一次函数的图象都经过一定点，则这个点的坐标是______；
(2)在平面直角坐标系中有一条线段AB，其中A(−1,2)，B(4,1)，若这个一次函数的图象与线段AB相交，则k的取值范围是______.
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上.
(1)将△ABC向右平移4个单位，作出平移后的△A1B1C1(点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1)；
(2)作出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2(点A1、B1、C1的对应点分别为点A2、B2、C2)；
(3)写出A2、B2的坐标.
18.(本小题6分)
已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与直线y=23x−2平行，且与x轴交于点(3,0)，求该一次函数的表达式.
19.(本小题7分)
如图，在湖泊的岸边有A，B两点，难以直接量出A，B两点间的距离.你能设计一种量出A，B两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由.
20.(本小题7分)
定理证明：两个角相等的三角形是等腰三角形．
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，延长AC至点E，过点E作EF⊥AC，使EF=BC，连接BF交CE于点D.
(1)求证：CD=ED；
(2)若G是AC上一点，满足AG=2CD，连接FG，请你判断∠FGE和∠ABC的关系，并证明你的结论.
22.(本小题8分)
天气寒冷，某商场计划采购空调、电热水器共80台.进价和售价见表.
设商场计划购进空调x台，空调和电热水器全部销售后商场获得的利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若该商场计划最多投入资金18万元用来采购这些空调、电热水器，并且全部销售后利润超过4万元，则该商场有哪几种进货方案？
(3)在(2)的条件下，选择哪种进货方案，商场获利最大，最大利润是多少元？
23.(本小题10分)
如图1，点B、C分别在射线AM，AN上，且∠MAN为钝角，现以线段AB、AC为底边向∠MAN的外侧作等腰三角形，分别是△ABD，△ACE.
(1)如图2，连接CD、BE，交于点P，连接AP，若∠ADB=∠AEC=60∘.
①求证：CD=BE；
②求证：PA平分∠BPC；
(2)如图3，若点F，G分别是AB，AC的中点，连接DF、EG并延长交于点O，连接OB、OC、BC，当∠MAN=______ ∘时，△BOC为等边三角形.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−2023<0，2024>0，
∴点(−2023,2024)在第二象限．
故选：B.
根据第二象限内点的坐标特点解答即可．
本题考查的是点的坐标，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D.
根据轴对称图形的概念解答即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】A
【解析】解：设该三角形的第三边为x cm，则：
5−4所以该三角形的周长范围为：1+4+5观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A.
根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进而根据三角形的周长计算方法解答即可．
本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求得第三边的长度，继而求得周长取值范围，利用排除法作出正确选择．
4.【答案】A
【解析】解：∵k<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵−3<2，
∴y1>y2，
故选：A.
根据一次函数图象的特征来判断．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键根据k的值来进行判断．
5.【答案】D
【解析】解：A、三角形的外角大于三角形与它不相邻的任何一个内角，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、有两个内角互余的三角形是直角三角形，是真命题，符合题意；
故选：D.
根据三角形的外角性质、全等三角形的判定定理、线段垂直平分线的性质、直角三角形的判定判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEC=∠ADC=90∘，
在△ACE和△CAD中，
∠BAC=∠BCA∠AEC=∠ADCAC=AC，
∴△ACE≌△CAD(AAS)，
∴CE=AD=8，
∴DF=AD−AF=8−3=5，
故选：C.
由“AAS”可证△ACE≌△CAD，可得CE=AD=8，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由题意得：
①当2x−1≥−x+5，即x≥2时，y=min{2x−1,−x+5}=−x+5，
∴−1<0，y随x的增大而减小，
∴当x≥2时，y取得最大值3；
②当2x−1<−x+5，即x<2时，y=min{2x−1,−x+5}=2x−1，
∴2>0，y随x的增大而增大，
∴当x<2时，y<3.
综上可知，函数y=min{2x−1,−x+5}的最大值为3.
故选：C.
根据定义分情况列出不等式：①当2x−1≥−x+5时，y=min{2x−1,−x+5}=−x+5；②当2x−1≤−x+5时，y=min{2x−1,−x+5}=2x−1，再根据一次函数的性质可得出结果．
本题考查了新定义、一次函数与一元一次不等式，认真阅读理解其意义，并利用函数的性质解决函数的最值问题是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，∠A=40∘
∴∠B=∠C=70∘
∵BD=CF，BE=CD
∵△BED和△CDF中，
BE=CD∠B=∠CBD=CF
∴△BED≌△CDF(SAS)
∴∠BDE=∠CFD，∠BED=∠CDF
∵∠EDF=180∘−∠CDF−∠BDE=180∘−(∠CDF+∠BDE)
∵∠B=70∘
∴∠BDE+∠BED=110∘即∠CDF+∠BDE=110∘
∴∠EDF=180∘−110∘=70∘.
故选：B.
利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理先求出∠B、∠C的度数，利用SAS判定△BED≌△CDF，从而得出对应角相等，再利用角与角之间的关系从而求得所求的角．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；注意发现三个等腰三角形，根据等腰三角形的两个底角相等以及三角形的内角和定理进行求解是解答本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由题意可得：甲步行速度=2253=75(米/分钟)，
故①正确；
由图象知，乙用36−3=33(分钟)时到达终点，
设乙步行的速度为x米/分，
根据题意得：33x−36×75=270，
解得x=90，
∴乙步行的速度为90米/分，
故③正确；
起点到终点的距离为33×90=2970(米)，
故②错误；
甲走完全程所用时间为：36+27075=39.6(分钟)，
故④错误；
设乙用m分钟追上甲，
则90m=75(m+3)，
解得m=15，
∴乙用15分钟追上甲，
故⑤正确．
∴正确的有①③⑤3个，
故选：B.
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10.【答案】A
【解析】解：如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40∘，
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=100∘，
∵∠BAD=20∘，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=80∘，
分三种情况：
当AD=AE时，
∴∠ADE=∠AED=180∘−∠CAD2=50∘，
∵∠AED是△CED的一个外角，
∴∠CDE=∠AED−∠C=10∘；
当DA=DE时，
∴∠DAE=∠DEA=80∘，
∵∠AED是△CED的一个外角，
∴∠CDE=∠AED−∠C=40∘；
当EA=ED时，
∴∠EAD=∠ADE=80∘，
∴∠AED=180−∠EAD−∠ADE=20∘，
∵∠C=40∘，
∴∠AED<∠C，不成立；
综上所述：当△ADE是等腰三角形时，∠EDC的度数为10∘或40∘，
故选：A.
先利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C=40∘，从而利用三角形内角和定理可得∠BAC=100∘，进而可得∠CAD=80∘，然后分三种情况：当AD=AE时；当DA=DE时；当EA=ED时；分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，分三种情况讨论是解题的关键．
11.【答案】x>3
【解析】解：根据题意得：x−3>0，
解得：x>3.
故答案为：x>3.
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】如果a2>b2，那么a>b
【解析】解：命题“如果a>b，那么a2>b2”的逆命题为如果a2>b2，那么a>b，
故答案为：如果a2>b2，那么a>b.
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13.【答案】x>2
【解析】解：函数y=kx+b的图象经过点(2,0)，并且函数值y随x的增大而减小，
所以当x>2时，函数值小于0，即关于x的不等式kx+b<0的解集是x>2.
故答案为x>2.
从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b<0的解集．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14.【答案】50
【解析】解：∵△ABC≌△DBE，
∴∠E=∠C=40∘，∠ABC=∠DBE，
∵∠D=20∘，
∴∠DBE=180∘−20∘−40∘=120∘，
∴∠ABC=120∘，
∵AB⊥DB，
∴∠ABD=90∘，
∴∠ABE=∠DBE−∠ABD=30∘，
∴∠CBE=∠ABC+∠ABE=120∘+30∘=150∘，
∴∠EFC=360∘−40∘−40∘−150∘=130∘，
∴∠AFE=180∘−∠EFC=50∘.
故答案为：50.
由全等三角形的性质推出∠E=∠C=40∘，∠ABC=∠DBE，求出∠DBE=180∘−20∘−40∘=120∘，得到∠ABC=120∘，求出∠ABE=∠DBE−∠ABD=30∘，得到∠CBE=∠ABC+∠ABE=150∘，求出∠EFC=360∘−40∘−40∘−150∘=130∘，由邻补角的性质得到∠AFE=180∘−∠EFC=50∘.
本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质推出∠E=∠C=40∘，∠ABC=∠DBE，求出∠CBE的度数．
15.【答案】8
【解析】解：延长CD交AB于E点，如图，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=∠BDE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠EBD，
∴∠BCD=∠BED，
∴BC=BE，
∵BD⊥CE，
∴CD=ED，
∴S△BCE=2S△EBD，S△ACE=2S△AED，
∴S△BCE+S△ACE=2S△EBD+2S△AED=2S△ABD=2×4=8.
故答案为：8.
延长CD交AB于E点，如图，先证明∠BCD=∠BED得到BC=BE，再根据等腰三角形的性质得到CD=ED，则利用三角形面积公式得到S△BCE=2S△EBD，S△ACE=2S△AED，所以S△BCE+S△ACE=2S△ABD.
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的判定与性质．
16.【答案】(1,−4)k≤−3或k≥53
【解析】解：(1)y=kx−4−k=(x−1)k−4，
当x=1时，y=−4，
∴无论k取何值，该函数的图象总经过定点(1,−4)，
故答案为：(1,−4).
(2)把A(−1,2)代入y=kx−4−k得−k−4−k=2，解得k=−3；
把B(4,1)代入y=kx−4−k得4k−4−k=1，解得k=53，
所以当一次函数y=kx−4−k的图象与线段AB有交点时，k≤−3或k≥53.
故答案为：k≤−3或k≥53.
(1)先将一次函数解析式变形为y=(x−2)k+1，即可确定定点坐标．
(2)把A点和B点坐标分别代入计算出对应的k的值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定k的范围．
本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，数形结合是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)由图可得，A2(4,−4)，B2(1,−2).
【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)根据轴对称的性质作图即可．
(3)由图可得答案．
本题考查作图-轴对称变换、平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键．
18.【答案】解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与直线y=23x−2平行，
∴k=23，
∵函数图象与x轴交于点(3,0)，
∴0=23×3+b.
∴b=−2.
∴一次函数的表达式为y=23x−2.
【解析】根据题意一次函数为y=23x+b，代入(3,0)，根据待定系数法即可求得．
本题考查了两条直线平行问题，能用待定系数法求出一次函数的解析式是解此题的关键．
19.【答案】解：能．在岸上任选一点C，连接AC，并延长AC至A′，使A′C=AC；连接BC，并延长BC至B′，使B′C=BC，连接A′B′.量出A′B′的长度，就是A、B两点之间的距离．理由如下：
∵在△ABC与△A′B′C中，
AC=A′C∠ACB=A′CB′BC=B′C，
∴△ABC≌△A′B′C(SAS)，
∴A′B′=AB.
【解析】在岸上任选一点C，连接AC，并延长AC至A′，使A′C=AC；连接BC，并延长BC至B′，使B′C=BC，连接A′B′.量出A′B′的长度，就是A、B两点之间的距离．利用SAS证明△ABC≌△A′B′C即可．
本题考查全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是本题的关键．
20.【答案】已知：△ABC中，∠A=∠B，
求证：AB=AC，
证明：
过A作AD⊥BC于D，
则∠ADB=∠ADC=90∘，
∵在△ADB和△ADC中
∠B=∠C∠ADB=∠ADCAD=AD
∴△ADB≌△ADC，
∴AB=AC.
【解析】先写出已知，求证，画出图形，过A作AD⊥BC于D，证出△ADB≌△ADC即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
21.【答案】(1)证明：∵EF⊥AC，
∴∠E=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠DCB=180∘−∠ACB=90∘，
∴∠E=∠DCB=90∘，
在△DEC和△DCB中，
∠E=∠DCB∠EDF=∠CDBEF=BC，
∴△DEC≌△DCB(AAS)，
∴DE=DC；
(2)解：∠FGE+∠ABC=90∘，
理由：∵CD=DE，
∴CE=2DC，
∵AG=2DC，
∴AG=CE，
∴AG+CG=CE+CG，
∴AC=EG，
在△FEG和△BCA中，
EF=BC∠E=∠ACBAC=EG，
∴△FEG≌△BCA(SAS)，
∴∠FGE=∠A，
∵∠ACB=90∘，
∴∠A+∠ABC=90∘，
∴∠FGE+∠ABC=90∘.
【解析】(1)根据垂直定义可得∠ACB=90∘，再利用平角定义可得∠DCB=90∘，从而可得∠E=∠DCB=90∘，然后利用AAS证明△DEC≌△DCB，从而利用全等三角形的性质可得DE=DC，即可解答；
(2)利用(1)的结论可得CE=2DC，从而可得AG=CE，再利用等式的性质可得AC=EG，然后利用SAS证明△FEG≌△BCA，从而利用全等三角形的性质可得∠FGE=∠A，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A+∠ABC=90∘，从而利用等量代换可得∠FGE+∠ABC=90∘，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意得：
y=(3500−2600)x+(1900−1600)(80−x)=700x++300(80−x)=400x+24000(0≤x≤80)，
答：y与x的函数关系式为：y=400x+24000(0≤x≤80)；
(2)由题意得：
(3500−2800)x+(1900−1600)(80−x)>400002800x+1600(80−x)≤180000，
解得：40∵x为正整数，
∴x=41，42，43，
即商场有三种方案可供参考：
方案1：购空调41台，购电热水器39台；
方案2：购空调42台，购电热水器38台；
方案3：购空调43台，购电热水器37台；
(3)∵y=400x+24000(0≤x≤80)，k=400>0，
∴y随x的增大而增大，
即当x=43时，y有最大值，
y最大=400×43+24000=17200+24000=41200(元)，
答：在(2)的条件下，选择方案3进货方案：购空调43台，购电热水器37，商场获利最大，最大利润是41200元．
【解析】(1)根据利润=(售价-进价)×数量，总利润=空调的利润+电热水器的利润，即可求出y与x的函数关系式；
(2)根据总数量为80台，最多投入资金18万元，全部销售后利润超过4万元，得到一元一次不等式组，求出满足题意的x的正整数值即可；
(3)利用y与x的函数关系式的增减性和(2)中求得的满足题意的x的范围来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可．
本题考查一次函数和一元一次不等式组的应用，解题的关键是自变量的取值范围和k值的灵活运用．
23.【答案】150
【解析】(1)证明：①∵AE=AC，∠AEC=60∘，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC=AE，∠ACE=60∘，
同理可得：∠BAD=60∘，AD=AB，
∴△ACD≌△AEB(SAS)，
∴CD=BE；
②如图1，
作AX⊥BE于X，作AV⊥CD于V，
由①知：△ACD≌△AEB，CD=BE；
∴S△ACD=S△AEB，
∴AV=AX，
∴PA平分∠BPC；
(2)如图2，
连接OA，
∵AC=AE，G是AC的中点，
∴AG⊥AC，
∴OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠AOC=180∘−2∠OQC，
同理可得：OB=OA，∠AOB=180∘−2∠OAB，
∴OA=OB，
要使△BOC是等边三角形，则∠BOC=60∘，
∴(180∘−2∠OAC)+(180∘−2∠OAB)=60∘，
∴∠OAC+∠OAB=150∘，
故答案为：150∘.
(1)①可证明△ACD≌△AEB，从而CD=BE；
②作AX⊥BE于X，作AV⊥CD于V，由①知：△ACD≌△AEB，CD=BE；从而S△ACD=S△AEB，从而AV=AX，进而得出结论；
(2)连接OA，可证明OC=OA，从而得出∠AOC=180∘−2∠OQC，同理可得：OB=OA，∠AOB=180∘−2∠OAB，从而(180∘−2∠OAC)+(180∘−2∠OAB)=60∘，进而得出结果．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．空调
电热水器
进价(元/台)
2800
1600
售价(元/台)
3500
1900