2023-2024学年上海市杨浦区八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市杨浦区八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中与 2是同类二次根式的是( )
A. 20B. 12C. 24D. 0.2
2.用配方法解一元二次方程x2−6x−7=0，则方程变形为( )
A. (x−6)2=43B. (x+6)2=43C. (x−3)2=16D. (x+3)2=16
3.下面各组变量的关系中，成正比例关系的有( )
A. 人的身高与年龄B. 汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C. 正方形的面积与它的边长D. 圆的周长与它的半径
4.如图，点P在反比例函数y=kx(x>0)第一象限的图象上，PQ垂直x轴，垂足为Q，设△POQ的面积是s，那么s与k之间的数量关系是( )
A. s=k4
B. s=k2
C. s=k
D. 不能确定
5.下列给出的三条线段中，不能构成直角三角形的是( )
A. 4，8，4 3B. 4，8，4 5C. 7，24，25D. 7，14，15
6.已知下列命题中：
①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；
②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；
③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等.
其中真命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.计算： 2a⋅ 6a=______.
8.方程x2=5x的根是______.
9.函数y= 2x−1的定义域是______.
10.已知f(x)=12+x，那么f( 3)=______.
11.若函数y=(k+1)x是正比例函数，且y的值随x的值增大而减小，则k的取值范围是______.
12.关于x的一元二次方程mx2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是______.
13.到点A的距离等于2厘米的点的轨迹是______.
14.若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是______.
15.如图，在△ABC中，∠C=90∘，边AB的垂直平分线DE交AC于D，CD=10cm，AD=20cm，则∠A=______.
16.若点P在x轴上，点A坐标是(2,−1)，且PA= 2，则点P的坐标是______.
17.在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示，AB18.我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”.如图，已知直线l1//l2，l1与l2之间的距离是3，“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上(点B在点C的左侧)，点A在直线l2上，AB= 2BC，将△ABC绕点B顺时针旋转45∘得到△A1BC1，点A、C的对应点分别为点A1、C1，那么A1C的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
计算：1 3+2− (1− 3)2+ 12.
20.(本小题5分)
如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，AC、DF相交于点G，且AC=DF，BF=CE.求证：FG=CG.
21.(本小题5分)
如图，走廊上有一梯子以45∘的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子挪动位置，使其倾斜角变为60∘，如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？(结果保留根号).
22.(本小题5分)
某市半程马拉松比赛，甲乙两位选手的行程(千米)随时间(小时)变化的图象如图所示.
(1)哪位选手先到终点？______(填“甲”或“乙”)；
(2)甲选手跑到8千米时，用了______小时.起跑______小时后，甲乙两人相遇；
(3)乙选手在0≤x≤2的时段内，y与x之间的函数关系式是______；
(4)甲选手经过1.5小时后，距离起点有______千米.
23.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30∘.
(1)在BC边上求作一点N，使得AN=BN；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，求证：CN=2BN.
24.(本小题8分)
如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30∘，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF//AB交AC于F.求证：DE=12DF.
25.(本小题8分)
如图，已知一次函数y=12x和反比例函数y=kx(k≠0)的图象交点是A(4,m).
(1)求反比例函数解析式；
(2)在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标.
26.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CA=CB，点D、E在线段AB上.
(1)如图1，若CD=CE，求证：AD=BE；
(2)如图2，若∠DCE=45∘，求证：DE2=AD2+BE2；
(3)如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC=135∘，设AP=a、BP=b、CP=c，请直接写出a，b，c之间的数量关系.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 20=2 5与 2不是同类二次根式；
B、 12= 22与 2是同类二次根式；
C、 24=2 6与 2不是同类二次根式；
D、 0.2= 55与 2不是同类二次根式；
故选：B.
化简二次根式，即可判定．
本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是能正确化简二次根式．
2.【答案】C
【解析】【分析】
首先进行移项变形成x2−6x=7，两边同时加上9，则左边是一个完全平方式，右边是一个常数，即可完成配方．
配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【解答】
解：∵x2−6x−7=0，
∴x2−6x=7，
∴x2−6x+9=7+9，
∴(x−3)2=16.
故选：C.
3.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了正比例函数的定义，此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】
解：A、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意；
B、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意；
C、正方形的面积与它的边长的平方成正比例，故此选项不符合题意；
D、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意；
故选：D.
4.【答案】B
【解析】解：∵点P是反比例函数y=kx图象上一点，且PQ⊥x轴于点Q，
∴S△POQ=12|k|=s，
解得：|k|=2s.
∵反比例函数在第一象限有图象，
∴k=2s.即s=k2
故选：B.
根据点P在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义就可以求出s与k之间的数量关系．
本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是根据反比例函数系数k的几何意义找出△POQ面积s与k的关系．
5.【答案】D
【解析】解：A、∵42+(4 3)2=64=82，∴能够成直角三角形，故本选项错误；
B、∵42+82=80=(4 5)2，∴能够成直角三角形，故本选项错误；
C、∵72+242=625=252，∴能够成直角三角形，故本选项错误；
D、∵72+142=245≠152，∴不能够成直角三角形，故本选项正确．
故选：D.
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
本题考查的是如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
6.【答案】B
【解析】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；
②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题；
③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；
④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题．
其中真命题的个数是2个；
故选：B.
根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
本题考查了命题与定理，用到的知识点是全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，是一道比较容易出错的题目．
7.【答案】2 3a
【解析】解： 2a⋅ 6a= 2a⋅6a= 12a2=2 3a，
故答案为：2 3a.
根据二次根式的乘法法则计算即可．
本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
8.【答案】x1=0，x2=5
【解析】解：x2−5x=0，
∴x(x−5)=0，
∴x=0或x−5=0，
∴x1=0，x2=5.
故答案为x1=0，x2=5.
先把方程变形为x2−5x=0，把方程左边因式分解得x(x−5)=0，则有x=0或x−5=0，然后解一元一次方程即可．
本题考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后把方程左边因式分解，这样就把方程转化为两个一元一次方程，再解一元一次方程即可．
9.【答案】x≥12
【解析】解：根据题意得：2x−1≥0，
解得：x≥12.
故答案为x≥12.
根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10.【答案】2− 3
【解析】解：f( 3)=12+ 3
=2− 3(2+ 3)(2− 3)
=2− 3.
故答案为：2− 3.
把x= 3代入函数表达式，再分母有理化即可得解．
本题考查了函数值的求解，掌握分母有理化是关键．
11.【答案】k<−1
【解析】解：∵正比例函数y=(k+1)x中，y的值随自变量x的值增大而减小，
∴k+1<0，
解得，k<−1；
故答案为：k<−1.
根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k+1<0，然后解不等式即可．
本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系．解答本题注意理解：直线y=kx所在的位置与k的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．
12.【答案】m<1且m≠0
【解析】解：由题意得：Δ>0，
∴(−2)2−4m×1>0，
整理得：m<1.
又∵m≠0，
∴实数m的取值范是m<1且m≠0.
故答案是：m<1且m≠0.
由题意可得Δ>0且m≠0，然后解不等式即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
13.【答案】以点A为圆心，2厘米长为半径的圆
【解析】解：到点A的距离等于2厘米的点的轨迹是：以点A为圆心，2厘米长为半径的圆．
故答案为：以点A为圆心，2厘米长为半径的圆．
根据圆的定义解答．
本题考查了轨迹，主要是对圆的轨迹定义的考查，比较简单．
14.【答案】18
【解析】解：∵直角三角形斜边上的中线是6，
∴斜边长=2×6=12，
∵直角三角形斜边上的高是3，
∴这个直角三角形的面积=12×12×3=18，
故答案为：18.
利用直角三角形斜边上的中线性质可求出斜边长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
15.【答案】30∘
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴BD=AD=20cm，AE=BE，DE⊥AB，
在Rt△BCD中，∵∠C=90∘，
∴BC= BD2−CD2= 202−102=10 3，
在Rt△ABC中，AB= BC2+AC2= (10 3)2+302=20 3，
∴BE=12AB=10 3，
∴BE=BC，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
BD=BDBC=BE，
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，
∴∠CBD=∠EBD，
∵DA=DB，
∴∠EBD=∠A，
∴∠ABC=2∠A，
∵∠A+∠ABC=90∘，
∴∠A+2∠A=90∘，
解得∠A=30∘.
故答案为：30∘.
先根据线段垂直平分线的性质得到BD=AD=20cm，AE=BE，DE⊥AB，再利用勾股定理计算出BC=10 3，AB=20 3，则BE=10 3，接着证明Rt△BCD≌Rt△BED，所以∠CBD=∠EBD，则∠ABC=2∠A，然后根据三角形内角和计算出∠A的度数．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
16.【答案】(3,0)或(1,0)
【解析】解：由题意设P(x,0)，因为PA= 2，
(2−x)2+(−1−0)2= 2，
解得：x=3或x=1，
所以点P的坐标是(3,0)或(1,0)，
故答案为：(3,0)或(1,0)，
设出P的坐标，利用两点距离公式，求出P的坐标．
此题考查点的坐标问题，关键是两点间距离公式的应用，考查计算能力．
17.【答案】43
【解析】【分析】
此题考查勾股定理的证明．首先求出小正方形的边长和大正方形的边长然后再求出AB和BC的长，进而可得BCAB的值．
【解答】
解：∵小正方形的面积是25，
∴AC=5，
∵△HAG≌△BCA，
∴AH=CB，
∵大正方形的面积为49，
∴BH=7，
∴AB+AH=7，
设AB=x，
则AH=7−x，
在Rt△ABC中：x2+(7−x)2=52，
解得：x1=4，x2=3，
当x=4时，7−x=3，
当x=3时，7−x=4，
∵AB∴AB=3，BC=4，
∴BCAB=43.
18.【答案】3 2−3
【解析】解：如下图：
∵BC=3，AC=3，AB=A1B=3 2，
∴A1C=A1B−BC=3 2−3，
故答案为：3 2−3.
先根据勾股定理求出BC，再根据旋转法性质求解．
本题考查了旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
19.【答案】解：原式=2− 3−|1− 3|+2 3
=2− 3+1− 3+2 3
=3.
【解析】先分母有理化，再根据二次根式的性质化简，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
20.【答案】证明：∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
即BC=EF，
∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B=∠E=90∘，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
BC=EFAC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
∴∠ACB=∠DFE，
∴GF=GC.
【解析】由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DEF，可得∠ACB=∠DFE，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
21.【答案】解：在Rt△ABO中，∠ABO=45∘，
则OB=OA，
∵AB=4米，
∴OA2+OB2=AB2=16，
∴OB=2 2(米)，
在Rt△CDO中，∠ADO=60∘，
∴∠DCO=30∘，
∴OD=12CD=2(米)，
∴BD=OB−OD=(2 2−2)米，
答：行走的通道拓宽了(2 2−2)米．
【解析】根据勾股定理求出OB，再根据含30∘角的直角三角形的性质求出OD，进而求出BD.
本题考查的是勾股定理、等腰直角三角形的性质、含30∘角的直角三角形的性质，灵活运用相关的定理是解题的关键．
22.【答案】乙 0.51y=10x(0≤x≤2)12
【解析】解：(1)由图可知，乙选手先到终点，
故答案为：乙；
(2)由图可知，甲选手跑到8千米时，用了0.5小时，起跑1小时后，甲乙两人相遇，
故答案为：0.5，1；
(2)由图可得，乙选手的速度为202=10(千米/小时)，
∴y与x之间的函数关系式是y=10x(0≤x≤2)；
故答案为：y=10x(0≤x≤2)；
(3)由图可知，甲0.5小时距离起点8千米，1小时距离起点10千米，
∴0.5≤x≤1.5时，甲用0.5小时跑了(10−8)=2(千米)，
∴x=1.5时，甲距离起点10+2=12(千米)，
故答案为：12.
(1)观察图象直接可得答案；
(2)观察图象直接可得答案；
(3)求出乙的速度，即可得到y与x之间的函数关系式；
(4)由图象知：0.5≤x≤1.5时，甲用0.5小时跑了2千米，即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息．
23.【答案】(1)解：作图正确；
(2)证明：连接AN.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30∘.
∴∠BAC=180∘−2∠B=120∘.
∵AN=BN，
∴∠NAC=∠BAC−∠NAB=120∘−30∘=90∘.
∵∠C=30∘，
∴CN=2AN.
∴CN=2BN.
【解析】(1)作线段AB的垂直平分线上；
(2)根据等腰三角形的性质计算出∠C的度数，再计算出∠CAN的度数，然后根据三角形的性质可得CN=2AN，进而得到CN=2BN.
此题主要考查了作图，以及直角三角形的性质，关键是正确画出图形，掌握在直角三角形中，30∘角所对的直角边等于斜边的一半．
24.【答案】证明：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE=DH，
∵DF//AB，∠BAC=30∘，
∴∠DFH=∠BAC=30∘，
∴DH=12DF，
∴DE=12DF.
【解析】过点D作DH⊥AC于点H，根据等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC，根据角平分线的性质得到DE=DH，根据含30∘角的直角三角形的性质得到DH=12DF，等量代换证明结论．
本题考查的是等腰三角形的性质、角平分线的性质、含30∘角的直角三角形的性质，灵活运用等腰三角形的三线合一是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵A点是一次函数y=12x和反比例函数y=kx(k≠0)图象的交点，
∴m=12×4，
解得m=2，
即A(4,2)，
把A点坐标代入反比例函数y=kx(k≠0)得，2=k4，
解得k=8，
∴反比例函数的解析式为y=8x；
(2)设P点的坐标为(n,0)，
若使△AOP是等腰三角形，分以下三种情况：
①当OA=OP时，
由(1)知，A(4,2)，
∴n= 42+22=2 5，
即P(2 5,0)；
②当OA=AP时，作AH⊥OP于H，
∵A(4,2)，
∴OH=4，
∵OA=AP，
∴OP=2OH=2×4=8，
即P(8,0)；
③当OP=AP时，
∵A(4,2)，
∴n= (4−n)2+22，
即n2=(4−n)2+22，
解得n=52，
即P(52,0)，
综上，符合条件的P点坐标为(2 5,0)或(8,0)或(52,0).
【解析】(1)根据一次函数解析式求出A点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
(2)若使△AOP是等腰三角形，分OA=OP，OA=AP，OP=AP三种情况讨论分别求出P点的坐标即可．
本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式以及分类讨论思想是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：如图1，∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵CD=CE，
∴∠CEA=∠CDB，
∴△ACE≌△BCD(AAS)，
∴AE=BD，
∴AE−DE=BD−DE，
∴AD=BE.
(2)证明：如图2，将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90∘得到△BCF，联结EF，
∵∠ACB=90∘，CA=CB，
∴∠CBA=∠A=45∘，
由旋转得CF=CD，∠BCF=∠ACD，
∵∠DCE=45∘，
∴∠FCE=∠BCF+∠BCE=∠ACD+∠BCE=90∘−45∘=45∘，
∴∠FCE=∠DCE，
∵CE=CE，
∴△FCE≌△DCE(SAS)，
∴FE=DE，
∵∠CBF=∠A=∠CBA=45∘，
∴∠EBF=90∘，
∴FE2=BF2+BE2，
∵BF=AD，
∴DE2=AD2+BE2.
(3)a2=b2+2c2，
理由如下：
如图3，将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90∘得到△CBG，联结PG，
由旋转得GC=PC，∠PCG=90∘，
∴∠CPG=∠CGP=45∘，PG2=PC2+GC2=2PC2，
∵∠BPC=135∘，
∴∠BPG=135∘−45∘=90∘，
∴BG2=BP2+PG2，
∵BG=AP，
∴AP2=BP2+2PC2，
∴a2=b2+2c2.
【解析】(1)由CA=CB得∠A=∠B，由CD=CE得∠CEA=∠CDB，则△ACE≌△BCD，得AE=BD，即可转化为AD=BE；
(2)将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90∘得到△BCF，联结EF，则BF=AD，证明△FCE≌△DCE，得FE=DE，再证明∠EBF=90∘，则FE2=BF2+BE2，即可证得DE2=AD2+BE2；
(3)将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90∘得到△CBG，联结PG，则BG=AP，GC=PC，∠PCG=90∘，所以PG2=PC2+GC2=2PC2，再证明∠BPG=90∘，则BG2=BP2+PG2，可证得AP2=BP2+2PC2，即a2=b2+2c2.
此题考查等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，根据旋转的性质作辅助线是解题的关键．