2023-2024学年上海市浦东新区部分学校联考八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区部分学校联考八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中最简二次根式为( )
A. 0.3xB. 2xC. x3yD. x2−1
2.在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是( )
A. 2和 12B. 2和 12
C. 2ab和 ab3D. a−1和 a+1
3.下列函数中，y随着x的增大而减小的是( )
A. y=3xB. y=−3xC. y=3xD. y=−3x
4.某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是x，则可以列出方程( )
A. 500(1+2x)=720B. 500(1+x)2=720
C. 500(1+x2)=720D. 720(1−x)2=500
5.下列命题是真命题的个数为( )
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②三角形的内角和是180∘.
③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．
④相等的角是对顶角．
⑤两点之间，线段最短．
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2+b2=ab+10，那么小正方形的面积为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.计算： 8× 12=______.
8.化简： (2− 5)2=______.
9.已知x=3是方程x2−2x+m=0的一个根，那么m=______.
10.在实数范围内分解因式：x2−3x−2=______.
11.函数y=x x−5的定义域为______.
12.已知反比例函数y=3m−1x的图象有一分支在第二象限，那么常数m的取值范围是____.
13.已知直角坐标平面上点P(3,2)和Q(−1,5)，那么PQ=______.
14.“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是______命题(填“真”或“假”).
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BD平分∠ABC，AD=4，CD=2，那么∠A=______度．
16.如图，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，若∠BAC=110∘，则∠DAF=______度．
17.在△ABC中， AD是BC边上的中线，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么 AB的长是__________.
18.在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，连接BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于__________.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.计算：1 2−1+ 3( 3− 6 )+ 8.
四、解答题：本题共6小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
解方程：x2−13+x2=x
21.(本小题6分)
关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x+m2=0，其根的判别式的值为9，求m的值及这个方程的根．
22.(本小题6分)
已知：y=y1+y2，并且y1与(x−1)成正比例，y2与x成反比例．当x=2时，y=5；当x=−2时，y=−9.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)求当x=8时的函数值．
23.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，E为AB中点，ED//BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，连接AD.
(1)求证：AD⊥BD；
(2)记BD与AC的交点为F，求证：BF=2AD.
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数y= 3x的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象都经过点A(2,m).
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点B在x轴上，且OA=BA，反比例函数图象上有一点C，且∠ABC=90∘，求点C坐标．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AC=2 3，AB=4 3，BC=6，点P为边BC上的一个动点(不与点B、C重合)，点P关于直线AB的对称点为点Q，连接PQ、CQ，PQ与边AB交于点D.
(1)求∠B的度数；
(2)连接BQ，当∠BQC=90∘时，求CQ的长；
(3)设BP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
利用最简二次根式定义判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
【解答】
解：A.原式= 30x10，不符合题意；
B.原式= 2xx，不符合题意；
C.原式=|x| xy，不符合题意；
D.原式为最简二次根式，符合题意.
故选：D.
2.【答案】B
【解析】【分析】
根据最简二次根式与同类二次根式的定义作答．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
【解答】
解：A. 12=2 3，被开方数是3，与 2的被开方数2不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
B. 12= 22，被开方数是2，与 2的被开方数2相同，是同类二次根式，故本选项符合题意．
C. ab3=|b| ab，被开方数是ab，与 2ab的被开方数2ab不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
D. a−1和 a+1的被开方数分别是a−1、a+1，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B.
3.【答案】B
【解析】解：A、y=3x，y随着x的增大而增大，故此选项错误；
B、y=−3x，y随着x的增大而减小，正确；
C、y=3x，每个象限内，y随着x的增大而减小，故此选项错误；
D、y=−3x，每个象限内，y随着x的增大而增大，故此选项错误；
故选：B.
分别利用正比例函数以及反比例函数的性质分析得出答案．
此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的性质，正确把握相关性质是解题关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
设平均每月增长率是x，根据该厂今年十月份及十二月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【解答】
解：设平均每月增长率是x，
依题意，得：500(1+x)2=720.
故选：B.
5.【答案】B
【解析】解：①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题．
②三角形的内角和是180∘，是真命题．
③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题．
④相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题．
⑤两点之间，线段最短，是真命题；
故选：B.
根据平行线的性质和判定、三角形内角和、对顶角和线段的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出ab=8是解题的关键．
由正方形1性质和勾股定理得a2+b2=18，再由a2+b2=ab+10，得ab+10=18，则ab=8，即可解决问题．
【解答】
解：设大正方形的边长为c，
∵大正方形的面积是18，
∴c2=18，
∴a2+b2=c2=18，
∵a2+b2=ab+10，
∴ab+10=18，
∴ab=8，
∴小正方形的面积=(b−a)2=a2+b2−2ab=18−2×8=2，
故选：A.
7.【答案】2
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的乘法运算，在解题时要能根据二次根式的乘法法则，求出正确答案是本题的关键．
直接根据二次根式的乘法法则进行计算即可求出结果．
【解答】
解： 8× 12
= 8×12
= 4
=2.
故答案为2.
8.【答案】 5−2
【解析】解：∵4<5，
∴2< 5，
∴原式= 5−2.
故答案为： 5−2.
根据二次根式的性质解答即可．
本题考查的是二次根式的性质，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．
9.【答案】−3
【解析】【分析】
本题考查一元二次方程的解及解一元一次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
将x=3代入原方程即可求出m的值．
【解答】
解：将x=3代入x2−2x+m=0，
得9−6+m=0，
∴m=−3，
故答案为−3.
10.【答案】(x−3+ 172)(x−3− 172)
【解析】【分析】
本题考查实数范围内的因式分解．注意掌握公式法解一元二次方程的知识．
首先令x2−3x−2=0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解．
【解答】
解：令x2−3x−2=0，
则a=1，b=−3，c=−2，
∴x=3± (−3)2−4×1×(−2)2×1=3± 172，
∴x2−3x−2=(x−3+ 172)(x−3− 172).
故答案为(x−3+ 172)(x−3− 172).
11.【答案】x>5
【解析】【分析】
本题考查了函数自变量的取值范围，本题用到的知识点：分式的分母不等于0，被开方数大于等于0.
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【解答】
解：根据题意得x−5>0，
解得x>5.
故答案为x>5.
12.【答案】m<13
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数的性质，属于基础题．
由反比例函数的性质列出不等式3m−1<0，解出m的范围．
【解答】
解：∵反比例函数y=3m−1x的图象有一分支在第二象限，
∴3m−1<0，
解得m<13.
13.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了平面直角坐标系中两点的距离公式：若两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则这两点的距离= (x1−x2)2+(y1−y2)2.
根据平面直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可．
【解答】
解：∵P(3,2)和Q(−1,5)，
∴PQ= (3+1)2+(2−5)2=5，
故答案为5.
14.【答案】真
【解析】【分析】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出原命题的已知和求证并正确的证明，难度不大．
将原命题写出已知和求证，然后进行证明后即可得到该命题为真命题．
【解答】
解：已知：△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠ABC=∠A′B′C′，且∠ABC、∠A′B′C′的角平分线BD=B′D′，
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵∠ABC=∠A′B′C′且∠ABC、∠A′B′C′的角平分线分别为BD和B′D′，
∴∠ABD=∠A′B′D′=12∠ABC=12∠A′B′C′，
∵BD=B′D′，∠A=∠A′，
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)，
∴AB=A′B′，
∵∠A=∠A′，∠ABC=∠A′B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
∴“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是真命题，
故答案为真．
15.【答案】30
【解析】解：作DE⊥BA于点E，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE=CD=2，
∵AD=4，
∴AD=2DE，
∴∠A=30∘，
故答案为：30.
作DE⊥BA于点E，利用角平分线的性质可得DE=CD=2，再利用AD=2DE，可得答案．
本题主要考查了角平分线的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
16.【答案】40
【解析】解：∵∠BAC=110∘，
∴∠B+∠C=180∘−∠BAC=180∘−110∘=70∘，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B，
同理可得：∠FAC=∠C，
∴∠DAB+∠FAC=∠B+∠C=70∘，
∴∠DAF=110∘−70∘=40∘，
故答案为：40.
根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=70∘，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠DAB=∠B，∠FAC=∠C，进而求出∠DAB+∠FAC，结合图形计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17.【答案】3
【解析】【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
过点C作CE//AB交AD的延长线于点E，利用ASA证明△ABD≌△ECD，得AB=EC，AD=ED=2，再利用勾股定理即可得出答案．
解：如图，过点C作CE//AB交AD的延长线于点E，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵AD⊥AB，CE//AB，
∴AD⊥CE，∠ABD=∠ECD，
∴∠E=90∘，
在△ABD与△ECD中，
∠ADB=∠EDCBD=CD∠ABD=∠ECD，
∴△ABD≌△ECD(ASA)，
∴AB=EC，AD=ED=2，
∴AE=2AD=4，
在Rt△AEC中，CE= AC2−AE2= 52−42=3，
∴AB=CE=3，
故答案为：3.
18.【答案】12或3 2
【解析】【分析】
本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
根据题意可知，需要分两种情况，∠BDE=90∘，∠DBE=90∘，画出对应的图形，再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】
解：①当∠BDE=90∘时，如图，
此时，四边形ACDE是正方形，
则CD=DE=AC=6，
又△BDE是等腰直角三角形，
所以BD=DE=6，
所以BC=CD+BD=12.
②当∠DBE=90∘时，如图，
设BD=x，则BE=x，DE= 2x，
由折叠可知，CD=DE= 2x，
由题意可知，∠BDE=∠DEB=45∘，
∴∠CDE=135∘，
∴∠CAE=45∘，
即△ACF是等腰直角三角形，
∴AC=CF=6，∠F=45∘，
∴BE=BF=x，
∴ 2x+x+x=6，
解得x=6−3 2，
∴BC= 2x+x=3 2.
故答案为：12或3 2.
19.【答案】解：原式= 2+1 2−1 2+1+3− 3× 6+2 2
= 2+1+3−3 2+2 2
=4.
【解析】本题考查了二次根式的混合运算，是基础知识要熟练掌握．先分母有理化并化简，再根据二次根式乘法及加法进行计算即可．
20.【答案】解：将方程整理为一般式为2x2−3x−2=0，
∵(x−2)(2x+1)=0，
∴x−2=0或2x+1=0，
解得x1=2，x2=−0.5.
【解析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
先整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．
21.【答案】解：由题意可知：Δ=(2m−1)2−4m2=9，
∴m=−2，
∴该方程为：x2−5x+4=0，
∴x1=1，x2=4.
【解析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
22.【答案】解：(1)∵y1与(x−1)成正比例，y2与x成反比例，
∴设y1=k1(x−1)，y2=k2x，
∵y=y1+y2，
∴y=k1(x−1)+k2x，
∵当x=2时，y=5；当x=−2时，y=−9.
∴5=k1+k22−9=−3k1−k22，
解得：k1=2k2=6，
∴y关于x的函数解析式为y=2x−2+6x；
(2)当x=8时，原式=2×8−2+34=1434.
【解析】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，求函数值，关键是掌握正比例函数和反比例函数解析式的形式．
(1)首先设y1=k1(x−1)，y2=k2x，再根据y=y1+y2可得y=k1(x−1)+k2x，然后把x=2时，y=5；当x=−2时，y=−9代入可得关于k1、k2的方程组，解出k1、k2的值，可得函数解析式；
(2)把x=8代入函数解析式可得答案．
23.【答案】证明：(1)∵E为AB中点，
∴BE=AE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE//BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE，
∴DE=AE，
∴∠EAD=∠EDA，
∵∠EAD+∠EDA+∠ABD+∠BDE=180∘，
∴∠ADE+∠BDE=90∘，
∴∠ADB=90∘，
∴AD⊥BD；
(2)延长AD，BC交于点N，
在△ADB和△NDB中，
∠ABD=∠NBDBD=BD∠ADB=∠NDB=90∘，
∴△ADB≌△NDB(ASA)，
∴AD=DN，
∴AN=2AD，
∵∠ADB=90∘=∠ACB，
∴∠N+∠DBN=90∘=∠DBN+∠BFC，
∴∠N=∠BFC，
在△ACN和△BCF中，
∠N=∠BFC∠ACN=∠BCF=90∘AC=BC，
∴△ACN≌△BCF(AAS)，
∴BF=AN，
∴BF=2AD.
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
(1)由平行线的性质和角平分线的性质可得BE=AE=DE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ADB=90∘，可证AD⊥BD；
(2)由“ASA”可证△ABD≌△NBD，可得AD=DN，由“AAS”可证△ACN≌△BCF，可得BF=AN=2AD.
24.【答案】解：∵正比例函数y= 3x的图象经过点A(2,m)，
∴m=2 3，
∴点A的坐标为(2,2 3)，
∴k=4 3，
∴反比例函数的解析式为y=4 3x；
(2)作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
设点C的坐标为(x,4 3x)，
∵AO=AB，AD⊥x轴，
∴OD=DB=2，AD=2 3，
∵作AD⊥x轴，CE⊥x轴，∠ABC=90∘，
∴△ADB∽△BEC，
∴ADBE=DBCE，即2 3x−4=24 3x，
解得，x1=−2(舍去)，x2=6，
则点C的坐标为(6,2 33).
【解析】本题考查的是反比例函数的性质、相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
(1)根据正比例函数图象上点的坐标特征求出m，利用待定系数法求出反比例函数的解析式；
(2)根据等腰三角形的性质分别求出OD、BD、AD，证明△ADB∽△BEC，根据相似三角形的性质列式计算求出x，得到答案．
25.【答案】解：(1)∵AC=2 3，AB=4 3，BC=6，
∴AC2+BC2=48，AB2=48，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90∘，
∵AC=12AB，
∴∠B=30∘；
(2)连接BQ，
∵点P关于直线AB的对称点为点Q，
∴BD垂直平分PA，
∴PB=BQ，
∴∠QBD=∠PBD=30∘，
∴∠PBQ=60∘，
∵∠BQC=90∘，
∴∠BCQ+∠PBQ=90∘，
∴∠BCQ=30∘，
∴BQ=12BC=3.
∴CQ= BC2−BQ2=3 3；
(3)过点Q作QH⊥BC于点H，
∵BP=BQ，∠PBQ=60∘，
∴△BPQ为等边三角形，
∵QH⊥BP，BP=x，
∴BH=12x，
∴CH=6−12x，
∴QH= BQ2−BH2= 32x，
∵∠CHQ=90∘，CQ=y，
∴(6−12x)2+( 32x)2=y2，
∴y关于x的函数解析式为y= x2−6x+36(0【解析】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
(1)由勾股定理的逆定理可得出∠ACB=90∘，由直角三角形的性质可得出答案；
(2)求出∠BCQ=30∘，由直角三角形的性质得出BQ=12BC=3.由勾股定理可得出答案；
(3)过点Q作QH⊥BC于点H，证明△BPQ为等边三角形，由勾定理得出(6−12x)2+( 32x)2=y2，则可得出答案．