北京市2024届高考数学模拟试题（一）

这是一份北京市2024届高考数学模拟试题（一），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．设，则（ ）
A． B． C．1D．2
5．设，则（ ）
A．B．
C．D．
6．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）
A．1B．C．D．2
7．抛物线的焦点为F，点P在双曲线C：的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（ ）
A．1B．C．或D．或
8．在中，，则边上的高等于（ ）
A．B．C．D．
9．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人.因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层.假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S，则S的最小值是（ ）
A．42B．41C．40D．39
10．有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（ ）
A．7B．6C．5D．4
二、填空题
11．函数的定义域是
12．已知，分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上一点P满足，且，则该双曲线的离心率为 ．
13．设，．若对任意的实数x都有，则满足条件的所有可能的取值为 ．
14．若的面积为，且为钝角，则 ；的取值范围是 ．
15．已知函数，设．
给出下列四个结论：
①当时，不存在最小值；
②当时，在为增函数；
③当时，存在实数b，使得有三个零点；
④当时，存在实数b，使得有三个零点．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．
(1)求的值；
(2)若，函数在区间上最小值为，求实数m的取值范围．
条件①：对任意的，都有成立；
条件②：；
条件③：．
17．如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，平面⊥平面，点M是的中点，N为线段AC上的动点；
(1)若直线平面BCM，求证：N为线段AC的中点；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
18．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明）
19．已知椭圆E：过点，离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点．
20．设函数，曲线在点处的切线斜率为1．
(1)求a的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求证：．
21．已知是无穷数列，对于k，，给出三个性质：
①（）；
②（）；
③（）
(1)当时，若（），直接写出m的一个值，使数列满足性质②，若满足求出的值；
(2)若和时，数列同时满足条件②③，证明：是等差数列；
(3)当，时，数列同时满足条件①③，求证：数列为常数列．
顾客人数
商品
甲
乙
丙
丁
100
√
×
×
√
217
√
√
×
×
200
√
√
√
×
250
√
×
√
×
100
×
×
×
√
133
√
×
√
×
参考答案：
1．D
【分析】解一元二次不等式得集合，再结合集合的补集、并集运算即可.
【详解】因为，所以，
又，所以.
故选：D.
2．C
【分析】先求得复数的代数形式，进而求得其在复平面内对应的点所在象限.
【详解】，则，
则复数在复平面内对应的点坐标为，该点位于第三象限.
故选：C
3．D
【分析】求得位置关系判断选项A；求得位置关系判断选项B；求得位置关系判断选项C，D.
【详解】选项A：若，则或异面或相交.判断错误；
选项B：若，则或.判断错误；
选项C：若，则或相交.判断错误；
选项D：若，则必有，
又，则，则.判断正确.
故选：D
4．D
【分析】先令计算出的值，再令计算出的值，由此可计算出的值.
【详解】令，所以，
令，所以，
所以，
故选：D.
5．B
【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.
【详解】，而，则，即，
所以.
故选：B
6．B
【分析】因为点P是曲线任意一点，所以当点P处的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线的距离最小，所以利用导数求出点P处的切线，然后利用两平行线间的距离公式可得答案
【详解】因为点P是曲线任意一点，所以当点P处的切线和直线平行时，点P到直线的距离最小.
因为直线的斜率等于1，曲线的导数，
令，可得x＝1或 (舍去)，所以在曲线与直线平行的切线经过的切点坐标为(1，0)，
所以点P到直线的最小距离为，
故选：B
【点睛】此题考查导数的几何意义的应用，考查两平行线间的距离公式，考查转化思想和计算能力，属于基础题
7．D
【分析】确定焦点和渐近线方程，设，，再计算面积即可.
【详解】抛物线的焦点为，双曲线C：的渐近线为，
不妨取，设，，
解得或，或.
故选：D
8．B
【分析】根据余弦定理求，再得，利用的面积公式即可求边上的高.
【详解】在中，因为，
由余弦定理得
因为，所以
设边上的高为，则，

所以，即边上的高等于.
故选：B.
9．C
【分析】先求得“不满意度”之和S的解析式，再利用二次函数的性质求得S的最小值.
【详解】设在第n层下，则
又，则时S取得最小值40.
故选：C
10．A
【分析】通过设出只持有股票的人数和只同时持有了和股票的人数，表达出持有不同股票的人数，通过持股的总人数即可求出只持有股票的股民人数.
【详解】由题意，
设只持有股票的人数为，
则持有股票还持有其它殸票的人数为 (图中的和 )，
∵只持有一支股票的人中, 有一半没持有或股票,
∴只持有了和股票的人数和为 (图中部分) .
假设只同时持有了和股票的人数为,
∴, 即，
则的取值可能是,
与之对应的值为,
∵没持有股票的股民中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍
∴，即，
∴时满足题意，此时,
∴只持有股票的股民人数是,
故选：A.

【点睛】本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有股票的人数，利用韦恩图结合条件即得.
11．
【分析】根据分数和对数有意义的条件即可求解.
【详解】函数有意义的条件是，解得且，
所以函数定义域为.
故答案为：.
12．/
【分析】依题意根据双曲线的定义可得，，再根据向量数量积的定义求出，在中利用余弦定理得到，即可得解；
【详解】解：根据双曲线的定义可得，又，所以，，
又，所以，
又，在中由余弦定理，
即，即，所以离心率；
故答案为：
13．，
【分析】根据给定关系式，求出值，再分类求出值.
【详解】由对任意的实数x都有，得或，
当时，，
则，而，因此；
当时，，
则，而，因此，
所以满足条件的所有可能的取值为，.
故答案为：，
14．
【分析】由三角形面积公式可得，可求出；再根据为钝角限定出，利用正弦定理可得，可得其范围是.
【详解】根据题意可得面积，
可得，即，
又易知为锐角，可得；
由正弦定理可得，
因为为钝角，可得，所以；
可得，因此；
故答案为：；；
15．②④
【分析】结合一次函数与二次函数的性质，利用分段函数的性质与函数的零点逐项判断.
【详解】对于①：当时，，
易知函数在上的最小值为0，
函数，在内单调递增，即，
所以时，函数的最小值为0，故①错误；
对于②：当时，函数，在内单调递减，在内单调递增，
函数的对称轴为，所以在内单调递增，
又，即，解得，
综上可知，当时，在为增函数，故②正确；
对于③：当时，
函数，则，即，存在一个零点；
函数，在内单调递增，与存在一个交点，
又，即，解得或，
于是时，，如下图所示：
综上可知，当时，存在实数b，使得至多有两个零点，故③错误；
④当时，
函数，在内单调递减，在内单调递增，
则与存在两个个交点，
由③知，与存在一个交点，，
又，即，解得或，
于是时，如下图所示：
综上可知，当时，存在实数b，使得有三个零点.
故答案为：②④.
16．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）先用两角和的正弦公式可得，再利用正弦函数的最值可求的值；
（2）根据题意求得的取值范围，再利用正弦函数的单调性和最小值为，列不等式即可得到的取值范围.
【详解】（1）因为，所以．
若选择条件①：对任意的，都有成立，
所以为函数最大值，
得，解得，.
又因为，所以．
若选择条件②：，
所以，化简得，
又因为，所以无解，则不存在．
若选择条件③：，
所以，化简得，
即，解得，解得，，
又因为，所以．
（2）由（1）可知
当时，．
因为在上单调递增，在单调递减，且，
所以，解得，
所以实数m的取值范围是，即．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点N作交BC于点Q，连接QM，得，进而利用直线与平面平行的性质定理可得，从而可证是平行四边形，则由是的中点可得N为线段AC的中点；
（2）先建立空间直角坐标系，再求得平面的法向量，设，则，进而利用向量法表示线面角，列方程求得，从而即可得到的长.
【详解】（1）在中，过点N作交BC于点Q，连接QM，如图：

因为，所以，
所以，N，Q，M四点共面．
因为直线平面，平面，平面平面，
所以．所以四边形是平行四边形．
所．所以为的中点．
（2）因为侧面为正方形，所以，
又因平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，，
又因为正方形，，以B为原点，BA，，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图：

因为，
所以，，，，，，
所以，．
设平面的一个法向量为，
由得即．
取，得．
设，，则，
因为，所以．
所以，，，所以N点坐标为．
因为，所以
设直线与平面所成角为，
则，
解得 ，
所以，即线段的长为．
18．(1)
(2)0.1176
(3)丙的可能性最大
【分析】（1）先根据统计表得出在这1000位顾客中同时购买了甲、乙两种商品的人数；再利用频率估计概率即可.
（2）先根据统计表得出在这1000位顾客中顾客购买了两种商品、顾客购买一种商品有及顾客购买了三种商品的人数；再利用频率估计概率得出各自的概率；最后利用相互独立的概率公式即可求解.
（3）根据统计表求出在这1000位顾客中，顾客同时购买了甲、丙两种商品的概率及顾客同时购买了甲、丁两种商品的概率，进行比较即可判断.
【详解】（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中同时购买了甲、乙两种商品有（位）.
所以顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为．
（2）设事件A：顾客购买了两种商品，事件B：顾客购买一种商品，事件C：顾客购买了三种商品．
从统计表可以看出，顾客购买了两种商品有（位）；顾客购买一种商品有（位）；顾客购买了三种商品（位）；
所以可估计为，可估计为，可估计为．
依题意，在随机抽取4名顾客中，求恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客个购买一种商品，一名顾客购买了三种商品的概率为：
．
因此所求的概率可估计为0.1176．
（3）因为在这1000位顾客中，顾客同时购买了甲、丙两种商品的概率可以估计为；
顾客同时购买了甲、丁两种商品的概率可以估计为．
所以该顾客购买丙的可能性最大.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由椭圆上的点和离心率列方程求得，即可得到椭圆方程；
（2）由题意，设直线l的方程为，联立方程组利用韦达定理可得，，进而题意求得点的坐标，再由分别直线AQ和直线BQ的方程可得点和点，从而利用以上条件代入化简的值，进而即可得证点F为线段CD的中点.
【详解】（1）由题意得
解得，．
所以椭圆E的方程是．
（2）椭圆E的右焦点F的坐标为，
由题意，设直线l的方程为．
，整理得．
因为，
所以，设直线l交椭圆E于点，，
则，．
由直线l的方程，令，解得，
所以，．
所以直线AQ的方程为，．
令，解得，所以．
直线BQ的方程为，．
令，解得，所以．
．
由于，．
则
，
所以线段CD的中点为F．
20．(1)
(2)单调递减区间为，单调递增区间为
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）求出的导数，判断导数得正负，即可求得单调区间；
（3）结合（2），可得在为增函数，结合函数值的正负，即可证明结论.
【详解】（1）由题意得的定义域为，，
因为．所以，解得.
（2）因为，的定义域为，
，
令，得，
与在区间上的情况如下：
所以在的单调递减区间为，单调递增区间为；
（3）证明：由（2）得，在时，取得最小值1，所以恒成立，
所以在为增函数，又因为，
当时，，所以；
当时，，所以，
综上，.
21．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由性质②得到，结合的通项公式化简得到，求出答案；
（2）根据性质②得到，由性质③得到，两式结合得到，故，，，…是等差数列，设其公差为，结合得到，，得到结论；
（3）当时，由性质③得到，推出，，当时，，满足上式，当时，推出矛盾；当时，构造，推出矛盾，从而证明出结论.
【详解】（1）时，性质②为，
又，故，
化简得，
要想上式总成立，则，解得；
（2）若时，数列满足条件②，得，
数列满足条件③，得，
两式相加，
若时，数列满足条件②，得，
数列满足条件③，得，
两式相加，
由知，，，
代入得得，其中，
所以，，，…是等差数列，设其公差为．
在中，取，则，所以，
在中，取，则，所以，
所以数列是等差数列．
（3）①当时，由性质③得，
即，，
所以，，
若，则，．
经检验，数列具有性质①③．
若，当时，，与矛盾．
②当时，令，
则，．
所以．
所以．
所以，，
所以，，…，．
所以．
当时，，与矛盾．
综上所述，只有当，即，且时满足①③，
故数列为常数列.
【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
x
0
-
0
+
递减
极小
递增