辽宁新高考联盟（点石联考）2023-2024学年高二下学期3月联合考试数学试题

这是一份辽宁新高考联盟（点石联考）2023-2024学年高二下学期3月联合考试数学试题，共16页。试卷主要包含了下列选项中，不正确的命题是等内容，欢迎下载使用。

考试范围：选修一，选修二；考试时间：120分钟；命题人：辽宁省新高考试题研究中心
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2．请将答案正确填写在答题卡上，写在此试卷上无效。
3.考试结束后，将此试卷与答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知a=1,0,1，b=0,1,0，c=1,1,1，下列选项中正确的是（ ）
A．b⋅c=3B．a⊥b
C．b+c//aD．a,b=π4
2．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．C40045⋅C20015种B．C40020⋅C20040种
C．C40030⋅C20030种D．C40040⋅C20020种
3．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ）
A．8B．10C．12D．14
4．已知x-2xn的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ）
A．-448B．-1024C．-1792D．-5376
5．下列选项中，不正确的命题是（ ）
A．若两条不同直线l，m的方向向量为v1，v2，则l∥m⇔v1∥v2
B．若OA,OB,OC是空间向量的一组基底，且OD=13OA+13OB+13OC，则点D在平面ABC内，且D为△ABC的重心
C．若a,b,c是空间向量的一组基底，则a+b,2c,a+b+c也是空间向量的一组基底
D．若空间向量a，b，c共面，则存在不全为0的实数x，y，z使xa+yb+zc=0
6．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（ ）
A．15B．25C．35D．45
7．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，则该二面角的大小为( )
A．150∘B．45∘C．60∘D．120∘
8．P是双曲线x24-y25=1右支在第一象限内一点，F1，F2分别为其左、右焦点，A为右顶点，如图圆C是△PF1F2的内切圆，设圆与PF1，PF2分别切于点D，E，当圆C的面积为4π时，直线PF2的斜率为（ ）
A．±43B．43或0C．0D．43
二、多选题
9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则（ ）
A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．PB=25B．PBA1=511
C．事件B与事件A1相互独立D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
11．下列命题中，表述正确的是（ ）
A．直线3+mx+4y-3+3m=0m∈R恒过定点-3,-3
B．圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+2=0的距离都等于1
C．直线y=kx-2+4与曲线y=1+4-x2有两个不同的交点，则实数k的取值范围是512,34
D．已知圆C:x2+y2=1，点P为直线x4+y2=1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA,PB，A,B为切点，则直线AB经过定点14,12
12．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1-β. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为(1-α)(1-β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1-β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3
D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
14．已知直线l:x-my+1=0与⊙C:x-12+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值 ．
15．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2．点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B,F2A=-23F2B，则C的离心率为 ．
16．已知抛物线C:y2=8x及圆M:(x-2)2+y2=1，过2,0的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则AP+4BQ的最小值为 .
四、解答题
17．在二项式x-2xn的展开式中，______．给出下列条件：
①所有偶数项的二项式系数之和为256；
②前三项的二项式系数之和等于46．
试在上面两个条件中选择一个补充在横线上，并解答下列问题：
(1)求x-2xn展开式的常数项；
(2)求1-2xn展开式中系数绝对值最大的项．
18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．
（1）证明：BC⊥平面ACFE；
（2）设点M在线段EF上运动，平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，求csθ的取值范围．
19．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且PXi=1=1-PXi=0=qi,i=1,2,⋅⋅⋅,n，则Ei=1nXi=i=1nqi．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求EY．
20．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．P(B|A)P(B|A)与P(B|A)P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：R=P(A|B)P(A|B)⋅P(A|B)P(A|B)；
（ⅱ）利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
21．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=pi(i=0,1,2,3)．
（1）已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求E(X)；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
22．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
并计算得i=110xi2=0.038,i=110yi2=1.6158,i=110xiyi=0.2474．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2,1.896≈1.377．
23．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为-25,0，离心率为5．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上.
参考答案：
1．B
对于A选项，b⋅c=0+1+0=1，A错；
对于BD选项，a⋅b=0+0+0=0，则a⊥b，B对D错；
对于C选项，b+c=1,2,1，则b+c与a不共线，C错.
故选：B.
2．D
根据分层抽样的定义知初中部共抽取60×400600=40人，高中部共抽取60×200600=20，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C40040⋅C20020种.
故选：D.
3．A
由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，
当三人组中包含小明和小李时，安装方案有C31A22=6种；
当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有A22=2种，共计有6+2=8种，
故选：A.
4．C
∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则n=8
∴展开式的通项为Tr+1=C8rx8-r-2xr=-2rC8rx8-3r2,r=0,1,...,8
则该展开式中各项系数ar=-2rC8r,r=0,1,...,8
若求系数的最小值，则r为奇数且ar-ar+2≤0ar-ar-2≤0，即-2rC8r--2r+2C8r+2≤0-2rC8r--2r-2C8r-2≤0，解得r=5
∴系数的最小值为a5=-25C85=-1792
故选：C.
5．C
对于A，由于两条不同直线l，m的方向向量为v1，v2，当l∥m时，v1∥v2，当v1∥v2时，l∥m，所以A正确，
对于B，因为OD=13OA+13OB+13OC，所以3OD-OA-OB-OC=0，
所以OD-OA+OD-OB+OD-OC=0，
所以AD+BD+CD=0，所以AD=DB+DC,
设E为BC的中点，所以AD=DB+DC=2DE，所以AD=23AE，
所以点D在平面ABC内，且D为△ABC的重心，所以B正确，
对于C，因为a+b+c=a+b+12×2c，所以a+b,2c,a+b+c共面，所以a+b,2c,a+b+c不是空间向量的一组基底，所以C错误，
对于D，由空间向量共面定理可知空间向量a，b，c共面，则存在不全为0的实数x，y，z使xa+yb+zc=0，所以D正确，
故选：C.
6．C
某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），
在男生甲被选中的情况下，
基本事件总数n=C11C62=15，
男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数：
m=C11C21C41+C11C22=9，
∴男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是p=mn=915=35．
故选：C.
7．C
由条件，知CA→⋅AB→=0，AB→⋅BD→=0，CD→=CA→+AB→+BD→．
∴|CD→|2=|CA→|2+|AB→|2+|BD→|2+2CA→⋅AB→+2AB→⋅BD→+2CA→⋅BD→
=62+42+82+2×6×8cs〈CA→，BD→＞=(217)2，
∴cs〈CA→，BD→＞=-12，即〈CA→，BD→＞=120°，
所以二面角的大小为60°，
故选C．．
8．D
由题意可知PD=PE,F1D=F1A，F2A=F2E，
所以PF1-PF2=PD+DF1-PE+EF2
=DF1-EF2=AF1-AF2=2a，设Ax0,0，
则x0+c-c-x0=2a，即x0=a，即Aa,0=2,0，
设圆C半径为rr>0，因为圆C的面积为4π，
则πr2=4π，即r=2，因为CA⊥F1F2，所以C 2,2，
于是tan∠CF2A =CAAF2 =23-2=2，
因为CF2是∠PF2F1的角平分线，所以
tan∠PF2F1 =tan2∠CF2A=2tan∠CF2A1-tan2∠CF2A=-43，
所以tan∠PF2x=tanπ-∠PF2F1=-tan∠PF2F1=43，
即直线PF2的斜率为43.
故选：D
9．ABD
如图，连接B1C、BC1，因为DA1//B1C，所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角，
因为四边形BB1C1C为正方形，则B1C⊥ BC1，故直线BC1与DA1所成的角为90°，A正确；
连接A1C，因为A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，则A1B1⊥BC1，
因为B1C⊥ BC1，A1B1∩B1C=B1，所以BC1⊥平面A1B1C，
又A1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，故B正确；
连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O，连接BO，
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，C1O⊂平面A1B1C1D1，则C1O⊥B1B，
因为C1O⊥B1D1，B1D1∩B1B=B1，所以C1O⊥平面BB1D1D，
所以∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，
设正方体棱长为1，则C1O=22，BC1=2，sin∠C1BO=C1OBC1=12，
所以，直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30∘，故C错误；
因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠C1BC=45∘，故D正确.
故选：ABD
10．BD
由题意，因为每次取一球，所以A1，A2，A3是两两互斥的事件，所以D正确；
因为PA1=510,PA2=210,PA3=310，所以PBA1=PBA1PA1=510×511510=511，所以B正确；
同理可得P(B|A2)=P(BA2)P(A2)=210×411210=411,P(B|A3)=P(BA3)P(A2)=310×411310=411,
所以PB=PBA1+PBA2+PBA3=510×511+210×411+310×411=922，所以A错误；
因为PBA1=510×511=522,PB⋅PA1=922×510=944，所以PBA1≠PB⋅PA1，所以C错误．
故选：BD.
11．BD
解：对于选项A：由3+mx+4y-3+3m=0m∈R可得：mx+3+3x+4y-3=0，
由x+3=03x+4y-3=0可得x=-3y=3，所以直线恒过定点-3,3，故选项A不正确；
对于选项B：圆心0,0到直线l:x-y+2=0的距离等于1，圆的半径r=2，
平行于l:x-y+2=0且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，
所以，圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故选项B正确；
对于选项C：由题知直线y=kx-2+4过定点P2,4，
曲线y=1+4-x2表示以0,1为圆心，2为半径的圆在直线y=1及上方的半圆，
如图，直线PB为过点P2,4，与半圆相切的切线，切点为B，
所以，要使直线y=kx-2+4与曲线y=1+4-x2有两个不同的交点，则kPB所以，当直线y=kx-2+4与半圆相切时，有3-2kk2+1=2，解得k=512，即kPB=512
因为kPA=34，
所以实数k的取值范围是512,34，故C选项错误；
对于选项D：设点P坐标为m,n，所以m4+n2=1，即m+2n=4，
因为PA、PB分别为过点P所作的圆的两条切线，所以CA⊥PA，CB⊥PB，
所以点A,B在以CP为直径的圆上，以CP为直径的圆的方程为x-m22+y-n22=m2+n222，
整理可得：x2+y2-mx-ny=0，与已知圆C:x2+y2=1相减可得mx+ny=1，
消去m可得：4-2nx+ny=1，即ny-2x+4x-1=0，
由y-2x=04x-1=0可得x=14y=12，
所以直线AB经过定点14,12，故选项D正确.
故选：BD
12．ABD
对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)(1-β)2，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为(1-β)⋅β⋅(1-β)=β(1-β)2，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为C32β(1-β)2+(1-β)3=(1-β)2(1+2β)，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P=(1-α)2(1+2α)，
单次传输发送0，则译码为0的概率P'=1-α，而0<α<0.5，
因此P-P'=(1-α)2(1+2α)-(1-α)=α(1-α)(1-2α)>0，即P>P'，D正确.
故选：ABD
13．28
法一：由于24=12，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，
所以正四棱锥的体积为13×4×4×6=32，
截去的正四棱锥的体积为13×2×2×3=4，
所以棱台的体积为32-4=28.
法二：棱台的体积为13×3×16+4+16×4=28.
故答案为：28.

14．2（2,-2,12,-12中任意一个皆可以）
设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得AB=24-d2，
所以S△ABC=12×d×24-d2=85，解得：d=455或d=255，
由d=1+11+m2=21+m2，所以21+m2=455或21+m2=255，解得：m=±2或m=±12．
故答案为：2（2,-2,12,-12中任意一个皆可以）．
15．355/ 355
方法一：
依题意，设AF2=2m，则BF2=3m=BF1,AF1=2a+2m，
在Rt△ABF1中，9m2+(2a+2m)2=25m2，则(a+3m)(a-m)=0，故a=m或a=-3m（舍去），
所以AF1=4a,AF2=2a，BF2=BF1=3a，则AB=5a，
故cs∠F1AF2=AF1AB=4a5a=45，
所以在△AF1F2中，cs∠F1AF2=16a2+4a2-4c22×4a×2a=45，整理得5c2=9a2，
故e=ca=355.
方法二:
依题意，得F1(-c,0),F2(c,0)，令Ax0,y0,B(0,t)，
因为F2A=-23F2B，所以x0-c,y0=-23-c,t，则x0=53c,y0=-23t，
又F1A⊥F1B，所以F1A⋅F1B=83c,-23t⋅c,t =83c2-23t2=0，则t2=4c2，
又点A在C上，则259c2a2-49t2b2=1，整理得25c29a2-4t29b2=1，则25c29a2-16c29b2=1，
所以25c2b2-16c2a2=9a2b2，即25c2c2-a2-16a2c2=9a2c2-a2，
整理得25c4-50a2c2+9a4=0，则5c2-9a25c2-a2=0，解得5c2=9a2或5c2=a2，
又e>1，所以e=355或e=55（舍去），故e=355.
故答案为：355.
16．13
解：如图所示：
圆心M2,0即为抛物线C的焦点F.
所以AP+4BQ=AF-1+4BF-1=AF+4BF-5，
由抛物线的定义，AF=xA+p2=xA+2,BF=xB+p2=xB+2，
所以AP+4BQ=xA+2+4xB+2-5=xA+4xB+5，
又易知：xAxB=p24=4，
所以xA+4xB+5≥2xA⋅4xB+5=13，
当且仅当xA=4xB，即xA=4xB=1时等号成立.
所以AP+4BQ的最小值为13，
故答案为：13
17．(1)-672
(2)5376x6
（1）x-2xn的二项展开式的通项为Tk+1=Cnkxn-k⋅-2xk=-2kCnkxn-3k2．
选①，所有偶数项的二项式系数之和为2n-1=256，可得n=9．
选②，前三项的二项式系数之和为Cn0+Cn1+Cn2=1+n+nn-12=46，解得n=9．
由上知，展开式的通项为Tk+1=-2kC9kx9-3k2，
常数项即当9-3k2=0时，k=3，∴常数项为T4=-23C93=-672．
（2）由（1）得n=9，1-2x9的二项展开式的通项为Tr+1=C9r-2xr=-2rC9rxr，
故第r+1项的系数的绝对值为：2rC9r．
由题设，令2rC9r≥2r-1C9r-12rC9r≥2r+1C9r+1，解得173≤r≤203，
∴r=6，即第7项系数的绝对值最大，且系数绝对值最大的项为T7=-26C96x6=5376x6．
18．（1）见解析（2）csθ∈77，12
（1）证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°
所以AB＝2，所以AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cs60°＝3，
所以AB2＝AC2+BC2，所以BC⊥AC．
因为平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，
因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE．
（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，
令FM=λ0≤λ≤3，则C（0，0，0），A3，0，0，B（0，1，0），M（λ，0，1）．
∴AB=-3，1，0，BM=λ，-1，1．
设n=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，
由n⋅AB=0n⋅BM=0得-3x+y=0λx-y+z=0，取x＝1，则n=(1，3，3-λ)，
∵m=(1，0，0)是平面FCB的一个法向量
∴csθ=n⋅mnm=11+3+3-λ2×1=1λ-32+4
∵0≤λ≤3，∴当λ＝0时，csθ有最小值77，当λ=3时，csθ有最大值12．
∴csθ∈77，12．
19．(1)0.6
(2)16×25i-1+13
(3)E(Y)=5181-25n+n3
（1）记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，
所以，PB2=PA1B2+PB1B2=PA1PB2|A1+PB1PB2|B1
=0.5×1-0.6+0.5×0.8=0.6.
（2）设PAi=pi，依题可知，PBi=1-pi，则
PAi+1=PAiAi+1+PBiAi+1=PAiPAi+1|Ai+PBiPAi+1|Bi，
即pi+1=0.6pi+1-0.8×1-pi=0.4pi+0.2，
构造等比数列pi+λ，
设pi+1+λ=25pi+λ，解得λ=-13，则pi+1-13=25pi-13，
又p1=12,p1-13=16，所以pi-13是首项为16，公比为25的等比数列，
即pi-13=16×25i-1,pi=16×25i-1+13．
（3）因为pi=16×25i-1+13，i=1,2,⋅⋅⋅,n，
所以当n∈N*时，EY=p1+p2+⋯+pn=16×1-25n1-25+n3=5181-25n+n3，
故E(Y)=5181-25n+n3．
20．(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii)R=6；
（1）由已知K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200(40×90-60×10)250×150×100×100=24，
又P(K2≥6.635)=0.01，24>6.635，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为R=P(B|A)P(B|A)⋅P(B|A)P(B|A)=P(AB)P(A)⋅P(A)P(AB)⋅P(AB)P(A)⋅P(A)P(AB)，
所以R=P(AB)P(B)⋅P(B)P(AB)⋅P(AB)P(B)⋅P(B)P(AB)
所以R=P(A|B)P(A|B)⋅P(A|B)P(A|B)，
(ii)
由已知P(A|B)=40100，P(A|B)=10100，
又P(A|B)=60100，P(A|B)=90100，
所以R=P(A|B)P(A|B)⋅P(A|B)P(A|B)=6
21．（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
（1）E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.
（2）设fx=p3x3+p2x2+p1-1x+p0，
因为p3+p2+p1+p0=1，故fx=p3x3+p2x2-p2+p0+p3x+p0，
若EX≤1，则p1+2p2+3p3≤1，故p2+2p3≤p0.
f'x=3p3x2+2p2x-p2+p0+p3，
因为f'0=-p2+p0+p3<0，f'1=p2+2p3-p0≤0，
故f'x有两个不同零点x1,x2，且x1<0<1≤x2，
且x∈-∞,x1∪x2,+∞时，f'x>0；x∈x1,x2时，f'x<0；
故fx在-∞,x1，x2,+∞上为增函数，在x1,x2上为减函数，
若x2=1，因为fx在x2,+∞为增函数且f1=0，
而当x∈0,x2时，因为fx在x1,x2上为减函数，故fx>fx2=f1=0，
故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，
若x2>1，因为f1=0且在0,x2上为减函数，故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，
综上，若EX≤1，则p=1.
若EX>1，则p1+2p2+3p3>1，故p2+2p3>p0.
此时f'0=-p2+p0+p3<0，f'1=p2+2p3-p0>0，
故f'x有两个不同零点x3,x4，且x3<0且x∈-∞,x3∪x4,+∞时，f'x>0；x∈x3,x4时，f'x<0；
故fx在-∞,x3，x4,+∞上为增函数，在x3,x4上为减函数，
而f1=0，故fx4<0，
又f0=p0>0，故fx在0,x4存在一个零点p，且p<1.
所以p为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，此时p<1，
故当EX>1时，p<1.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
22．(1)0.06m2；0.39m3
(2)0.97
(3)1209m3
（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x=0.610=0.06
样本中10棵这种树木的材积量的平均值y=3.910=0.39
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2，
平均一棵的材积量为0.39m3
（2）r=i=110xi-xyi-yi=110xi-x2i=110yi-y2=i=110xiyi-10xyi=110xi2-10x2i=110yi2-10y2
=0.2474-10×0.06×0.39(0.038-10×0.062)(1.6158-10×0.392)=≈≈0.97
则r≈0.97
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得，解之得Y=1209m3．
则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3
23．(1)x24-y216=1
(2)证明见解析.
（1）设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，
则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，
双曲线方程为x24-y216=1.
（2）由(1)可得A1-2,0,A22,0，设Mx1,y1,Nx2,y2，
显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，
则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，

直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，
联立直线MA1与直线NA2的方程可得：
x+2x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1
=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，
由x+2x-2=-13可得x=-1，即xP=-1，
据此可得点P在定直线x=-1上运动.
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
PK2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9