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2022-2023学年青海省西宁市海湖中学高三（下）开学数学试卷（理科）（含解析）
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这是一份2022-2023学年青海省西宁市海湖中学高三（下）开学数学试卷（理科）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U={x∈Z|0A. M∩(∁UN)B. ∁U(M∩N)C. ∁U(M∪N)D. (∁UM)∩N
2.若i是虚数单位，则复数2+3i1+i的实部与虚部之积为( )
A. −54B. 54C. 54iD. −54i
3.直线l1：ax+2y−1=0与l2：x+(a−1)y+a2=0平行，则a=( )
A. −1B. 2C. −1或2D. 0或1
4.已知m，n是直线，α是平面，且m//α，则下列结论中正确的是( )
A. ∀n⊂α，都有m//nB. ∃n⊂α，使m⊥n
C. ∀n//m，都有n//αD. ∃n⊥α，使m//n
5.cs85°+sin25°cs30°cs25∘=( )
A. − 32B. 22C. 12D. 1
6.关于x、y的不等式组3x+y−6≥0x−y−2≤0x+y−4≤0表示的平面区域的面积为( )
A. 3B. 52C. 2D. 32
7.已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a6=4，且a4+2a7=52，则S5=( )
A. 29B. 30C. 31D. 32
8.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=3DC，若AD=λAB+μAC，则λμ=( )
A. 12
B. 13
C. 2
D. 23
9.已知函数f(x)=2sin(πx+1)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1−x2|的最小值为( )
A. 2B. 1C. 4D. 12
10.从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有( )
A. 20种B. 50种C. 80种D. 100种
11.已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)右焦点为F1，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，抛物线y2=−16x的焦点为F，若△ABF为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. (1+ 132,+∞)B. ( 13,+∞)C. (1,3)D. (1,1+ 132)
12.已知f(x)是偶函数，在(−∞,0)上满足xf′(x)>0恒成立，则下列不等式成立的是( )
A. f(−3)f(−5)
C. f(−5)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线y=x与函数f(x)=2,x>mx2+4x+2,x≤m的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是______．
14.已知向量a，b满足|a| =5，|a−b| =6，|a+b|=4，则向量b在向量a上的投影为__________
15.袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数ξ的数学期望为______．
16.数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an= ______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：
(Ⅰ)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全2×2列联表：
并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；
(Ⅱ)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座．求抽取的这两人恰好是一男一女的概率．
附表及公式：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
18.(本小题12分)
在直角梯形ABCD(如图1)，∠ABC=90°，BC//AD，AD=8，AB=BC=4，M为线段AD中点．将△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到几何体B−ACD(如图2)．
(1)求证：CD⊥平面ABC；
(2)求AB与平面BCM所成角θ的正弦值．
19.(本小题12分)
已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an．
(1)证明：数列{an+an+1}为等比数列；
(2)若a1=12，a2=32，求{an}的通项公式．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx，g(x)=12ax2+2x，a≠0．
(1)若函数h(x)=f(x)−g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)=f(x)−g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知F1、F2分别是椭圆C：x24+y2=1的左、右焦点．
(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，PF1⋅PF2=−54，求点P的坐标；
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=−1+ 22ty=−2+ 22t(t为参数)，以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcs2θ+4csθ−ρ=0．
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)求直线l被曲线C截得的弦长是多少？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由N中方程解得：x=2或x=6，即N={2,6}，
∵全集U={x∈Z|0∴M∪N={2,3,5,6}，
则M∩(∁UN)={3,5}；∁U(M∩N)={1,3,4,5,6,7}；
∁U(M∪N)={1,4,7}；(∁UM)∩N={6}，
故选：C．
根据集合的运算可解．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵2+3i1+i=(2+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=52+12i，
∴复数2+3i1+i的实部为52，虚部为12，
∴复数2+3i1+i的实部与虚部之积为54．
故选：B．
利用复数代数形式的乘除运算化简，分别求出实部与虚部作积得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意知，两直线的斜率都存在，
由l1与l2平行得 a1=2a−1≠−1a2，
即a(a−1)=2a3≠−1
∴a=2，
故选B．
两直线的斜率都存在，由l1与l2平行得：a1=2a−1≠−1a2，解出a的值．
本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系．主要考查了斜率都存在的两直线平行的性质，即一次项的系数之比相等，但不等于常数项之比．
4.【答案】B
【解析】解：由m，n是直线，α是平面，且m//α，得：
对于A，∀n⊂α，则m，n平行或异面，故A不正确；
对于B，∃n⊂α，使m⊥n，故B正确；
对于C，∀n//m，则n//α或n⊂α，故C不正确；
对于D，若n⊥α，因为m//α，所以m⊥n，故D不正确，
故选：B．
对于A，m，n平行或异面；对于B，∃n⊂α，使m⊥n；对于C，n//α或n⊂α；对于D，m⊥n．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
把cs85°化为cs(60°+25°)，由两角和的余弦公式化简即可．
本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．
【解答】
解：cs85°+sin25°cs30°cs25∘
=cs(60∘+25∘)+sin25∘cs30∘cs25∘
=12cs25∘− 32sin25∘+ 32sin25∘cs25∘=12
故选：C
6.【答案】C
【解析】解：画出x、y的不等式组3x+y−6≥0x−y−2≤0x+y−4≤0所表示的平面区域如图所示，
联立3x+y−6=0x−y−2=0，
得C(2,0)，
联立3x+y−6=0x+y−4=0解得B(1,3)，
由x−y−2=0x+y−4=0解得A(3,1)；并且AB⊥AC，
AB= 2，AC=2 2，
∴不等式组3x+y−6≥0x−y−2≤0x+y−4≤0表示的平面区域的面积为S=12× 2×2 2=2．
故选：C．
由约束条件作出可行域，求出A、B、C的坐标，再求三角形的面积．
本题考查了简单的线性规划与数形结合的应用问题，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：因为数列{an}为各项均为正数的等比数列，a2a6=a42=4，
所a4=2，
因为a4+2a7=52，
所以a7=14，
所以q3=a7a4=18，
所以q=12，an=(12)n−5，
则S5=16+8+4+2+1=31．
故选：C．
由已知结合等比数列的性质求出a4，a7，进而可求公比q，然后结合等比数列的求和公式可求．
本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为点D在线段BC上，且BD=3DC，所以BD=3DC，
则AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34(AC−AB)=14AB+34AC．
∴λ=14，μ=34．
故选：B．
由已知得BD=3DC，然后结合向量的线性表示及平面向量基本定理求解．
本题主要考查了向量的线性运算及平面向量基本定理，属基础题．
9.【答案】B
【解析】解：由于函数f(x)=2sin(πx+1)的周期为2ππ=2，
对于任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，
可知f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值，|x1−x2|的最小值就是函数的半周期22=1，
故选：B．
由题意可知f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值，|x1−x2|的最小值就是函数的半周期，求解即可
本题主要考查三角函数的定义的理解，三角函数的周期的求法，考查计算能力，理解能力，属于基础题
10.【答案】B
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①从5人中选4人参加活动，先在5人中选出2人，安排到图书馆做志愿者，有C52=10种分法，
再从剩下的3人中选出2人，安排在食堂做志愿者，有C32=3种分法，
此时有10×3=30种安排方法，
②5人全部参加志愿活动，先在5人中选出3人，安排到图书馆或食堂做志愿者，有2C53=20种分法，
再把剩下的2人安排在剩下场所做志愿者，有1种情况，
此时有20×1=20种安排方法，
此时有30+20=50种安排方法，
故选：B．
根据题意，分2种情况讨论：①从5人中选4人参加活动，②5人全部参加志愿活动，分别求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】解：在抛物线y2=−16x中，F(−4,0)，
在双曲线x24−y2b2=1中，当x=c时，y=±b22，取A(c,b22)，
因为△ABF是锐角三角形，所以∠AFF1<π4，
则tan∠AFF1=b224+c因为双曲线x24−y2b2=1中a=2，
所以b2=c2−a2=c2−4，所以c2−4<8+2c，
解得1− 13因为e=ca>1，则1所以双曲线的离心率的取值范围是(1,1+ 132)．
故选：D．
根据∠AFF1<π4，b2=c2−a2=c2−4可得1− 131，从而可求出e的取值范围．
本题考查了抛物线的几何性质，考查了双曲线的离心率，属于中档题．
12.【答案】A
【解析】解：x∈(−∞,0)时，xf′(x)>0即f′(x)<0，
∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，又f(x)为偶函数，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增．
∴f(3)∴f(−3)故选：A．
由题干条件得到x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，故f(x)在(−∞,0)上单调递减，结合f(x)为偶函数，得到f(x)在(0,+∞)上单调递增，从而判断出大小关系．
本题考查函数的导数判断函数的单调性，奇偶性与单调性的综合，解题的关键是根据题设条件得出自变量离原点近，则函数值小这一规律，函数单调性与偶函数结合时，常归纳出此类的规律方便比较大小．
13.【答案】−1≤m<2
【解析】解：根据题意，直线y=x与射线y=2(x>m)有一个交点A(2,2)，
并且与抛物线y=x2+4x+2在(−∞,m]上的部分有两个交点B、C
由y=xy=x2+4x+2，联解得B(−1,−1)，C(−2,−2)
∵抛物线y=x2+4x+2在(−∞,m]上的部分必须包含B、C两点，
且点A(2,2)一定在射线y=2(x>m)上，才能使y=f(x)图象与y=x有3个交点
∴实数m的取值范围是−1≤m<2
故答案为：−1≤m<2
根据题意，求出直线y=x与射线y=2(x>m)、抛物线y=x2+4x+2在(−∞,m]上的部分的三个交点A、B、C，且三个交点必须都在y=f(x)图象上，由此不难得到实数m的取值范围．
本题给出分段函数的图象与直线y=x有3个交点，求参数m的取值范围，着重考查了直线与抛物线位置关系和分段函数的图象与性质等知识，属于中档题．
14.【答案】−1
【解析】【分析】
本题考查向量的投影的求法，考查向量的数量积公式、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
由向量a，b满足|a|=5，|a−b|=6，|a+b|=4，列方程组求出a⋅b=−5，|b|=1，
向量b在向量a上的投影为|b|⋅cs=|b|⋅a⋅b|a|⋅|b|=a⋅b|a|，由此能求出结果．
【解答】
解：∵向量a，b满足|a|=5，|a−b|=6，|a+b|=4，
∴|a−b|2=25+b2−2a⋅b=36，
|a+b|2=25+b2+2a⋅b=16，
∴a⋅b=−5，|b|=1，
∴向量b在向量a上的投影为：
|b|⋅cs=|b|⋅a⋅b|a|⋅|b|=a⋅b|a|=−1．
故答案为−1．
15.【答案】32
【解析】解：由题意得ξ的所有可能值为1，2，3，P(ξ=1)=C31C51=35，P(ξ=2)=C21C31C51C41=310；P(ξ=3)=C21C11C31C51C41C31=110，
∴E(ξ)=1×35+2×310+3×110=32．
故答案为：32．
根据题意，写出ξ的所有可能值并求出每个值对应的概率，代入期望的计算公式即可求解．
本题考查数学期望的定义，属于基础题．
16.【答案】(nn−1)2
【解析】解：设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn=a1a2a3×…×an=n2 ①，当n≥2时Tn−1=a1a2a3×…×an−1=(n−1)2②，①÷②得an=(nn−1)2(n≥2)；
故答案为：(nn−1)2(n≥2)．
当n≥2时由前n项积为n2除以前n−1项积(n−1)2可得an；
本题考查作商法、数列运算能力，属于容易题．
17.【答案】20 60 30 60 70 50 120
【解析】解：(Ⅰ)由题意得下表：
k2的观测值为120⋅(1200−600)270×50×60×60=247>2.706．
所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关．
(Ⅱ)由题意知抽取的6名“体育达人”中
有4名男职工，2名女职工，分别表示为A1，A2，A3，A4，B1，B2，
从这六人中抽取两人有(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,A4)，(A1,B1)，
(A1,B2)(A2,A3)，(A2,A4)，(A2,B1)，(A2,B2)(A3,A4)，
(A3,B1)，(A3,B2)(A4,B1)，(A4,B2)，(B1,B2)，共15种情形，
满足抽取的这两人恰好是一男一女有：
(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A4,B1)，(A4,B2)共8种情形，
故从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座，
抽取的这两人恰好是一男一女的概率为815.…(12分)
(Ⅰ)列表求出k2的观测值，从而有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关．
(Ⅱ)由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，分别表示为A1，A2，A3，A4，B1，B2，从这六人中抽取两人，利用列举法能求出抽取的这两人恰好是一男一女的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
18.【答案】解：(1)由∠ABC=90°，BC//AD，AD=8，AB=BC=4，
所以AC=4 2，CD=4 2，AD=8，
所以AD2=CD2+AC2，CD⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，
所以CD⊥平面ABC；
(2)取AC的中点O连接OB，根据题意，以O为原点，
以OM，OC，OM分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,−2 2,0)，B(0,0,2 2)，C(0,2 2,0)，M(2 2,0,0)，
所以CB=(0,−2 2,2 2)，CM=(2 2,−2 2,0)，BA=(0,−2 2,−2 2)，
设平面BCM的法向量为m=(x,y,z)，
m⋅CB=−2 2y+2 2z=0m⋅CM=2 2x−2 2y=0，得m=(1,1,1)，
所以sinθ=|cs|=|−2 2−2 2|4⋅ 3= 2 3= 63．
【解析】(1)利用勾股定理证明CD⊥AC，再结合面面垂直，证明线面垂直；
(2)取AC的中点O连接OB，根据题意，以O为原点，以OM，OC，OM分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,−2 2,0)，B(0,0,2 2)，C(0,2 2,0)，M(2 2,0,0)，求出平面BCM的法向量，再利用夹角公式求出即可．
考查线面垂直，面面垂直，考查向量法求法向量，夹角公式求线面角的余弦值，中档题．
19.【答案】证明：(1)各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an，
得，an+1+an+2=3(an+1+an)，
所以数列{an+an+1}是公比为3的等比数列；
(2)因为a1=12，a2=32，
所以a1+a2=2，
由(1)知数列{an+an+1}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以an+an+1=2×3n−1，
于是an+1−12×3n=−an+12×3n−1，a2−32=0，
所以an−3n−12=0，即an=3n−12，a1=12也符合．
故an=3n−12．
【解析】(1)根据等比数列的定义，结合已知变形得，an+1+an+2=3(an+1+an)，可证明；
(2)结合(1)可得an+an+1=2×3n−1，变形得an+1−12×3n=−an+12×3n−1，从而可求．
本题主要考查了等比数列的定义在等比数列的判断中的应用，还考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，属于中档题．
20.【答案】解：(1)h(x)=lnx−12ax2−2x(x>0)，
对函数求导数，得h′(x)=−ax2+2x−1x，(x>0)，
依题意，得h′(x)<0在(0,+∞)上有解．即ax2+2x−1>0在x>0时有解．
①显然a≥0时，不等式有解，
②a<0时，需满足Δ=4+4a>0，解得a>−1，
综合①②得a>−1且a≠0，
即有a的取值范围为(−1,0)∪(0,+∞)；
(2)由于h′(x)=−ax2+2x−1x，(x>0)，
由题意可得h′(x)≤0在[1,4]上恒成立．
即有ax2+2x−1≥0在[1,4]上恒成立．
即为a≥1x2−2x在[1,4]上恒成立．
由y=−2x+1x2=(1x−1)2−1，
由于x∈[1,4]，则1x∈[14,1]，
则有y∈[−1,−716]，
则a≥−716．
即有a的取值范围是[−716,0)∪(0,+∞)．
【解析】(1)利用导数进行求解，即h′(x)<0在(0,+∞)上有解．可得ax2+2x−1>0在正数范围内至少有一个解，结合根的判别式列式，不难得到a的取值范围；
(2)求出函数的导数，由题意可得h′(x)≤0在[1,4]上恒成立，再由参数分离，运用二次函数的最值，即可得到所求范围．
本题考查导数的运用：求单调区间，注意函数的单调区间和在某区间上单调的区别，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，属于中档题和易错题．
21.【答案】解：(1)因为椭圆方程为x24+y2=1，
知a=2，b=1，c= 3，
可得F1(− 3,0)，F2( 3,0)，
设P(x,y)(x>0,y>0)，
则PF1⋅PF2=(− 3−x,−y)⋅( 3−x,−y)=x2+y2−3=−54，
又x24+y2=1，联立x2+y2=74x24+y2=1，
解得x2=1y2=34⇒x=1y= 32，即为P(1, 32)；
(2)显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x24+y2=1y=kx+2⇒(1+4k2)x2+16kx+12=0，
由△=(16k)2−4(1+4k2)⋅12>0，得k2>34．
x1+x2=−16k1+4k2，x1x2=121+4k2．
又∠AOB为锐角，即为OA⋅OB>0，
即x1x2+y1y2>0，x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0，
又(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2)121+4k2+2k(−16k1+4k2)+4=4(4−k2)1+4k2>0，
可得k2<4.又k2>34，即为34解得k∈(−2,− 32)∪( 32,2)．
【解析】(1)求得椭圆的a，b，c，可得左右焦点，设P(x,y)(x>0,y>0)，运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得P的坐标；
(2)显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由∠AOB为锐角，即为OA⋅OB>0，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求k的范围．
本题考查椭圆方程的运用，向量的数量积的坐标表示，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及角为锐角的条件：数量积大于0，考查解方程和解不等式的运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由x=−1+ 22ty=−2+ 22t，消去参数t，得直线l的普通方程为x−y−1=0，
∵曲线C的极坐标方程为ρcs2θ+4csθ−ρ=0，即ρ2cs2θ+4ρcsθ−ρ2=0，
将ρcsθ=x，ρ2=x2+y2代入得x2+4x−x2−y2=0，即y2=4x，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x；
(2)联立y2=4xx−y−1=0，得x2−6x+1=0，Δ=36−4=32>0，
设直线l与抛物线C交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=6，x1x2=1，
故直线l被曲线C截得的弦长为|AB|= (1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]= (1+1)×(36−4)=8．
【解析】(1)消去参数t可得直线l的普通方程，根据公式ρcsθ=x，ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；
(2)联立直线与抛物线方程，利用弦长公式可求出结果．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于基础题．收看时间(单位：小时)
[0,1)
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6)
收看人数
14
30
16
28
20
12
男
女
合计
体育达人
40
______
______
非体育达人
______
30
______
合计
______
______
______
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
男
女
合计
体育达人
40
20
60
非体育达人
30
30
60
合计
70
50
120
1.已知全集U={x∈Z|0
2.若i是虚数单位，则复数2+3i1+i的实部与虚部之积为( )
A. −54B. 54C. 54iD. −54i
3.直线l1：ax+2y−1=0与l2：x+(a−1)y+a2=0平行，则a=( )
A. −1B. 2C. −1或2D. 0或1
4.已知m，n是直线，α是平面，且m//α，则下列结论中正确的是( )
A. ∀n⊂α，都有m//nB. ∃n⊂α，使m⊥n
C. ∀n//m，都有n//αD. ∃n⊥α，使m//n
5.cs85°+sin25°cs30°cs25∘=( )
A. − 32B. 22C. 12D. 1
6.关于x、y的不等式组3x+y−6≥0x−y−2≤0x+y−4≤0表示的平面区域的面积为( )
A. 3B. 52C. 2D. 32
7.已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a6=4，且a4+2a7=52，则S5=( )
A. 29B. 30C. 31D. 32
8.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=3DC，若AD=λAB+μAC，则λμ=( )
A. 12
B. 13
C. 2
D. 23
9.已知函数f(x)=2sin(πx+1)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1−x2|的最小值为( )
A. 2B. 1C. 4D. 12
10.从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有( )
A. 20种B. 50种C. 80种D. 100种
11.已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)右焦点为F1，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，抛物线y2=−16x的焦点为F，若△ABF为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. (1+ 132,+∞)B. ( 13,+∞)C. (1,3)D. (1,1+ 132)
12.已知f(x)是偶函数，在(−∞,0)上满足xf′(x)>0恒成立，则下列不等式成立的是( )
A. f(−3)
C. f(−5)
13.直线y=x与函数f(x)=2,x>mx2+4x+2,x≤m的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是______．
14.已知向量a，b满足|a| =5，|a−b| =6，|a+b|=4，则向量b在向量a上的投影为__________
15.袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数ξ的数学期望为______．
16.数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an= ______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：
(Ⅰ)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全2×2列联表：
并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；
(Ⅱ)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座．求抽取的这两人恰好是一男一女的概率．
附表及公式：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
18.(本小题12分)
在直角梯形ABCD(如图1)，∠ABC=90°，BC//AD，AD=8，AB=BC=4，M为线段AD中点．将△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到几何体B−ACD(如图2)．
(1)求证：CD⊥平面ABC；
(2)求AB与平面BCM所成角θ的正弦值．
19.(本小题12分)
已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an．
(1)证明：数列{an+an+1}为等比数列；
(2)若a1=12，a2=32，求{an}的通项公式．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx，g(x)=12ax2+2x，a≠0．
(1)若函数h(x)=f(x)−g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)=f(x)−g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知F1、F2分别是椭圆C：x24+y2=1的左、右焦点．
(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，PF1⋅PF2=−54，求点P的坐标；
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=−1+ 22ty=−2+ 22t(t为参数)，以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcs2θ+4csθ−ρ=0．
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)求直线l被曲线C截得的弦长是多少？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由N中方程解得：x=2或x=6，即N={2,6}，
∵全集U={x∈Z|0
则M∩(∁UN)={3,5}；∁U(M∩N)={1,3,4,5,6,7}；
∁U(M∪N)={1,4,7}；(∁UM)∩N={6}，
故选：C．
根据集合的运算可解．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵2+3i1+i=(2+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=52+12i，
∴复数2+3i1+i的实部为52，虚部为12，
∴复数2+3i1+i的实部与虚部之积为54．
故选：B．
利用复数代数形式的乘除运算化简，分别求出实部与虚部作积得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意知，两直线的斜率都存在，
由l1与l2平行得 a1=2a−1≠−1a2，
即a(a−1)=2a3≠−1
∴a=2，
故选B．
两直线的斜率都存在，由l1与l2平行得：a1=2a−1≠−1a2，解出a的值．
本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系．主要考查了斜率都存在的两直线平行的性质，即一次项的系数之比相等，但不等于常数项之比．
4.【答案】B
【解析】解：由m，n是直线，α是平面，且m//α，得：
对于A，∀n⊂α，则m，n平行或异面，故A不正确；
对于B，∃n⊂α，使m⊥n，故B正确；
对于C，∀n//m，则n//α或n⊂α，故C不正确；
对于D，若n⊥α，因为m//α，所以m⊥n，故D不正确，
故选：B．
对于A，m，n平行或异面；对于B，∃n⊂α，使m⊥n；对于C，n//α或n⊂α；对于D，m⊥n．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
把cs85°化为cs(60°+25°)，由两角和的余弦公式化简即可．
本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．
【解答】
解：cs85°+sin25°cs30°cs25∘
=cs(60∘+25∘)+sin25∘cs30∘cs25∘
=12cs25∘− 32sin25∘+ 32sin25∘cs25∘=12
故选：C
6.【答案】C
【解析】解：画出x、y的不等式组3x+y−6≥0x−y−2≤0x+y−4≤0所表示的平面区域如图所示，
联立3x+y−6=0x−y−2=0，
得C(2,0)，
联立3x+y−6=0x+y−4=0解得B(1,3)，
由x−y−2=0x+y−4=0解得A(3,1)；并且AB⊥AC，
AB= 2，AC=2 2，
∴不等式组3x+y−6≥0x−y−2≤0x+y−4≤0表示的平面区域的面积为S=12× 2×2 2=2．
故选：C．
由约束条件作出可行域，求出A、B、C的坐标，再求三角形的面积．
本题考查了简单的线性规划与数形结合的应用问题，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：因为数列{an}为各项均为正数的等比数列，a2a6=a42=4，
所a4=2，
因为a4+2a7=52，
所以a7=14，
所以q3=a7a4=18，
所以q=12，an=(12)n−5，
则S5=16+8+4+2+1=31．
故选：C．
由已知结合等比数列的性质求出a4，a7，进而可求公比q，然后结合等比数列的求和公式可求．
本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为点D在线段BC上，且BD=3DC，所以BD=3DC，
则AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34(AC−AB)=14AB+34AC．
∴λ=14，μ=34．
故选：B．
由已知得BD=3DC，然后结合向量的线性表示及平面向量基本定理求解．
本题主要考查了向量的线性运算及平面向量基本定理，属基础题．
9.【答案】B
【解析】解：由于函数f(x)=2sin(πx+1)的周期为2ππ=2，
对于任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，
可知f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值，|x1−x2|的最小值就是函数的半周期22=1，
故选：B．
由题意可知f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值，|x1−x2|的最小值就是函数的半周期，求解即可
本题主要考查三角函数的定义的理解，三角函数的周期的求法，考查计算能力，理解能力，属于基础题
10.【答案】B
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①从5人中选4人参加活动，先在5人中选出2人，安排到图书馆做志愿者，有C52=10种分法，
再从剩下的3人中选出2人，安排在食堂做志愿者，有C32=3种分法，
此时有10×3=30种安排方法，
②5人全部参加志愿活动，先在5人中选出3人，安排到图书馆或食堂做志愿者，有2C53=20种分法，
再把剩下的2人安排在剩下场所做志愿者，有1种情况，
此时有20×1=20种安排方法，
此时有30+20=50种安排方法，
故选：B．
根据题意，分2种情况讨论：①从5人中选4人参加活动，②5人全部参加志愿活动，分别求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】解：在抛物线y2=−16x中，F(−4,0)，
在双曲线x24−y2b2=1中，当x=c时，y=±b22，取A(c,b22)，
因为△ABF是锐角三角形，所以∠AFF1<π4，
则tan∠AFF1=b224+c
所以b2=c2−a2=c2−4，所以c2−4<8+2c，
解得1− 13
故选：D．
根据∠AFF1<π4，b2=c2−a2=c2−4可得1− 13
本题考查了抛物线的几何性质，考查了双曲线的离心率，属于中档题．
12.【答案】A
【解析】解：x∈(−∞,0)时，xf′(x)>0即f′(x)<0，
∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，又f(x)为偶函数，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增．
∴f(3)
由题干条件得到x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，故f(x)在(−∞,0)上单调递减，结合f(x)为偶函数，得到f(x)在(0,+∞)上单调递增，从而判断出大小关系．
本题考查函数的导数判断函数的单调性，奇偶性与单调性的综合，解题的关键是根据题设条件得出自变量离原点近，则函数值小这一规律，函数单调性与偶函数结合时，常归纳出此类的规律方便比较大小．
13.【答案】−1≤m<2
【解析】解：根据题意，直线y=x与射线y=2(x>m)有一个交点A(2,2)，
并且与抛物线y=x2+4x+2在(−∞,m]上的部分有两个交点B、C
由y=xy=x2+4x+2，联解得B(−1,−1)，C(−2,−2)
∵抛物线y=x2+4x+2在(−∞,m]上的部分必须包含B、C两点，
且点A(2,2)一定在射线y=2(x>m)上，才能使y=f(x)图象与y=x有3个交点
∴实数m的取值范围是−1≤m<2
故答案为：−1≤m<2
根据题意，求出直线y=x与射线y=2(x>m)、抛物线y=x2+4x+2在(−∞,m]上的部分的三个交点A、B、C，且三个交点必须都在y=f(x)图象上，由此不难得到实数m的取值范围．
本题给出分段函数的图象与直线y=x有3个交点，求参数m的取值范围，着重考查了直线与抛物线位置关系和分段函数的图象与性质等知识，属于中档题．
14.【答案】−1
【解析】【分析】
本题考查向量的投影的求法，考查向量的数量积公式、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
由向量a，b满足|a|=5，|a−b|=6，|a+b|=4，列方程组求出a⋅b=−5，|b|=1，
向量b在向量a上的投影为|b|⋅cs
【解答】
解：∵向量a，b满足|a|=5，|a−b|=6，|a+b|=4，
∴|a−b|2=25+b2−2a⋅b=36，
|a+b|2=25+b2+2a⋅b=16，
∴a⋅b=−5，|b|=1，
∴向量b在向量a上的投影为：
|b|⋅cs
故答案为−1．
15.【答案】32
【解析】解：由题意得ξ的所有可能值为1，2，3，P(ξ=1)=C31C51=35，P(ξ=2)=C21C31C51C41=310；P(ξ=3)=C21C11C31C51C41C31=110，
∴E(ξ)=1×35+2×310+3×110=32．
故答案为：32．
根据题意，写出ξ的所有可能值并求出每个值对应的概率，代入期望的计算公式即可求解．
本题考查数学期望的定义，属于基础题．
16.【答案】(nn−1)2
【解析】解：设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn=a1a2a3×…×an=n2 ①，当n≥2时Tn−1=a1a2a3×…×an−1=(n−1)2②，①÷②得an=(nn−1)2(n≥2)；
故答案为：(nn−1)2(n≥2)．
当n≥2时由前n项积为n2除以前n−1项积(n−1)2可得an；
本题考查作商法、数列运算能力，属于容易题．
17.【答案】20 60 30 60 70 50 120
【解析】解：(Ⅰ)由题意得下表：
k2的观测值为120⋅(1200−600)270×50×60×60=247>2.706．
所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关．
(Ⅱ)由题意知抽取的6名“体育达人”中
有4名男职工，2名女职工，分别表示为A1，A2，A3，A4，B1，B2，
从这六人中抽取两人有(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,A4)，(A1,B1)，
(A1,B2)(A2,A3)，(A2,A4)，(A2,B1)，(A2,B2)(A3,A4)，
(A3,B1)，(A3,B2)(A4,B1)，(A4,B2)，(B1,B2)，共15种情形，
满足抽取的这两人恰好是一男一女有：
(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A4,B1)，(A4,B2)共8种情形，
故从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座，
抽取的这两人恰好是一男一女的概率为815.…(12分)
(Ⅰ)列表求出k2的观测值，从而有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关．
(Ⅱ)由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，分别表示为A1，A2，A3，A4，B1，B2，从这六人中抽取两人，利用列举法能求出抽取的这两人恰好是一男一女的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
18.【答案】解：(1)由∠ABC=90°，BC//AD，AD=8，AB=BC=4，
所以AC=4 2，CD=4 2，AD=8，
所以AD2=CD2+AC2，CD⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，
所以CD⊥平面ABC；
(2)取AC的中点O连接OB，根据题意，以O为原点，
以OM，OC，OM分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,−2 2,0)，B(0,0,2 2)，C(0,2 2,0)，M(2 2,0,0)，
所以CB=(0,−2 2,2 2)，CM=(2 2,−2 2,0)，BA=(0,−2 2,−2 2)，
设平面BCM的法向量为m=(x,y,z)，
m⋅CB=−2 2y+2 2z=0m⋅CM=2 2x−2 2y=0，得m=(1,1,1)，
所以sinθ=|cs
【解析】(1)利用勾股定理证明CD⊥AC，再结合面面垂直，证明线面垂直；
(2)取AC的中点O连接OB，根据题意，以O为原点，以OM，OC，OM分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,−2 2,0)，B(0,0,2 2)，C(0,2 2,0)，M(2 2,0,0)，求出平面BCM的法向量，再利用夹角公式求出即可．
考查线面垂直，面面垂直，考查向量法求法向量，夹角公式求线面角的余弦值，中档题．
19.【答案】证明：(1)各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an，
得，an+1+an+2=3(an+1+an)，
所以数列{an+an+1}是公比为3的等比数列；
(2)因为a1=12，a2=32，
所以a1+a2=2，
由(1)知数列{an+an+1}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以an+an+1=2×3n−1，
于是an+1−12×3n=−an+12×3n−1，a2−32=0，
所以an−3n−12=0，即an=3n−12，a1=12也符合．
故an=3n−12．
【解析】(1)根据等比数列的定义，结合已知变形得，an+1+an+2=3(an+1+an)，可证明；
(2)结合(1)可得an+an+1=2×3n−1，变形得an+1−12×3n=−an+12×3n−1，从而可求．
本题主要考查了等比数列的定义在等比数列的判断中的应用，还考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，属于中档题．
20.【答案】解：(1)h(x)=lnx−12ax2−2x(x>0)，
对函数求导数，得h′(x)=−ax2+2x−1x，(x>0)，
依题意，得h′(x)<0在(0,+∞)上有解．即ax2+2x−1>0在x>0时有解．
①显然a≥0时，不等式有解，
②a<0时，需满足Δ=4+4a>0，解得a>−1，
综合①②得a>−1且a≠0，
即有a的取值范围为(−1,0)∪(0,+∞)；
(2)由于h′(x)=−ax2+2x−1x，(x>0)，
由题意可得h′(x)≤0在[1,4]上恒成立．
即有ax2+2x−1≥0在[1,4]上恒成立．
即为a≥1x2−2x在[1,4]上恒成立．
由y=−2x+1x2=(1x−1)2−1，
由于x∈[1,4]，则1x∈[14,1]，
则有y∈[−1,−716]，
则a≥−716．
即有a的取值范围是[−716,0)∪(0,+∞)．
【解析】(1)利用导数进行求解，即h′(x)<0在(0,+∞)上有解．可得ax2+2x−1>0在正数范围内至少有一个解，结合根的判别式列式，不难得到a的取值范围；
(2)求出函数的导数，由题意可得h′(x)≤0在[1,4]上恒成立，再由参数分离，运用二次函数的最值，即可得到所求范围．
本题考查导数的运用：求单调区间，注意函数的单调区间和在某区间上单调的区别，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，属于中档题和易错题．
21.【答案】解：(1)因为椭圆方程为x24+y2=1，
知a=2，b=1，c= 3，
可得F1(− 3,0)，F2( 3,0)，
设P(x,y)(x>0,y>0)，
则PF1⋅PF2=(− 3−x,−y)⋅( 3−x,−y)=x2+y2−3=−54，
又x24+y2=1，联立x2+y2=74x24+y2=1，
解得x2=1y2=34⇒x=1y= 32，即为P(1, 32)；
(2)显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x24+y2=1y=kx+2⇒(1+4k2)x2+16kx+12=0，
由△=(16k)2−4(1+4k2)⋅12>0，得k2>34．
x1+x2=−16k1+4k2，x1x2=121+4k2．
又∠AOB为锐角，即为OA⋅OB>0，
即x1x2+y1y2>0，x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0，
又(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2)121+4k2+2k(−16k1+4k2)+4=4(4−k2)1+4k2>0，
可得k2<4.又k2>34，即为34
【解析】(1)求得椭圆的a，b，c，可得左右焦点，设P(x,y)(x>0,y>0)，运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得P的坐标；
(2)显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由∠AOB为锐角，即为OA⋅OB>0，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求k的范围．
本题考查椭圆方程的运用，向量的数量积的坐标表示，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及角为锐角的条件：数量积大于0，考查解方程和解不等式的运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由x=−1+ 22ty=−2+ 22t，消去参数t，得直线l的普通方程为x−y−1=0，
∵曲线C的极坐标方程为ρcs2θ+4csθ−ρ=0，即ρ2cs2θ+4ρcsθ−ρ2=0，
将ρcsθ=x，ρ2=x2+y2代入得x2+4x−x2−y2=0，即y2=4x，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x；
(2)联立y2=4xx−y−1=0，得x2−6x+1=0，Δ=36−4=32>0，
设直线l与抛物线C交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=6，x1x2=1，
故直线l被曲线C截得的弦长为|AB|= (1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]= (1+1)×(36−4)=8．
【解析】(1)消去参数t可得直线l的普通方程，根据公式ρcsθ=x，ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；
(2)联立直线与抛物线方程，利用弦长公式可求出结果．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于基础题．收看时间(单位：小时)
[0,1)
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6)
收看人数
14
30
16
28
20
12
男
女
合计
体育达人
40
______
______
非体育达人
______
30
______
合计
______
______
______
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
男
女
合计
体育达人
40
20
60
非体育达人
30
30
60
合计
70
50
120
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