汉寿县第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份汉寿县第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，，则( )
A.B.C.D.
2．为了得到函数的图象，只需将余弦函数图象上各点( )
A.横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
B.横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
C.横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
D.横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
3．已知，，，则( )
A.B.C.D.
4．如图，在中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且，连接CF并延长交AB于E，若，则等于( )
A.B.C.D.
5．设，，，且，，则等于( )
A.B.C.或D.
6．函数若，则实数a的取值是( )
A.3B.C.3或D.5或
7．关于x的方程，有四个命题：甲：该方程两根之和为2；乙：是该方程的根；丙：是该方程的根；丁：该方程两根异号.如果有且只有一个假命题，则该命题是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
8．已知a，b，，且( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.在范围内，与角终边相同的角是
B.已知4弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是
C.一个扇形的周长为10，弧长为6，那么该扇形的面积是5
D.若，则
10．当a，时，下列不等关系不成立的是( )
A.B.C.D.
11．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
B.直线是图象的一条对称轴
C.若，则的最小值为
D.直线与函数在上的图象有7个交点
三、填空题
12．已知幂函数的图象过点，那么__________.
13．已知，，且满足，，则__________.
14．在平面直角坐标系xOy中，角与角均以为始边，它们的终边关于y轴对称.若角的终边经过点，则__________.
四、解答题
15．已知是定义在R上的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)解不等式.
16．已知函数；
(1)若a，，求的值；
(2)若方程在上有解，求实数m的取值范围.
17．已知函数（，，）的最小值为1，最小正周期为π，且的图象关于直线对称.
(1)求的解析式、对称轴、对称中心；
(2)求函数在上的单调递减区间.
18．如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，，顶点A到河两岸的距离，，C，B两点分别在两岸，上，设.
(1)若，求养殖区域面积的最大值；
(2)现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若，求观赏长廊总长的最小值.
19．设函数（且，）.
(1)若是定义在R上的偶函数，求实数k的值；
(2)若，对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，，所以，
故选:D.
2．答案：D
解析：把上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象.
故选：D.
3．答案：B
解析：因为，，，
且，可得，
所以.
故选：B.
4．答案：D
解析：设，，因为，所以，
因为，所以，
又，
又因为，所以，得到，消得到，所以.
故选：D.
5．答案：A
解析：由，，
得，，
平方得，
，
相加得，
即，
又由，，，知，则，即，
故，
故选：A.
6．答案：D
解析：当时，，解得：；
当时，，解得：；
即实数a的取值是5或.
故选：D.
7．答案：C
解析：若和是该方程的根，则两根同号，
所以乙丙丁不可能同时为真命题，即甲是真命题；
因为该方程两根之和为2，则和不可能同时是该方程的根，
所以乙丙中有一个假命题，丁为真命题；
若甲乙丁为真命题，是该方程的根，得另一根为，
此时方程为，符合题意；
若甲丙丁为真命题，是该方程的根，得另一根为，
此时两根同号，不符合题意，所以可知丙为假命题.
故选：C
8．答案：C
解析：选项A，令，，此时，故A错误；
选项B，令，此时，故B错误；
选项C，由于指数函数在R上单调递增，故时，，故C正确；
选项D，令，，此时，故D错误；
故选：C
9．答案：ABD
解析：对于A，由于，所以角与角终边相同，A正确；
对于B，设圆的半径为r，则，即，所以弧长为，B正确；
对于C，扇形所在圆半径为，所以该扇形的面积是，C错误；
对于D，函数在上单调递增，而，所以，D正确.
故选：ABD.
10．答案：ABD
解析：A：当a，时，显然不成立；
B：当，时，不成立；
C：由重要不等式知：当且仅当时等号成立；
D：当，时，不成立.
故选：ABD.
11．答案：BCD
解析：对于A选项，由图可知，函数的最小正周期为，则，
又因为，因为，则，
所以，，则，所以，，
故函数的图象可由的图象向左平移个单位得到，A错；
对于B选项，，
所以，直线是图象的一条对称轴，B对；
对于C选项，因为，
所以，的最小值为，C对；
对于D选项，当时，，
由可知的可能取值集合为，
所以，直线与函数在上的图象有个交点，D对.
故选：BCD.
12．答案：
解析：幂函数的图象过点，
，即，
.
13．答案：/
解析：，
即，
①，
又，
，，
所以②，
①②两式平方相加得，
进而，即，
所以，
又，
所以，进而，
因为，，
所以故，，
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意可知的终边过点，的终边过点，
由三角函数的定义有：，，
则：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时，，则，
是定义在R上的奇函数，
当时，，
.
(2)当时，原不等式为，解得或，从而；
当时，原不等式为，此不等式的解集为.
综上，原不等式的解集为.
16．答案：(1)0
(2)
解析：(1)，
，
.
(2)，
在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性知：在上单调递减，在上单调递减，
当时，，即，
若方程在上有解，则，
即实数m的取值范围为.
17．答案：(1)；对称轴为，；对称中心为，
(2)在上的单调递减区间为，，
解析：(1)由题意可知，所以，，，
因为的图象关于直线对称，所以，，
得，，又因，所以，故，
令，，得，，故函数的对称轴为，；
令，，得，，
故对称中心为，.
(2)，
令，，得，，
故函数的递减区间为，，
当时得，当时得，当时得，
又因，
所以在上的单调递减区间为，，
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时，，，
所以，
又因为（当且仅当时等号成立），
所以，
于是，
因此，养殖区域面积的最大值为.
(2)由题意，，，
所以，
所以的周长，
其中.
设，则，
所以.
所以，，
于是当时，，即，
因此，观赏长廊总长的最小值为.
19．答案：(1)1
(2)
解析：(1)由可得，
即对恒成立，可解得:.
(2)当时，有，
由，
即有，且
故有对恒成立，
①若，则显然成立，
②若，则函数在上单调递增，
故有，解得：；
综上：实数a的取值范围为.