江西省名校2024届高三下学期2月开学考试数学试卷(含答案)

这是一份江西省名校2024届高三下学期2月开学考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知,则( )
A.B.C.D.
3．已知椭圆的焦距为2,且,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
4．乒乓球被誉为我国的“国球”,一个标准尺寸乒乓球的直径是,其表面积约为( )
A.B.C.D.
5．已知函数没有极值点,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．已知,且,则( )
A.B.C.D.
7．已知一组样本数据,,···,的方差为10,且.设,则样本数据,,···,的方差为（ ）
A.9.5B.10.5
8．甲､乙､丙三名同学报名参加数学､物理､化学､生物兴趣小组.-已知每人参加两个兴趣小组,三人不能同时参加同一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人参加,则不同的报名参加方式共有( )
A.45种B.81种C.90种D.162种
二、多项选择题
9．已知函数,则( )
A.的最小正周期是
B.的值域是
C.的图像关于点对称
D.的图像关于直线对称
10．已知点,,分别为双曲线的左､右焦点,P为C的右支上一点,则( )
A.B.
C.D.
11．在中,,边AB,AC在平面上的射影长分别为3,4,则边BC在上的射影长可能为( )
A.7B.6C.1D.0
三、双空题
12．已知向量,若,则___________,___________.
四、填空题
13．记为等差数列的前n项和,若,则___________.
14．已知且,函数在的最大值为,则在的最小值为___________.
五、解答题
15．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）若,求;
（2）若,,求的面积.
16．如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,E,F分别为PB,PC的中点,G为线段AC上一点,且.
（1）证明：平面BDF;
（2）若平面ABCD,且,求二面角的正弦值.
17．已知某客运轮渡最大载客质量为,且乘客的体重（单位：）服从正态分布.
（1）记X为任意两名乘客中体重超过的人数,求X的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）;
（2）设随机变量相互独立,且服从正态分布,记,则当时,可认为服从标准正态分布.若保证该轮渡不超载的概率不低于,求最多可运载多少名乘客.
附：若随机变量服从正态分布,则;若服从标准正态分布,则;,,.
18．已知抛物线的焦点为F,各顶点均在C上,且.
（1）证明：F是的重心;
（2）能否是等边三角形？并说明理由;
（3）若P,Q均在第一象限,且直线PQ的斜率为,求面积.
19．已知函数.
（1）若,,求的极值;
（2）若a,,设,证明：
（i）;
（ii）.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,所以.
2．答案：A
解析：,故.
3．答案：D
解析：根据题意有半焦距,故,且,故,C的离心率.
4．答案：C
解析：标准乒乓球的半径,故表面积.
5．答案：B
解析：,若没有极值点,则方程至多只有一个解,
即,故a的取值范围是.
6．答案：A
解析：由,可得,
由,可得,故,
故当,时,.
7．答案：B
解析：设样本数据,,···,的平均数为,则,
设样本数据,,···,的平均数为,因为,所以,所以.
8．答案：C
解析：方法1：根据题意可知有2个兴趣小组各有2个人报名,有2个兴趣小组各有1个人报名,则共有种;若有2个同学所报名的2个兴趣小组完全相同,则剩下的1个同学所报名参加的2个兴趣小组都只有1个人报名,则有种;若三人中只有一人所报名的2个兴趣小组各有2人报名,则另两人每人各报名一个有2人报名的兴趣小组和一个仅有1人报名的兴趣小组,则有种,故一共有种.
方法2：甲乙完全相同的报名参加方式有种,甲､乙只有一个兴趣小组相同的报名参加方式有种,甲､乙完全不同的报名参加方式有种,所以他们不同的报名参加方式共有种.
9．答案：ABD
解析：,故的最小正周期是,值域为,AB正确;因为,故不关于点对称,错误;因为是的极大值点,故关于直线对称,D正确.
10．答案：BCD
解析：当P的横坐标为无穷大时,也为无穷大,故A错误;
由双曲线的定义可知,
故,故B正确;,故C正确;
C的一条渐近线的斜率为,大于直线的斜率,所以当P在x轴上方时,A,P,不可能共线,故由三角形三边关系可知,故D正确.
11．答案：AC
解析：不妨设点A在上,因为,且边AB,AC在平面上的射影长分别为3,4,所以点B,C到的距离分别为4,3.当B,C在同一侧时,BC在上的射影长为;当B,C在不同侧时,BC在上的射影长为.
12．答案：0,
解析：因为向量,
所以,当时,,
即,故,
所以,.
13．答案：49
解析：因为,则,
又因为,故,
所以.
14．答案：5
解析：方法1：因为,所以的图像关于点对称,故若在的最大值为-3,则在的最小值为5.
方法2：由条件得,当时,,且等号成立,即,
,且等号成立,在的最小值为5.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,由正弦定理可得：,
因为,
所以,
故.
所以.
（2）由余弦定理可知,
即,
故.
又,
所以.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）记O为AC,BD的交点,连接CE交BF于点K,连接OK,
因为E,F分别为PB,PC的中点,则K为的重心,故.
又因为四边形ABCD是正方形,故O为AC的中点,且由于,故,,
所以.
又因为平面BDF,且平面BDF
所以平面BDF.
（2）以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DP为z轴建立坐标系,
设,,则,,
所以,,
平面BEG与平面DEG的法向量分别为,
则,
不妨取,则,
所以,
所以二面角的正弦值为.
17．答案：（1）0.317
（2）若保证该轮渡不超载的概率不低于,最多可运载64名乘客
解析：（1）设乘客的体重为,则,其中,,
因为,即,
故,
所以,
,
,
所以X的分布列为：
方法1：所以.
方法2：因为,故.
（2）设为第位乘客的体重,则,其中,
所以.
因为.故有,
得,即,故,,
所以若保证该轮渡不超载的概率不低于,最多可运载64名乘客.
18．答案：（1）F是的重心
（2）不可能是等边三角形
（3）
解析：（1）设线段PQ的中点为M,由可知,设QR的中点为N,同理可知,
所以两条中线RM,PN相交于F,故F是的重心.
（2）方法1：根据题意有.
设,,
则,,
由可得,,且.
又由抛物线的几何性质可知,,.
若是等边三角形,则由（1）可知.
由,得,又因为P,Q不重合,故可知,
所以.
故,,这与矛盾.
综上,不可能是等边三角形.
方法2：根据题意有.
设,,
由抛物线的几何性质可知,,.
若是等边三角形,则由（1）可知.
所以,故,,
因此,,中至少两个相等,P,Q,R中至少有两个点重合,这与P,Q,R互不重合矛盾,故不可能是等边三角形.
（3）方法1：设直线PQ的方程为,其中,且因为P,Q在第一象限,
易知,与C的方程联立有,其中,可知,
结合（2）中所设点坐标可知,.
由（2）可知,
且,代入有：
,故,
整理化简有,
,
点F到直线PQ的距离,
所以.
由（1）可知,故,.
方法2：由条件可设PQ的方程为.把此方程与联立,
化简得.
.
根据（2）有,
,.
由解得.
,直线PQ的方程为.
.
点R到直线PQ的距离,
所以的面积为.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）方法1：当,时,,
所以,且.
设,则,
其中,
当时,,单调递增,当时,,单调递减,
又因为,故当时,,单调递减,当时,
,单调递增,当时,,单调递减.
故是的极小值点,的极小值为,
是的极大值点,的极大值为.
方法2：当时,,
所以.
设,则在单调递减.由于,,故存在唯一,使得.
当时,,单调递增;当时,,单调递减.
因为,所以当或时,,,
单调递减;当时,,,单调递增.
故是的极小值点,的极小值为,
是的极大值点,的极大值为.
（2）（i）设,
则当时,在单调递增.
令,当时,因为a,,故,单调递增,故当时,.
设,则,当时,,单调递减,故当时,.
所以,,;,;···,;,故对于任意,.
（ii）由（i）可知,当时,,故,
当时取等.故当时,,
令,则,在单调递增.
由（i）可知,故,即.
所以,.
因为,故.
所以,
且由a,可知,,,.
综上,有.
X
0
1
2
P
0.708
0.267
0.025