中考数学复习指导：巧添辅助线妙解题

这是一份中考数学复习指导：巧添辅助线妙解题，共4页。试卷主要包含了连结两点，过一点作已知直线的平行线或垂线，延长线段等内容，欢迎下载使用。

一、连结两点
例1 如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．P是线段CD上一个动点，过点P作PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关于点A的对称点，则BP＋PH＋HQ的最小值为．
分析 连结CH，就可以集中使用图中的元素，则四边形PHCB是平行四边形，则BP＝CH，PH＝2，那么BP＋PH＋HQ＝CH＋HQ＋2．转化成CH＋HQ何时取最小值，学生自然会想起学过的定理两点间线段最短．还可以由PH⊥OA，PH＝2始终不变，则要使BP＋PH＋HQ有最小值，则BP∥QH，求得点P的坐标，点Q的坐标，就会得到所求．
故所求最小值为2．
二、过一点作已知直线的平行线或垂线
例2 “三等分任意角”是数学史上一个著名问题，已知一个角∠MAN，设∠α＝∠MAN．
(1)当LMAN＝69°时，∠α的大小为_______（度）；
(2)如图2，将∠MAN放置在每个小正方形的边长为1 cm，的网格中，角的一边AM与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B，且AB＝2.5 cm．现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出∠α，并简要说明作法（不要求证明）．
分析 (1)略；
(2)利用网格结构，作以点B为直角顶点的直角三角形，并且使斜边所在的直线过点A，且斜边的长度为5，就可以集中使用图中的元素，再根据想起的定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得斜边上的中线等于AB的长度，再结合三角形的外角性质可知， ∠BAD＝2∠BDC，再根据想起的两直线平行，内错角相等可得∠BDC＝∠MAD，从而得到∠MAD＝∠MAN．
解 (1)根据题意，计算即可得解：
×69°＝23°；
(2)如图2，让直尺有刻度一边过点A，设该边与过点B的竖直方向的网格线交于点C，与过点B水平方向的网格线交于点D，保持直尺有刻度的一边过点A，调整点C.D的位置，使CD＝5 cm，画射线AD，此时∠MAD即为所求的∠α．
三、延长线段
例3 如图3，OA＝4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q．当点Q也落在⊙O上时，cs ∠OQB的值等于( )
分析 本题综合考查了三角形中位线定理，余弦的定义和圆的性质．解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，就可以集中使用图中的元素．先构造直角三角形QBC，再根据想起的三角形中位线定理分别求出QB.QC的长，再根据想起的余弦定义即可求出结果．
解 当点P运动到点Q恰好落在⊙O上时，连结BC，OP，再延长QO交⊙O于点C，连BC，则∠CBQ＝90°，
故选C．
在初中平面几何教学中，可发现学生普遍对添加辅助线有畏惧心理，在平时的教学与学习中，多注意此类问题的分析与总结，可以提高我们分析问题，解决问题的效率和数学思维能力．