中考数学复习指导：巧用杠杆原理求解几何比值问题

这是一份中考数学复习指导：巧用杠杆原理求解几何比值问题，共3页。试卷主要包含了课本习题，中考试题，解竞赛题等内容，欢迎下载使用。

一、课本习题
例1 已知：如图1，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点，求AF：FC．
解 ①观察以D为支点的系统BDC．由于DB＝DC，故B.C
点各挂a牛顿重物，D点受力2a牛顿，这时系统BDC才能达到平
衡状态．
②观察以E为支点的系统DEA．由EA＝ED，故在A处挂2a
牛顿重物，系统DEA才能达到平衡．由于D点受力2a牛顿，因此
E点受力4a牛顿．
③观察以E为支点的系统BEF．由于B点受力a牛顿，E点受力4a牛顿，故F点受力3a牛顿，这时系统BEF才能达到平衡状态．
④观察F为支点的系统AFC．由于A点受力的2a牛顿，C点受力为a牛顿，F点受力为3a牛顿，正好F点受力为A点和C点受力之和，因而系统AFC处于平衡状态，所以有2a．AF＝a．FC，∴AF：FC＝1：2．
二、中考试题
例2 已知：如图2，△ABC中，AE：EB＝1：3，BD：DC＝2：1，AD与CE相交于点F，则的值为( )
(A)(B)1
(C)(D)2
解 ①观察系统BDC．若在B点挂a牛顿，则由于BD：DC＝2：1，所以需在C点挂2a牛顿，这样系统BDC就能达到平衡状态，此时支点D受力应为3a牛顿．
②观察系统AEB．由于AE：EB＝1：3．且B点受力a牛顿，故A点受力应为3a牛顿，这样要使系统AEB达到平衡状态，那么支点E受力应为a＋3a＝4a（牛顿）．
③观察系统AFD．因为A点受力3a牛顿，D点受力3a牛顿，故要使系统，4FD达到平衡状态，则支点F受力应为3a＋3a＝6a（牛顿）．
④观察系统CFE．由于C点受力2a牛顿，E点受力4a牛顿，所以2a＋4a＝6a（牛顿），正好等于支点F的受力，因而系统CFE处于平衡状态．从而有
三、解竞赛题
例3 如图3，△ABC中，AD是BC边上的中线，F为
AD上的一点，且AF：FD＝1：5．连结CF并延长交AB于
点E，则AE：EB等于( )
(A)1：6 (B)1：8
(C)1：9(D)1：10
解 ①观察以D为支点的系统BDC．由于D为BC边的中点，故DB＝DC，所以B.C点各挂a牛顿重物，D点受力为2a牛顿，这时系统BDC才能达到平衡状态．
②观察以F为支点的系统DFA．由于AF：FD＝1：5，故由杠杆平衡原理知：2a牛顿·FD＝x·AF，故x＝10a牛顿，即A点受力为10a牛顿，要使系统DFA达到平衡，那么F点受力为12a牛顿．
③观察以F为支点的系统CFE．由于C点受力a牛顿，F点受力12a牛顿，因此，要使系统CFE平衡，那么E点受力为11a牛顿，此时E点受力正好是系统AEB的A点和B点受力之和，所以有：AE．10a＝BE·a．AE：BE＝1：10．故选D．
例4 如图4，已知△ABC中，，，AD.BE交于点F，则的值是( )
(A) (B)
(C)(D)
解 ①观察系统BDC．若在B点挂3a牛顿重物，由于BD：DC＝2：3，所以需在C点挂2a牛顿重物．这样系统BDC就能达到平衡状态，此时支点D受力应为5a牛顿．
②观察系统AEC．由于AE：EC＝3：4．且C点受力为2a牛顿，故由杠杆平衡原理知x·AE＝2a．EC，∴x＝a牛顿，即A点受力为a牛顿．因此，要使系统AEC达到平衡状态，则支点E受力应为a牛顿＋2a牛顿＝a牛顿．
③观察系统BFE．因为B点受力3a牛顿，E点受力a牛顿，故要使系统BFE达到平衡状态，则支点F受力为3a牛顿＋a牛顿＝a牛顿．
④观察系统AFD，由于A点受力为a牛顿，D点受力为5a牛顿，所以a牛顿＋5a牛顿＝a牛顿，正好等于支点F的受力，因而系统AFD处于平衡状态．从而有
综上可知：应用杠杆平衡原理解几何比值问题，虽然有点繁，但方法富有规律，若用纯几何方法求解，则不仅要作辅助线，而且还要通过三角形的相似，经过比例变形及运算才能求得结果．这类问题之所以能用杠杆平衡原理来解，其关键在于可将图形中的各个交点视为力点，进而可利用同向平行力的合成法则“合力的大小等于两分力的和，合力的方向跟分力的方向相同，合力的作用点在分力的作用点的连线上，各分力对于以合力作用点为支点的合力矩等于零”．