中考数学复习指导：数形结合思想的应用试题

这是一份中考数学复习指导：数形结合思想的应用试题，共4页。试卷主要包含了在数与式问题中的应用，在方程与不等式中的应用，在函数问题中的应用，在概率统计中的应用等内容，欢迎下载使用。

数形结合的思想是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合；或是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，通过“以形助数”和“以数辅形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化．
利用数形结合思想解题主要涉及两大类：(1)利用几何图形直观表示数，常借助数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形的问题，常需建立方程（组）或建立函数关系式等．本文选取几例，说明数形结合思想在解题中的应用，供参考．
一、在数与式问题中的应用
例1 下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为_______．
分析 第一个图案为4个窗花＋1个窗花，第二个图案为6个窗花＋2个窗花，第三个图案为9个窗花＋2个窗花，…从而可以探究第n个图案所贴窗花数为(2n＋2)＋n＝3n＋2个．
点评 将图形语言转化为解题所需的数据，以形想数，从而发现规律得出结果．
二、在方程与不等式中的应用
例2 已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围是_______．
分析 解x－a≥a，得x≥2a； ①
解5－2x>1，得x<2． ②
因为该不等式组有解，由①、②得该不等式组解集为a≤x<2，如图2．用数轴表示为
由图2，可得实数a的取值范围是－3 点评 借助数轴将代数问题转化为图形，利用图形更直观地观察出实数a的取值范围．
例3 在直角坐标系中直接画出函数y＝的图象，若一次函数y＝kx＋b的图象分别过点A（－1，1），B(2， 2)．请你依据这两个函数的图象写出方程组的解．
分析 由图象可知，方程的解为：或．
点评 通过作一次函数的图象，可以直观地确定出方程组的解．体会到方程组的解与图象上点的坐标密切关系，品味出数形结合思想的内在的魅力．
三、在函数问题中的应用
例4 某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图4中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）
请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录（如图5）提供的信息，解答下列问题：
(1)求销售量x为多少时，销售利润为4万元；
(2)分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；
(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率那么，在OA，AB，BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）
分析 (1)根据题意，当销售利润为4万元，销售量为
4÷(5－4)＝4万升；
(2)点A的坐标为(4，4)，从13日到15日利润为5.5－4＝1.5（万元），所以销售量为
1.5÷(5.5－4)＝1（万升）．
所以点B的坐标为(5，5.5)，得到线段AB所对应的函数关系式为
y＝1.5x－2(4≤x≤5)．
从15日到31日销售5万升，利润为
1×1.5＋4×(5.5－4.5)＝5.5（万元），
所以本月销售该油品的利润为
5.5＋5.5＝11（万元），
所以点C的坐标为(10，11)．则线段BC所对应的函数关系式为
y＝1.1x(5≤x≤10)．
(3)线段AB．
点评 在解决函数问题时，应注意观察函数图象的形状特征，理解图表中有用的信息，充分从函数图象中挖掘已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的图象性质来解．
四、在概率统计中的应用
例5 甲口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有1和2；乙口袋中装有三个相同的小球，它们分别写有3，4和5；丙口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有6和7．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．
(1)取出的3个小球上恰好有两个偶数的概率是多少？
(2)取出的3个小球上全是奇数的概率是多少？
分析 根据题意，画出如图6的“树形图”：
P(两个偶数)＝；P(三个奇数)＝．
点评 通过列树状图，可以清晰全面地反映出这种摸球方式的所有可能性，轻松地计算出摸球的概率．