四川省宜宾市2023届高三二模文科数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省宜宾市2023届高三二模文科数学试题（Word版附解析），文件包含四川省宜宾市2023届高三二模文科数学试题原卷版docx、四川省宜宾市2023届高三二模文科数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.本试卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合交集的定义运算即可．
【详解】集合，，则
故选：C
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的定义，即可得到本题答案.
【详解】，所以.
故选：B
3. 已知，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正切的和差角公式即可代入求解.
【详解】，
故选：C
4. 2月国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报．下图1是2018-2022年国内生产总值及其增长速度，图2是2018-2022年三次产业增加值占国内生产总值比重（三次产业包括第一产业，第二产业，第三产业）．根据图1，图2，以下描述不正确的是（ ）
A. 2018-2022年国内生产总值呈逐年增长的趋势
B. 2020年与2022年国内生产总值的增长速度较上一年有明显回落
C. 2018-2022年第三产业增加值占国内生产总值比重的极差为1.7%
D. 2020年第二产业增加值较2019年有所减少
【答案】D
【解析】
【分析】根据给出的图形逐一分析判断即可.
【详解】依题意，
对于A：由图1可以看出直方图逐年增高，所以2018-2022年国内生产总值呈逐年增长的趋势，故A正确；
对于B：由图1可以看出折线在2020年与2022年时与上一年连线的斜率小于0，故B正确；
对于C：由图2可以得出2018-2022年第三产业增加值占国内生产总值比重最大值为：54.5%，
最小值为：52.8%，所以极差，故C正确；
对于D：结合图1图2可知，2019年第二产业的增加值为：亿元；
2020年第二产业的增加值为：亿元.
因为，所以2020年第二产业增加值较2019年有所增加，
故D错误.
故选：D.
5. 命题：存在唯一，使得是真命题，则实数的值是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】结合已知条件并由偶函数的性质即可求解.
【详解】不妨设，显然的定义域为关于原点对称，
且有，
所以函数是上的偶函数，
由题意可知函数在上有且仅有一个零点，
则只能，
否则若则由偶函数的性质可知，此时与题意矛盾，
所以，解得，
此时有，且当且仅当时，，故符合题意.
故选：B.
6. 已知某四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥最长的棱长是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三视图还原四棱锥即可求解.
【详解】依题意，
还原三视图得四棱锥几何图形，如图所示：
其中底面是边长为1的正方形，底面，且，
由图易得最长的棱为，
所以.
故选：D.
7. 下列判断正确的是（ ）
A. 若，则的最小值是5
B. 若，则
C. 若，则的最小值是
D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据均值不等式计算得到A正确，根据函数单调性得到C错误，举反例得到BD错误，得到答案.
【详解】对选项A：，当且仅当，即时等号成立，正确；
对选项B：取，满足，不成立，错误；
对选项C：，则，在上单调递减，故的最小值为，错误；
对选项D：取，满足，不成立，错误；
故选：A
8. 下图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁与该截面的交点，，分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，测得柱子与之间的距离是（为测量单位），柱子与之间的距离是．如果把，视作线段，记，，是的四等分点，，，是的四等分点，若，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出平面图形，根据余弦定理即可求解.
【详解】依题意，如图所示：其中点与点重合，
因为该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，
，，是的四等分点，，，是的四等分点
所以，，，
所以为直角三角形，四边形为矩形，
所以且，
又，所以，
在中，由余弦定理得：
，
所以，
所以.
故选：A.
9. 已知函数的图象在点处的切线与圆心为的圆相切，则圆的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数求出切线方程，再利用点到直线的距离公式求出圆的半径，从而可得圆的面积.
【详解】依题意，，
则函数的图象在点处的切线斜率为：，
所以函数的图象在点处的切线方程为：，即，
因为该切线与圆心为的圆相切，
所以圆的半径，
所以圆的面积为：.
故选：B.
10. 已知长方体中，，，为的中点，则下列判断不正确的是（ ）
A. 平面B. 点到平面的距离是
C. 平面D. 异面直线与所成角的余弦值为
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，计算给点坐标，得到平面的法向量为，再根据公式依次计算每个选项得到答案.
【详解】如图所示，以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设平面的法向量为，则，
取得到，
对选项A：，，平面，故平面，正确；
对选项B：，点到平面的距离是，正确；
对选项C：，与不平行，错误；
对选项D：，，与所成角的余弦值为，正确.
故选：C
11. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内切圆的性质以及椭圆的定义，即可求出本题答案.
【详解】
设，内切圆半径为，
，即，
所以，
又，.
故选：B
12. 已知函数，给出下列4个结论：
①的最小值是；
②若，则在区间上单调递增；
③若，则将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得函数的图象；
④若存在互不相同的，使得，则.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②
【答案】A
【解析】
【分析】由辅助角公式先化简函数表达式，结合正弦函数单调性、平移变换法则、最值、周期性等即可逐一验证求解.
【详解】
当时，，①正确；
若时，此时，当时，，
所以在上单调递增，②正确；
若时，此时，
而函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得
，③错误；
存在互不相同的，使得，且
在上至少有3个最大值点，
而当时，，
所以，解得，④正确.
综上所述：所有正确结论的序号是①②④.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键是验证序号④是否正确，关键是要分析出在上至少有3个最大值点，且，所以可得出进而顺利求解.
二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 在中，是的中点，，点为的中点，则___________.
【答案】4
【解析】
【分析】由题可得，，从而即可得到本题答案.
【详解】
因为是的中点，所以，
又因为点为的中点，所以，
所以，，则.
故答案为：4
14. 当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式，（其中为生物死亡之初体内的碳14含量，为死亡时间（单位：年），通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为，则该生物的死亡时间大约是______年前．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，列出方程，求得的值，即可得到答案.
【详解】由题意，生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式 ，
因为测定发现某古生物遗体中碳14含量为，
令，可得，所以，解得年.
故答案为：年.
15. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值是______．
【答案】9
【解析】
【分析】根据抛物线的定义，设出直线方程与抛物线方程联立消元，求出韦达定理即可求解.
详解】依题意，
因为抛物线的焦点为，所以，
①当斜率存在时：因为直线交抛物线于，两点，所以，
设过的直线的直线方程为：，，
由抛物线定义得：，
由消整理得：，
所以，即，
所以；
②当不存在时，直线为，此时，
所以；
综上可知，的最小值为：9.
故答案为：9.
16. 已知三棱锥的四个面都是边长为2的正三角形，是外接圆上的一点，为线段上一点，，是球心为，半径为的球面上一点，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】画出立体几何图形与相应的截面图，易得当点为与球的交点时，取得最小值，由即可求解.
【详解】依题意，
因为三棱锥的四个面都是边长为2的正三角形，
所以三棱锥为正四面体，如图所示：
由正四面体性质易得：
顶点在平面上的投影为，
为外接圆的圆心且为的重心，
作出球的截面，由图可知，当点为与球的交点时，
取得最小值，此时三点共线，，
因为为等边三角形，其外接圆的半径为，
所以，
由勾股定理得：，
所以，又，
所以，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：三角形的外接圆半径，可利用正弦定理快速求解.立体几何外接球内切球问题，需要数形结合画出相应的几何图形便于分析求解.
三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题
（一）必做题：共 60分.
17. 记为数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，分步计算，即可得到本题答案；
（2）利用错位相减法，即可求得数列的前项和.
【小问1详解】
由得，
1.当时，所以则，
2.若时，①
②
由得，得，
3.当时，也满足，；
【小问2详解】
因为，
所以③
④
由④-③得，
18. 2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以比亚迪为代表的中国汽车交出了一份漂亮的“成绩单”，比亚迪新能源汽车成为2022年全球新能源汽车市场销量冠军，为了解中国新能源车的销售价格情况，随机调查了10000辆新能源车的销售价格，得到如图的样本数据的频率分布直方图：

（1）估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间（单位：万元）的概率，以及中国新能源车的销售价格的众数；
（2）现有6辆新能源车，其中2辆为比亚迪新能源车，从这6辆新能源车中随机抽取2辆，求至少有1辆比亚迪新能源车的概率.
【答案】（1）0.79；众数为20
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率直方图中的数据即可统计求解，
（2）列举所有基本事件个数，由古典概型的概率公式即可求解.
【小问1详解】
一辆中国新能源车的销售价格位于区间的概率
中国新能源车的销售价格的众数为
【小问2详解】
记2辆比亚迪新能源车为，其余4辆车为，
从6辆新能源车中随机抽取2辆的情况有：，，共15种情况.
其中至少有1辆比亚迪新能源车的情况有：，，共有9种情况.
至少有1辆比亚迪新能源车的概率
19. 圆柱中，四边形为过轴的截面，，，为底面圆的内接正三角形，.

（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接并延长交于，连接,先证明平面，即平面，则再用勾股定理证明，则平面；
（2）利用等积法即可得.
【小问1详解】
1）证明：连接并延长交于，连接
为底面圆的内接正三角形，，
，
四边形为圆柱的轴截面，圆面，
圆面
平面平面
平面
平面 平面
，
平面，平面
平面
【小问2详解】
（2）由（1）知平面，平面，因为平面， 所以，
.
20. 已知定义在上的函数.
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）若函数，求的极小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义即可求出切线斜率，由点斜式就可以写出切线方程；
（2）不断求导直到可以得出函数的单调性，从而即可求解.
【小问1详解】
对函数求导得，所以，
所以所求切线方程为，即.
【小问2详解】
由题意，求导得，
令，求导得，
令，则，
当时，，当时，，
则当时，为增函数，当时，为减函数，
又，所以，即，即在上为增函数，
又，所以时，时，，
即时，时，，
则当时，为减函数，当时，为增函数，
时，有极小值.
21. 已知椭圆的离心率为，右焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的上顶点在以点为圆心的圆外，过作圆的两条切线，分别与轴交于点，点，，分别与椭圆交于点，点（都不同于点），记面积为，的面积为，若，求圆的方程．
【答案】（1）
（2）圆或.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的性质与离心率公式即可求解；
（2）设出切线方程，由点到直线的距离可以得出两条切线的斜率关系，易得点的横坐标，再由切线方程与椭圆联立，根据韦达定理求出的坐标，代入三角形面积公式化简即可求解.
【小问1详解】
由已知得，，
.
【小问2详解】
由（1）知,点,过点作圆的切线,当其中一条斜率不存在时不合题意,
可设切线方程为,圆的半径为,且,
得
设切线的斜率分别为,则，
由,令得;由得，
同理，
或，
圆或.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的关系，设而不求是必须要掌握的技巧，联立消元后写出韦达定理，再将问题通过变形化简用韦达定理相关的式子表示出来，达到转化化简的效果.
（二）选做题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）已知直线过点，与曲线交于，两点，为弦的中点，且，求的斜率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）两边同时乘以，利用和差公式展开，代入公式即可求解.
（2）根据参数方程的几何意义，联立方程得出韦达定理，将韦达定理代入即可求解.
【小问1详解】
由得,,
即,所以曲线的直角坐标方程为
【小问2详解】
易知直线过点,设直线倾斜角为,
则直线的参数方程为(为参数),
代入得,易得,
设,对应的参数分别为,则，
故.
解得,
则,
的斜率为.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2），，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据的范围分类讨论去掉绝对值号，解不等式即可；
（2）对的范围分类讨论，分离参数转化为恒成立问题即可求解.
【小问1详解】
，
当时,由得,
当时,，，
当时,,得
不等式的解集是.
【小问2详解】
由得
①当时,
令,则在上单调递减,最小值为，
②当时,即,
，
令,
则在上单调递减,最小值为，
综上,即的取值范围为.