重庆市綦江区安稳学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各数中的无理数是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数；②含的代数式；③无限且不循环的小数，进行判断即可得到答案．
【详解】解：A．=2是有理数，故不符合题意；
B．是无理数，故符合题意；
C．0是有理数，故不符合题意；
D．是有理数，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟记无理数的定义是解题的关键．
2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据配方法的原理，凑成完全平方式即可.
【详解】解：
，
，
，
故选D．
【点睛】本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积.
4. 如图，是的切线，切点为A，若，则的度数为（ ）
A. 20°B. 25°C. 40°D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，连接，根据切线的性质以及三角形的内角和定理，外角的性质，进行求解即可．
【详解】解：连接，如图，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等实数根B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，熟练掌握相关方法是解题关键．根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：
∵，
∴方程有两个不相等实数根．
故选：A．
6. 如图，将线段先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转，则点B的对应点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．
【详解】解：如图，将线段先向右平移5个单位，得到点，连接，将绕原点顺时针旋转，
则对应坐标为，

故选：D．
【点睛】本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键．
7. 二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是( )
①
②
③
④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】由函数图象可知a＜0，对称轴-1＜x＜0，；，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点；△=b2-4ac＞0；再由图象可知当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0；即可求解．
【详解】解：由函数图象可知，对称轴，图象与y轴的交点，函数与x轴有两个不同的交点，
∴，；③错误
；②错
；①错误
当时，，即；
当时，，即；
∴，即；
∴只有④是正确的；
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出a，b，c，△，对称轴的关系是解题的关键．
8. 一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在上，，弓形高，则圆形标志牌的半径为（ ）
A. 6dmB. 5dmC. 4dmD. 3dm
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答．连接，，利用垂径定理解答即可．
【详解】解：连接，，
∵点A，B，C在⊙O上．，
∴，
设圆形标志牌的半径为r，可得：，
解得：，
故选：B．
9. 根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（ ）
A. 9B. 7C. ﹣9D. ﹣7
【答案】C
【解析】
【分析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-1代入y=2x+b可得答案．
详解】∵当x=7时，y=6-7=-1，
∴当x=4时，y=2×4+b=-1，
解得：b=-9，
故选C．
【点睛】本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．
10. 如图，，平行线间有一点C，使得平分，平分，连接交于点E．若E为的中点，且,则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，过点C作交于点N，证明三角形全等，进而判断出，再根据直角三角形两个锐角互余，结合角平分线定义求出，利用两直线平行内错角相等求出，进而求出结果即可．
【详解】解：如图，过点C作交于点N，
，
为的中点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故选：C．
11. 若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程有非负数解，则所以满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. 3B. 1C. 0D. －3
【答案】B
【解析】
【分析】先求解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出，再解分式方程，根据分式方程有非负数解，得到且，进而得到满足条件的整数的值之和．
【详解】解：解不等式组：，
可得，
不等式组有且仅有四个整数解，
，，
，
解分式方程，
可得，
又分式方程有非负数解，
，且，
即，，
解得且，
且，
满足条件的整数的值为，，0，1，3，
满足条件的整数的值之和是1．
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解和不等式的解集，根据题目的条件确定常数的取值范围是解决本题的关键．
12. 如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若，，，的面积为2，则点F到BC的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【详解】解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝2，
∴S△ADE＝4，
由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，
∴(AF+DF)BF＝4，
∴(3+DF)2＝4，
∴DF＝1，
∴DB＝＝＝，
设点F到BD的距离为h，
则•BD•h＝•BF•DF，
∴h＝，
故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13. 在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”．其中数据26000用科学记数法表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：，
故填：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
14. 如图，中，，，以A为圆心，长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面积为___________________．（结果保留π）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是将不规则图形的面积计算转化为规则图形的面积计算．连接．根据图中阴影部分的面积=三角形的面积-三角形的面积-扇形的面积，列出算式即可求解．
【详解】解：连接．
∵直角中，，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
15. 抛物线先向右平移3个单位长度，然后向上平移1个单位后的解析式是 __________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
【详解】解：抛物线先向右平移3个单位长度，然后向上平移5个单位后的解析式是，即．
故答案为：．
16. 对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位的和等于十位与百位的和，那么称这个数为“镜面数”，将一个“镜面数”个位与千位两个数位对调后得到一个新的四位数，将它的十位与百位两个数位对调后得到另一个新四位数，记F（m）＝．例如，对调个位与千位上的数字得到，对调十位与百位上的数字得到，这两个四位数的和为，所以，若s，t都是“镜面数”，其中（都是正整数），规定：，当时，k的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据定义得到，，由可知当取最大值，取最小值时，有最大值，当时，取最大值，此时，又由，得到，即可得到答案．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，，
，
，
由，可知当取最大值，取最小值时，有最大值，
当时，取最大值，
此时，
，
，
即，
则，
都是正整数，，
∴只有当时，上式成立，
综上可知，k的最大值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次方程和列代数式的应用，读懂题意和准确计算是解题的关键．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）
17. 计算：（1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程和分式的混合运算，熟记运算法则是解题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法．
【详解】（1）
，，
∴
∴，；
（2）
．
18. 为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
【答案】（1），，；（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：根据以上数据，七、八年级的平均数相同，八年级的众数、中位数、8分及以上人数所占百分比比七年级的高；（3）估计参加此次测试活动成绩合格的人数有1080人
【解析】
【分析】（1）七年级20名学生的测试成绩的众数找出现次数最多的即可得出a的值，由条形统计图即可得出八年级抽取的学生的测试成绩的中位数，八年级8分及以上人数除以总人数20人即可得出c的值；
（2）分别比较七年级和八年级的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比即可得出结论；
（3）用七八年级的合格总人数除以总人数40人，得到这两个年级测试活动成绩合格的百分比，再乘以1200即可得出答案．
【详解】解：（1）七年级20名学生的测试成绩的众数是：7，
∴，
由条形统计图可得，八年级抽取的学生的测试成绩的中位数是：，
∴，
八年级8分及以上人数有10人，所占百分比为：50%
∴，
（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：根据以上数据，七、八年级的平均数相同，八年级的众数、中位数、8分及以上人数所占百分比比七年级的高；
（3）七年级合格人数：18人，
八年级合格人数：18人，
人，
答：估计参加此次测试活动成绩合格的人数有1080人．
【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，条形统计图等知识，熟练掌握平均数的求法，众数、中位数的概念是解决本题的关键．
19. 如图，有一矩形的硬纸板，长为，宽为，在其四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，当剪去的正方形的边长为何值时，所得长方体盒子的底面积为？
【答案】剪掉的正方形的边长为
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
设剪去正方形的边长为xcm，根据长方体盒子的底面积为列出关于x的方程求解．
【详解】解：设剪去的正方形边长为，由题意得
，
化简得，
，
解得，，
又，即
．
答：剪掉的正方形的边长为．
20. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，探究分段函数的图象与性质，请补充完整．
（1）列表：
其中， ， ．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，如图所示，请画出函数的图象．根据函数图象判断时y的变化．
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点，，，在函数图象上，则 ， ；（填“”，“”或“”）
②当函数值时，则 ．
（4）若直线与函数图象有且只有三个交点，请直接写出t的取值范围．
【答案】（1）2，1；
（2）当时y随x的增大而减小；
（3）①，；②0或或3；
（4）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．
（1）把代入中即可求得的值；把，代入中，求得的值，然后代入即可求得的值；
（2）描点连线即可得到函数的图象，观察图象可知当时随的增大而减小；
（3）根据图象即可得到结论；
（4）求得直线经过点，时的值，观察图象即可求得．
【小问1详解】
代入得，，
，
把，代入中得，，
，
把代入得，，
，
故答案为：2，1；
【小问2详解】
如图所示：
由图象可知，当时随的增大而减小；
【小问3详解】
①由图象可知与在上，随的增大而减小，所以；
与在上，所以；
故答案为，；
②当时，时，有，
或，
当时，时，有，
，
故或或；
故答案为：0或或3；
【小问4详解】
把点代入得，，解得；
把点代入得，，解得；
由图象可知，若直线与函数图象有且只有三个交点，则．
21. 温润有度，为爱加温．近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台，每台型号暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元．
（1）若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？
（2）由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完．该商场在12上旬又购进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠，A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加，每台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠，B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最低购进量增加a%，、两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比（1）问中最低销售额增加了，求的值．
【答案】21. 至多购进400台A型号暖风机
22. a的值为12.5
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设购进台型号暖风机，则购进台型号暖风机，根据总价单价数量结合销售额不低于69万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；
（2）根据总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设购进台型号暖风机，则购进台型号暖风机，
依题意，得：，
解得：．
答：至多购进400台型号暖风机．
【小问2详解】
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为12.5．
22. 如图，对称轴为的抛物线（）与轴相交于，两点，其中点的坐标为．

（1）求点的坐标；
（2）已知，为抛物线与轴的交点；
①若点在抛物线上，且，求点的坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
【答案】（1）
（2）①或；②
【解析】
【分析】（1）由点A与点B关于直线对称可求得点B的坐标；
（2）①将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式，设点P的坐标为，则点P到OC的距离为．然后依据列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；
②先求得直线的解析式，设点D的坐标为，则点Q的坐标为，然后可得到与x的函数的关系，最后利用配方法求得的最大值即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线的对称轴为，A点的坐标为，
∴点B的坐标为．
【小问2详解】
解：①将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：
解得：，
∴抛物线的解析式为．
∵将代入得，
∴，
∴．
∵点B的坐标为，
∴，
设点P坐标为，则点P到的距离为．
∵，
∴，即，
解得．
当时，，则点P的坐标为；
当时，，则点P的坐标为．
∴点P的坐标为或；
②如图所示：

设的解析式为，
将点A、C的坐标代入，
得：，
解得，
∴直线的解析式为．
设点D的坐标为，则点Q的坐标为，
∴
，
∴当时，有最大值，的最大值为．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解题的关键是主要应用了抛物线的对称性、待定系数法求二次函数的解析式，列出线段的长与点P横坐标x之间的函数关系是解题的关键．
23. 在中，连接对角线点E在线段上，点F在线段上，连接．
（1）当，时，求的长度；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）证出是等腰直角三角形，得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，即可得出答案；
（2）过点F作，交于N，，交于H，作，交的延长线于M，连接，则四边形是平行四边形，得出，，证出是等腰直角三角形，，得出，证出是等腰直角三角形，得出，证明，得出，证出是的中位线，得出进而得出结论．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，即
解得：
∴；
【小问2详解】
证明：过点F作，交于N，，交于H，作，交的延长线于M，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∴，
∴
在和中，，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴M、E、H三点共线，
∴是中位线，
∴
∴
即
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
四、解答题（本大题1个小题，共8分）
24. 如图1，四边形为矩形，点B在x轴上，点D在边上，现将矩形沿所在直线折叠，已知，．
（1）求出点D、E的坐标；
（2）点P、Q分别为、上任意一点，求周长的最小值以及周长最小时对应的点P的坐标；
（3）如图2，已知点是点D关于y轴的对称点，点M是x轴上一点，以点A、、M、N为顶点的四边形是以为边的矩形，若点N与点T关于所在直线对称，求T坐标
【答案】（1），
（2），
（3）
【解析】
【分析】本题是四边形的综合题，考查了一次函数与四边形的综合应用，同时考查了勾股定理、矩形的性质及翻转变换的知识，翻折前后对应角相等；对应边相等，注意构造直角三角形利用相应的三角函数值求解．
（1）如图1，先根据直角三角形30度角的性质得：，，由折叠的性质得，，并根据坐标与图形的性质可得点D和E两点的坐标；
（2）如图2，作D关于x轴的对称点，连接交于P，此时的周长最小，根据两点的距离公式可得的长，即的周长的最小值，并根据直线和的交点可得P的坐标；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，根据对称先得，根据等角三角函数定义可得：，计算的长，证明，可得结论．
【小问1详解】
解：如图1，∵四边形是矩形，
∴，
中，，
∴，，
由折叠得：，，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
如图2，作D关于x轴的对称点，连接交于P，此时的周长最小，
∵，且，
∴在y轴上，
由对称得：，，
由（1）得：，，
∴的周长，
设的解析式为：，
则，解得：，
∴D'D''的解析式为：，
同理得：的解析式为：，
则，解得：，
∴；
【小问3详解】
如图3，过作轴于K，过N作轴于H，
∵D与关于y轴对称，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴， ，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵N与T关于对称，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴．年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
a
7
45%
八年级
7.5
8
b
c
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
m
1
0
1
2
n
…